河北石家庄市第三十八中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北石家庄市第三十八中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题一、单选题1.若向量，则（）A.且 B.且C.且 D.且【答案】B2.若，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D3.如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是（）A. B. C. D.【答案】C4.在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（

）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】B5.已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（

）A.若，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则【答案】C6.如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则下列说法不正确的是（）A.圆锥的母线长为 B.圆锥与圆柱的体积比为C.该几何体的表面积为 D.该几何体的体积为【答案】C7.如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①与平行；②与垂直；③与平面平行；④平面与平面平行．以上四个命题中，正确命题的序号是（

）A.①② B.②③ C.③④ D.①④【答案】C8.已知一个无盖的圆柱形容器（忽略容器壁厚度），其底面半径为10厘米，母线长为30厘米，现在将该容器盛满水并缓慢倾斜，设圆柱形容器的母线与水平面所成角为，当剩下的水为原来的时，（）A. B. C. D.【答案】A二、多选题9.在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】BD10.如图，在棱长为的正方体中，E、F分别是棱，的中点，动点P在线段上，动点Q在正方形内（包含边界），平面，则（）A. B.PQ的最大值为C.存在P，Q，使得平面 D.【答案】BCD11.下列命题为真命题的是（）A.是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为B.已知的三个内角分别为，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的重心C.在中，若，则为锐角三角形D.为内部一点，，则，，的面积比为【答案】ABD三、填空题12.已知向量，的夹角为，，，则___________．【答案】13.在中，若，则角________．【答案】14.如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且三棱锥外接球的表面积为，则______．【答案】四、解答题15.已知中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．（1），表示向量，；（2）判断M，N，C三点的位置关系，并证明．（1）解：，因为．所以.（2）证明：，，三点共线．证明如下;由于，所以，所以，因为为公共点，所以，，三点共线．16.设复数，为实数.（1）当为何值时，是纯虚数；（2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围.解：（1）由题意，为纯虚数，则需满足：由，解得或，由，解得且，综上，故当时，是纯虚数.（2）因为复数，所以复数，又因为在复平面内对应的点在第三象限，所以：由，解得，由，即，解得或，取两者的交集，得，故实数的取值范围是.17.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．解：（1）因为，所以，整理得．又，所以．又因为，所以．（2）由（1）知，由的面积为，得，解得．由余弦定理，得，解得，所以的周长为．18.如图，在正方体中，分别是棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比.（1）证明：连接，因为分别是棱的中点，所以，因为平面，平面DBEF，所以平面；连接，则，且，可得四边形为矩形，所以，又因为平面，平面，所以平面，因为，且平面，所以平面平面.（2）解：由正方体的棱长为2，可得正方体体积为,三棱锥的体积为,三棱台的体积为则夹在平面与平面之间的几何体的体积为,所以平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为：.19.对于给定，设其外接圆半径为R，内切圆半径为r，定义的值为的“分离比”．（1）若为等腰直角三角形，求的“分离比”f；（2）证明：“分离比”；（3）试求出“分离比”f的最小值．（1）解：设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长为，直角三角形外接圆直径即为斜边，则，由面积公式得，解得，．（2）证明：由正弦定理得，三角形面积，又，，．（3）解：，，，，，，