贵州新高考协作体2025-2026学年高二下学期第一次月考（B）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州新高考协作体2025-2026学年高二下学期第一次月考（B）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，则，所以，，故选：B.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为不等式解集为，不等式的解集为，所以“”是“”充分不必要条件.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以.4.在的展开式中，的系数为（）A. B. C.126 D.63【答案】C【解析】展开式的通项公式为，令，则，因此的系数为.5.已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（）A.1或 B.1或 C. D.1【答案】A【解析】设直线的方程为，因为直线经过定点，故即，故直线的方程为，而点和点到直线的距离相等，故，所以，所以或，A正确.6.已知是函数图象上不同的两点，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，而，所以.7.已知函数的最小正周期为，将的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，且是偶函数．若在上有且只有4个零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为的最小正周期为，所以，将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到，因为是偶函数，所以，又，所以，则，当时，设，则在上有且只有4个零点等价于在上只有4个零点，数形结合可知，，解得．8.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，从点发出的光线经过图2中的点反射后，分别经过点，且，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】由题意可知，延长则必过点，如图所示：因为，设，则，，由双曲线定义可得，，由可得，在中，由余弦定理可得，即，化简可得，在中，由余弦定理可得，即，化简可得，所以，故.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.对于随机事件，若，则（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】对于A，因为，所以，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C错误；对于D，，故D正确．10.已知为坐标原点，抛物线的准线为，直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（）A.当时，B.的最小值为C.直线OM与准线交于点，线段DF的垂直平分线与抛物线相切D.为定值【答案】ACD【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，因为直线过抛物线的焦点，所以，即，所以抛物线的方程为，焦点坐标为，准线方程为.联立，，设，则，，，当时，，A正确.由抛物线的定义可得，，当且仅当，即时，等号成立，B错误.直线的方程：，交点，的中点，直线的斜率为，故线段DF的垂直平分线的方程为，与抛物线方程联立可得；由可知，，所以线段DF垂直平分线与抛物线相切，C正确.，，D正确.11.已知正方体的棱长为2，P为平面内的动点，为正方形的中心，则下列结论正确的是（）A.点的轨迹方程为抛物线B.当点在线段上时，点到平面的距离为C.直线BP与平面所成角的正弦值的取值范围为D.若为线段上的动点，则的最小值为【答案】BCD【解析】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则；对A：设，，则，则，化简得，故的轨迹方程为圆弧，不是抛物线，故A错误；对B：、，则，，设平面的法向量为，则，取，则，即，由，，则，，由点在线段上，则有，化简得，又，则，即，则，故点到平面的距离为，故B正确；对C：，由轴平面，故即为平面法向量，有，由，则，有，解得，则，令，且，则，，当且仅当，即，即时，等号成立，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，又时，，时，，故，即直线BP与平面所成角的正弦值的取值范围为，故C正确；对D：、，则，设，则，则，，由，当且仅当时，等号成立，故，则，设点轨迹与线段交点为，则，故，将平面与平面沿折叠至同一平面，如下图：由正方体性质可得、，，，，则四边形为矩形，又，，则，当且仅当三点共线时等号成立，即的最小值为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一到星期五每天安排1人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期五，则不同的安排方式共有__________种．【答案】【解析】若甲安排在星期五，则不同的安排方法有种，若甲不安排在星期五，则不同的安排方法有种，故不同的安排方法有种.13.在中，点在线段BC上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点．若．直线恒过定点，则点的坐标为__________．【答案】【解析】连接，如图所示.因为，所以，所以.因为，所以.因为，，三点共线，所以，则.则为，即，令，解得，则点的坐标为.14.如图，已知球内切于圆台（即球与该圆台的上､下底面以及侧面均相切），且圆台的上､下底面半径，则球与圆台侧面的切痕所在平面分圆台上下两部分体积比为__________.【答案】【解析】如图为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆，设圆与梯形的腰相切于点，与上､下底分别切于点，圆台上､下底面半径为.则.，于是，在直角梯形中，易得，则，设与交于点，则，，.故圆台体积为，圆台体积为，故切痕所在平面分圆台上下两部分体积比为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.过点作圆的两条切线，切点分别为.（1）求直线AB的方程；（2）已知直线过点且与直线AB平行，为直线上的动点，求的最小值．解：（1）由得，所以圆心，半径，设切点，则，即在以为直径的圆上，又的中点为，，所以以为直径的圆的方程为，将两圆方程相减：，整理并化简得：，所以直线AB的方程为；（2）由（1）和题意可知直线的方程为：，设，则，，所以，因为在圆上，所以，，且在直线上，满足，联立圆与直线的方程：，消并化简可得：，所以，所以，，所以，所以当时，取得最小值为.16.2015年到2025年我国把全民健身上升为国家战略，提出力争在2025年实现全民健身与竞技体育的协调发展．某高校积极响应此号召，首先以身示范，开展了以“塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后．学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格：月份变量12345体重超重的人数640540420300200（1）若该大学体重超重人数与月份变量（月份变量依次为）具有线性相关关系，求出与的回归直线方程，并利用回归直线方程预测从第几个月份开始该大学体重超重的人数降至50人以下；（2）已知该校在此次主题活动中，每位学生选择游泳项目的概率都为，且互不影响．现从该校学生中随机抽取5人，记这5人中选择游泳项目的人数为，若，求的数学期望和方差．附：①回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：；②参考数据：解：（1）因为，，所以，因此与的回归直线方程为，由，因为，所以取7，所以利用回归直线方程预测从第个月份开始该大学体重超重的人数降至50人以下.（2）由题意可知，，因为，所以或（舍去），所以，17.如图，在凸四边形ABCD（凸四边形指没有内角度数大于的四边形）中，，．（1）若四点共圆，且，求AD；（2）若，求凸四边形ABCD面积的最大值．解：（1）在中，由余弦定理可知：；因为四点共圆，且，所以由圆内接四边形的性质可知：，因此在中，由余弦定理可知：，解得：，或舍去；（2）在和中，，，所以，设凸四边形ABCD面积为，所以，所以，所以当时，有最大值，即有最大值，所以S的最大值为.18.如图，，平面平面为BD的中点，为CE的中点．（1）证明：平面ACE；（2）求平面AEF与平面ADF夹角的余弦值．（1）解：因为，所以，即.因为平面平面平面平面，，所以平面.因为平面，所以.因为，为的中点，所以，因为,平面ACE，所以平面ACE.（2）证明：以为原点，所在直线分别为轴，在平面内与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，，由，得,,.，设平面的一个法向量为，则，令，可得，即.由（1）知为平面一个法向量，设平面AEF与平面ADF夹角为，，所以平面AEF与平面ADF夹角的余弦值为.19.在圆上任取一点，过点作轴的垂线段PD，垂足为，点在线段DP的延长线上，且，当点在圆上运动时，点形成的轨迹为曲线．（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）．（1）求曲线的方程；（2）设点在曲线上，