浙江杭州北斗联盟2025-2026学年第二学期高二期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江杭州北斗联盟2025-2026学年第二学期高二期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合.又，所以.故选：A.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：，则“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以故选：.4.已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（）A. B.2 C. D.6【答案】C【解析】复数，因为是纯虚数，所以，解得.5.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】圆的圆心，圆心到直线的距离,故直线与圆相离．的最小值为．6.已知各项均为正数的等比数列，，，则（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】由，，有，又因为各项均为正数，所以，故选：C.7.若二项式展开式中的常数项为15，则的值（）A. B. C.3 D.9【答案】B【解析】对有：，令，则，则有，故，则（负值舍去）.8.已知函数有两个不同的极值点，则的取值范围（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数的定义域为，对求导得：∵有两个不同的极值点，∴在上有两个不同的实根，整理得：令，则恒成立，∴在单调递增，∴等价于，即.令，，求导得:∵当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为.又∵当时，；当时，，∴要使有两个不同的实根，需满足，∴解得，即的取值范围为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.若实数满足，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】对于A，因为，所以，所以，即，故A正确；对于B，因为，所以，所以，即，故B错误；对于C，因为，所以，所以，即，故C错误；对于D，因为，所以，所以，即，故D正确.故选：AD.10.设抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过且垂直于的直线交准线于，则（）A.准线方程为 B.C. D.【答案】AC【解析】由题意得，，准线方程为，所以A正确；设直线的方程为，.联立，得，即.根据韦达定理.由抛物线的焦点弦长公式，C正确；因为，所以直线的斜率为，则直线的方程为.令，可得，即.点到直线的距离.所以，所以D错误.当时，轴，此时，则，此时，所以B错误.11.如图所示，正方体的棱长为2，分别为的中点，点是正方形内的动点，下列说法正确的是（）A.平面B.若平面，则点的轨迹长度为C.四棱锥的体积为3D.四棱锥的外接球的表面积为【答案】BCD【解析】如图建立空间直角坐标系，则，，，，对于A，，，所以，所以不成立，即不成立，所以不垂直于平面内的线，故A选项错误；对于B选项，取的中点，的中点，连接，可得四边形是平行四边形，所以平面，在平面外，所以平面,同理可得，平面，因为平面，所以平面平面，因为点是正方形内的动点，若平面，则点在线段上，所以点的轨迹长度，故B选项正确；对于C选项，，，设平面的一个法向量为，则，即，令得，则，所以点到平面的距离为，因为，，所以四边形为等腰梯形如图，过点作，垂足，则，所以所以四边形的面积为，所以四棱锥的体积为，故C选项正确；对于D选项，设四棱锥外接球球心坐标为，则，所以，整理得：，解得，，即球心坐标为所以四棱锥外接球球的半径为，所以，四棱锥的外接球的表面积为，D选项正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，若，则___________．【答案】1【解析】，则，整理得，故.13.名男生、名女生站成一排，至少有名女生相邻的站法种数为___________（用数字作答）．【答案】【解析】根据题意，分种情况：情况1：当名女生相邻时先排名男生，共有种；先选名女生捆绑，共有种，名女生之间的排列有种；然后将捆绑的名女生组和单独的名女生，插入个不同的空位中，共有种，所以，名女生相邻的所有情况为种.情况2：当名女生相邻时将名女生当成一个整体，共有种；名男生的排列，共有种，然后将女生的整体插入个不同的空位中，有种，所以名女生相邻的所有情况为种.因此，至少有名女生相邻的站法种数为种.14.已知分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为___________．【答案】【解析】设椭圆的长半轴长为，半焦距为，根据椭圆的定义.设双曲线的实半轴长为，半焦距为，根据双曲线的定义，不妨设，则有.联立得.因为，所以根据勾股定理有，化简得：，两边同除以可得：，则根据柯西不等式得，当且仅当所以的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）已知的面积为，求的周长．解：（1）由正弦定理得：．，由得，又因为，解得；（2）由，得，由余弦定理得：①．又因为②联立①②得：，的周长．16.如图，在四棱锥中，为中点，，，，．（1）证明：平面；（2）若底面，求直线与平面的夹角正弦值．（1）证明:取中点，连接，在中，分别为的中点，为的中位线，，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面．（2）解：在四边形中，作于于，如下图所示：，四边形为等腰梯形，，故，，，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，直线的方向向量为，则，设平面的法向量，则有，令，则，即，设直线与平面的夹角为，，即直线与平面的夹角正弦值为．17.已知等差数列中，其前项和为，且，数列满足（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）已知为等差数列，且，，解得：，当时，有，两式相减得：，当时，，满足，．（2）由（1）知，两式相减得：，.18.已知椭圆离心率为是椭圆其中的一个顶点，直线与椭圆交于两点，是轴上的一点，直线分别与直线交于两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）当，求的取值范围；（3）是否存在实数，使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1），椭圆的标准方程为（2）设，联立直线与椭圆的方程，得.易得，.设则由对勾函数性质知..（3）直线方程为：，联立得：同理可得：点，．由（2）知：，要使为常数需要，方程组无解不存在实数，使得为定值．19.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点；（i）求的取值范围；（ii）已知，且恒成立，求的取值范围．解：（1）当时，函数的定义域为，求导得，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调减区间为，单调增区间为.（2）（i）由，得，则，令函数，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，而，当时，，且时，，函数的图象如图，函数有两个零点，即方程有两个解，亦即直线与函数的图象有两