浙江浙里特色联盟2025-2026学年高一第二学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江浙里特色联盟2025-2026学年高一第二学期期中联考数学试题一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，故.2.已知复数，且，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，故的虚部为.3.如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积为（）A.12 B. C.24 D.【答案】D【解析】由题意得，所以矩形的面积为，由原图形面积与直观图面积的比例关系，可知原图形的面积是，故D正确.4.设、、，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则，由不等式的基本性质可得，即“”“”；若，不妨取，，，则，但，所以“”“”.所以“”是“”的充分不必要条件.5.如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，将正四棱柱的侧面展开，则的最小值为．在中，，，则．故选：D.6.已知，在上单调递增，则取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，且，所以，因为在上单调递增，则，所以，解得.7.如图，在四边形中，，，是线段上的一动点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，设，则，解得，又因为，且、不共线，所以，这两个等式相加得，因为，，由基本不等式可得，解得，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.8.如图所示，放置的边长为的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①若，则函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④函数在区间上单调递增.其中判断正确的序号是（）A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④【答案】B【解析】当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆，当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆，当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆，当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆，故函数的周期是.因此最终构成图象如下：①根据图象的对称性可知函数是偶函数，故①正确.②由图象经分析可知函数的周期是，故②错误.③函数在区间上单调递减，故③正确.④函数在区间上单调递增，由函数的图象即可判断是真命题，故④正确.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知复数，则（）A.B.C.在复平面内对应的点位于第二象限D.若复数是方程的一个根，则【答案】BCD【解析】因为，故A错误；则，故B正确；且在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确；若复数是方程的一个根，则另一个根为，则，可得，即，故D正确.10.已知向量，，则（）A.若，则B.若，则C.的最大值为D.若，则在上的投影向量为【答案】AC【解析】对于A选项，若，则，化简可得，A对；对于B选项，若，则，又因为，解得或，B错；对于C选项，，当且仅当、同向时，即当时，即当时，等号成立，故的最大值为，C对；对于D选项，若，则，则在上的投影向量为，D错.11.在锐角中，所对边分别为，已知，则（）A.若，则B.C.D.【答案】ABD【解析】选项A，由，根据正弦定理得：，由余弦定理得：，代入可得，，所以选项A正确；选项B，对用和差化积公式：，在中，，因此原式等价于：，，故，因此或（舍去），即，所以B选项正确；选项C，由，根据正弦定理，所以选项C错误；选项D，由得，因此，由为锐角三角形得：，因此.令，则，根据对勾函数性质可知，函数在上单调递减，当时，，当时，，故，所以选项D正确.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.求值：__________.【答案】【解析】原式.13.若，则的值为__________.【答案】【解析】.14.正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为______.【答案】或.【解析】设正四棱台的高为，外接球的半径为，则，解得.取正方形的中心为，正方形的中心为，连接，则，可知该几何体的外接球的球心在上，连接，，，.

设上、下底面正方形的边长分别为，，则，，解得，，故，.设，当在线段上时，则，由勾股定理得，解得，所以该正四棱台的体积为；当在的延长线上时，，由勾股定理得，解得，所以该正四棱台的体积为.综上所述：该正四棱台的体积为或.故答案为：或.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知复数（1）若是纯虚数，求的值；（2）若复数满足，求的最大值.解：（1）是纯虚数得出得；（2）设，所以，即，，则，因为当且仅当取等，则，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.16.小明设计了一款无盖鱼缸，如图，它是由两个完全一样的长方体通过一个半径为0.1米，长度为0.3米的圆柱形玻璃管水平连通的.（1）小明至少需要多少平方米的玻璃（不考虑损耗）？（2）小明欲将鱼缸注水至的高度，需要多少立方米的水？解：（1）依题意，所用玻璃面积是一个长方体的侧面积加上其下底面积，再减去圆柱底面积的差的2倍，然后加上圆柱的侧面积，因此所求面积为，所以需要平方米的玻璃.（2）由圆柱体距离鱼缸底部，得注水至0.3米时，圆柱体刚好注至一半的体积，，所以需要立方米的水.17.在中，角的对边分别为，若，（1）求角的大小；（2）若为中点，，求边.解：（1）因为，所以由正弦定理可得，在中，，所以，即，因为，所以，因为，所以；（2）因为，所以，又，所以,所以，又因为，所以.18.已知函数（、为非零常数）（1）当时，为偶函数，求的值；（2）当时，求满足的的取值范围；（3）当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围.解：（1）当时，，因为是偶函数，所以对任意，都有，即，化简得，即对任意的恒成立，故，所以.（2）当时，，由得，化简得，因为，所以，可得，解得.（3）当，时，.设，，因为在上单调递增，在单调递增，所以在单调递增，所以的最大值为，从而依题意可得对任意恒成立，将变形得，可得，所以恒成立，等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，函数在区间单调递增，有最大值，函数（当且仅当取等号）有最小值，所以，即实数的取值范围是.19.如图所示，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.（1）已知在仿射坐标系中，，.①若，求；