河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期4月考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期4月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.2.若，则的虚部为（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】复数，则，其虚部为.3.在中，角的对边分别为．若，，，则（）A.7 B. C.8 D.9【答案】D【解析】由余弦定理可得，故，解得或（舍），故.4.若向量，，且，则（）A. B.7 C.3 D.【答案】A【解析】由，，则，因为，所以，所以.故选：A.5.已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意，则，所以，可得，则.6.一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为（）A.26 B.13 C.2 D.29【答案】C【解析】，故对该物体所做的功为.7.一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设圆台的高为，则，故圆台的体积为.8.已知的外心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，故为的中点，而又为的外心，故，故.设，则，故，故在向量上的投影向量为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（）A.，间的距离为B.为纯虚数C.在复平面内对应的点位于第一象限D.若，则【答案】ABD【解析】由图知，则，A对，由题意，，则为纯虚数，B对，，对应点坐标为不在第一象限，C错，令，，则，即圆心为原点且半径为，而表示点到圆上的点的距离，由点到圆心的距离为，所以点到圆上的点的距离最大值为，即，D对.10.在边长为的等边三角形中，为边上的动点，于点，交于点，则下列选项正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BD【解析】设，，为边长为的等边三角形，，，，为边长为的等边三角形，，，故，B正确；若，则，故为以为斜边的直角三角形，又，，所以，故，即，所以，，，又，所以，A错误；若，则，所以，即，所以，，所以，C错误；，，D正确.11.在中，角所对的边分别为，，，角B的平分线与AC交于点D，则（）A. B.C.b的最大值为 D.BD的最大值为1【答案】ABD【解析】由，则，故，由正弦边角关系得，即，而，则，所以，则，所以，而，可得，由，可得，A对，由，B对，由题设，而，且，且，所以，显然，故无最大值，C错，由题意，所以，可得，由，可得，则，即，当且仅当时取等号，所以，D对.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若向量，满足，，，则______．【答案】【解析】因为，所以.13.在中，角所对的边分别为．已知的面积为，，，则______．【答案】【解析】，，，，解得：，，.14.某老旧小区积极响应国家“老旧小区改造”及“适老化改造”的政策号召，计划对小区内一空地进行重新规划改造，如图，四边形ABDC为空地，AC，CD为围墙，AB为单元楼，E为单元楼入口，D为小区入口，现规划在小区修建一条直道DE，并在BC与DE的交点F处安装路灯及监控．已知，，，，为的中点，，则______，______．【答案】；【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则,因为，故，故，故，故.设，故，故，而，所以，整理得，故或.若，则，，故，而为三角形内角，故.若，则，，故，而为三角形内角，故,综上，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）已知是两个不共线的向量，，，若，是共线向量，求的值．（2）已知向量，，．若三点共线，求的值．解：（1）因为是两个不共线的向量，故为非零向量，因为，是共线向量，故存在实数，使得，所以，而，是两个不共线的向量，故，故.（2），因为三点共线，故为共线向量，故，故.16.在平行四边形ABCD中，，，，E是AB的中点，，，设，．（1）用，表示、；（2）求与的夹角．解：（1），.（2），，，故，而，故.17.已知向量，，．（1）若，求．（2）记．①求的值域；②求的单调递增区间．解：（1）由题设，可得，则，又，则，由；（2）由，①由，得，所以，则；②令，，则，，而，则，所以的递增区间为.18.为测量某景区内一座古塔的高度，由于塔底无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点进行测量．首先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行米到达点处，在点处测得塔顶A的仰角为．已知，且观测点与塔底都在同一水平面内．（1）求古塔的高度；（2）求的面积；（3）若从观测点向后（沿的延长线）退至点，要使在处测得塔顶的仰角为，求后退距离．解：（1）设，在直角三角形中，因为，故，同理，在中，，由余弦定理有，所以，故（负解舍去）.所以古塔的高度为米.（2）由（1）的分析可得，同理，而，故，而为三角形内角，故，故（平方米）.（3）由题设有，由（1）可得，故，故后退距离为米.19.在四边形中，，E为的中点，G为线段上一点，的延长线交于点F．（1）若，求的值．（2）若，证明：D，E，F三点共线．（3）若，且，，求周长的最小值．解：（1）由题意及向量共线的推论知，，且，又，则，故；（2）令，，则，由共线，则与共线，所以，则，