河南省商丘市部分学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省商丘市部分学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.有2位同学准备从6部不同的电影中各选一部观看，则不同的选法种数有（）A.64种 B.36种 C.12种 D.6种【答案】B【解析】每位同学都有6种选择，则不同的选法种数有种.2.下列求导运算中正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A，， 错误；对于B，， 错误；对于C，，正确；对于D，，错误.3.一个弹簧振子做简谐运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，该弹簧振子在时的瞬时速度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，求导得，依题意该弹簧振子在时的瞬时速度为：.4.某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设任取一件甲产品为事件，任取一件乙产品为事件，任取一件丙产品为事件，设任取一件是合格品为事件，则，，，，，，故.5.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由的图象可知：当和时，，故在，上单调递增，当和时，，故在，上单调递减，所以，选项D正确.6.设，是一个随机实验中的两个事件，若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以.又，且，所以，.7.记，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于，令，得①，令，得②，①-②得，所以.8.对任意，恒成立，则实数的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，由，得，所以.令，则，令，则，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，在上单调递增.由，知，所以，即.令，则，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为，所以实数的可能取值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于的展开式，下列说法正确的是（）A.展开式共有8项 B.展开式的二项式系数之和为256C.展开式各项的系数之和为1 D.展开式中第5项的二项式系数最大【答案】BCD【解析】对于A选项，展开式共项，故A错误；对于B选项，展开式的二项式系数之和为，故B正确；对于C选项，令，则，故展开式各项的系数之和为1，故C正确；对于D选项，共9项，则展开式中第5项的二项式系数最大，D正确.10.已知离散型随机变量的分布列如下，则（）012A. B.C. D.【答案】AB【解析】对于A，由离散型随机变量分布列的性质知，所以， A正确；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，，D错误.11.已知函数有两个极值点、，则（）A.的取值范围为B.当时，仅有个零点C.当时，仅有个零点D.若有个零点，则函数在个零点处的切线斜率的倒数之和为【答案】ABD【解析】对于A选项，由，得.因为函数有两个极值点、，所以有两个不等的实数根，即有两个不等的实数根、，所以，解得或，A正确；对于B选项，当时，二次函数与轴有两个不同的交点，开口向上，当时，；当时，；当时，，所以函数的增区间为、，减区间为，所以是极大值，是极小值，又，所以或，当时，，又当时，，且，故函数在上有且仅有一个零点，故仅有个零点；同理可知，若，函数仅有个零点；同理可得当时，仅有个零点，B正确；对于C选项，当时，由B可知是极小值，又，所以，此时若，则仅有个零点，C错误；对于D选项，设的个零点分别为、、，则，则，所以，同理，，故，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设随机变量服从两点分布，若，则______.【答案】0.38【解析】随机变量服从两点分布，由，及，解得.13.函数图象上的点到直线的距离的最小值为___________.【答案】##【解析】将函数求导得令，得（负值舍去），又，则曲线在点处的切线方程为，即，依题意，该函数图象上的点到直线的距离的最小值即直线与的距离，因为则函数图象上的点到直线的距离的最小值为.14.五一期间，某医院安排某科室的甲、乙、丙3名医生1至5日值班，规定每人至少值班1天，5天中每天都有且仅有1人值班，其中医生甲在1日、2日中至少选择1天值班，则不同的安排方法共有________种（用数字作答）.【答案】88【解析】当医生甲选择1日，2日中的1天，且只值1天班时，有种选择，再将其他4天分给乙、丙，有种排法，共有种排法；当甲只选择1日，2日中的1天，且值2天班时，有种选择，再将其他3天分给乙、丙，有种排法，共有种排法；当甲选择1日，2日中的1天，且值3天班时，有种选择，再将其他2天分给乙、丙，有种排法，共有种排法；当甲选择1日2日值班，且值2天班时，只需将其他3天分给乙，丙，有种排法；当甲选择1日2日值班，且值3天班时，有种排法，只需将其他2天分给乙，丙，有种排法，共有种排法.综上，不同的安排方法共有种.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.甲、乙、丙等6名同学站成一排照相.求：（1）甲与乙相邻，有多少种不同的站法？（2）丙与甲和乙都相邻，有多少种不同的站法？（3）甲不站在最左边，乙不站在最右边，有多少种不同的站法？解：（1）先将甲、乙捆绑有种方法；甲、乙两人捆绑后与其他四人一起排列有种方法，所以甲与乙相邻的站法有种.（2）先将丙与甲、乙捆绑，有种方法（甲、丙、乙，乙、丙、甲），然后总体与其余3名同学全排列，共有种方法，所以丙与甲和乙都相邻的站法有种.（3）甲站在最右边，其余5人全排列，有种站法，甲不站在最右边且不站在最左端时，甲有4种站法（位置2,3,4,5），乙有4种站法，剩下4人全排列，有种站法，所以甲不站在最左边，乙不站在最右边，共有120+384=504种不同的站法16.袋中装有除颜色外均相同的3个红球，5个白球，现从中任取3个球.（1）记3个球中红球的个数为，求的分布列及数学期望；（2）当3个球均为一种颜色时，求这种颜色为白色的概率.解：（1）的可能取值为0，1，2，3，，，，，的分布列为0123所以.（2）设从袋中任取3个球为一种颜色的事件为，则，设从袋中任取3个球都为白色的事件为，则，所以当3个球均为一种颜色时，这种颜色为白色的概率为.17.已知函数.（1）求的单调区间；（2）证明：.（1）解：由题知的定义域为，，令，得，令，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明：要证明，只需证，设，则，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上的最小值为，设函数，所以在上的最大值为，因为，所以，即.18.已知，.（1）当，且时，求的值；（2）当，且，时，求的值；（3）若，，，且在的展开式中，存在连续三项，，项的系数成等差数列，求和的值.解：（1）当时，.又，，所以，所以.（2）由题知，化简第一个不等式：，约去公因式得，即.化简第二个不等式：，约去公因式得，即.故，又，所以.（3）当时，系数为.所以的项的系数分别为，且的项的系数成等差数列，所以，即可得即得整理得，所以为完全平方数,且均为正整数又，且由题意,且均为正整数.因此只需考虑当时，或8，不满足题意;当时，(舍去)或13;综上所述，的值为的值为7.19.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数存在两个不同的零点，，且.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：.（1）解：当时，，，则，，所以曲线在点处的切线方程为.（2）（i）解：由题知的定义域为，.令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，当时，，所以函数存在两个不同的零点，只需，即，所以的取值范围为.（ii）证明：找两