2026-2027学年广东省深圳市坪山区两校联考高三（上）第一次质量检测数学试卷-自定义类型

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年广东省深圳市坪山区两校联考高三（上）第一次质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数(2−i)(1+i)的实部为(

)A.5 B.3 C.1 D.−12.已知全集U=R，A={x|2<x<5}，B=(1,3)，则图中阴影部分表示的集合为(

)A.{x|1<x≤2}

B.{x|3≤x<5}

C.{3}

D.⌀3.双曲线C：x2a2−y2bA.2 B.3 C.2 D.4.若函数f(x)=cos(2x−π8)的图象关于点(t,0)对称，则正数A.5π16 B.3π16 C.π165.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(−∞,0)上单调递减，f(−2)=0，则(x+1)f(x)>0的解集为(

)A.(−2,2) B.(−∞,−2)∪(1,2)

C.(−1,2) D.(−2,−1)∪(0,2)6.向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量AB=(x,y)，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(0,1)，点B(2,3)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转π3后得到点P，则点P的坐标为A.(2,−1) B.(1−3,2+3)7.已知圆x2+y2=5上的点P到直线x−y+2=0A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.若0<x1<xA.ex2−ex1>lnx2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，点P在正方体ABCD−A1B1C1D1的面对角线BC1上运动(P点异于A.异面直线BD与AB1所成角为60°

B.B1D⊥平面ACD1

C.三棱锥P−ACD1的体积不变10.记双曲线E：x24−y25=1的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线lA.双曲线E的离心率是32

B.若|AF2|=2|AF1|，则△AF1F2的周长为18

11.已知△ABC的面积为S，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使△ABC为等腰三角形的是(

)A.acosA=bcosB B.4StanB=b2+c三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设曲线y=a(x−1)−lnx在点(1,0)处的切线方程为y=2x−2，则a=

．13.若一个正项等比数列的前3项和为7，前6项和为63，则该等比数列的公比为

．14.一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有2个红球，3个白球，从中随机不放回地取球，每次抽取1个，记X为取完某一种颜色所有的球所需的次数，则E(X)=

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某材料研究所研发了两种防冰涂层：电热防冰涂层、疏水防冰涂层.该研究所在模拟高空低温云雾环境的风洞中开展积冰试验，共记录200次试验数据，统计涂层无积冰(合格)、有积冰(不合格)的情况，整理得到如下列联表：防冰涂层类型积冰情况合计无积冰有积冰电热防冰涂层7030100疏水防冰涂层8515100合计15545200(1)分别求两种防冰涂层的合格率；

(2)依据α=0.05的独立性检验，能否认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联？

参考公式：χ2=n(ad−bc)2α0.050.01x3.8416.63516.(本小题15分)

已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20，a3=8．

(1)求{an}的通项公式；

(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N∗)17.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，D，E，F分别是棱AB，BC，PC的中点，AB=AC=1，PA=2．

(1)证明：PB/​/平面DEF；

(2)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；

(3)求点C到平面DEF的距离．18.(本小题17分)

已知椭圆x26+y22=1的左、右焦点分别为F1，F2．

(1)求椭圆的离心率e；

(2)设点P为第一象限内椭圆上的点，若PF1⊥PF2，求点P的坐标；

(3)过右焦点F19.(本小题17分)

已知函数f(x)=lnx+ax+1，a∈R．

(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率；

(2)当a>0时，讨论函数f(x)的单调性；

(3)若对任意x∈(0,+∞)，f(x)≤x+12恒成立，求实数a1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】ABC

10.【答案】ABD

11.【答案】BCD

12.【答案】3

13.【答案】2

14.【答案】7215.【答案】疏水防冰涂层合格率为85%，电热防冰涂层合格率为70%

在α=0.05的独立性检验下，可以认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联

16.【答案】解：(1)设公比q大于1的等比数列{an}，由a2+a4=20，a3=8，可得a1q+a1q3=20，a1q2=8，

解得a1=q=2，

则an=2n；

(2)(i)由bm为{an}在区间(0,m](m∈N∗)上的项的个数，

而{an}为2，4，8，16，32，64，…，

可得b1=0；b2=1；b3=1；

(ii)数列{bm}17.【答案】解：(1)证明：在△PBC中，因为E，F分别是BC，PC的中点，所以EF/​/PB．

因为EF⊂平面DEF，PB⊄平面DEF，

所以PB/​/平面DEF．

(2)因为PA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC．

因为AB⊥AC，所以AB，AC，AP两两垂直．

以点A为坐标原点，AB，AC，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为AB=AC=1，PA=2，D，E，F分别是棱AB，BC，PC的中点，

所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D(12,0,0)，E(12,12,0)，F(0,12,1)，

所以AP=(0,0,2)，DE=(0,12,0)，DF=(−12,12,1)．

设平面DEF的法向量为n=(x,y,z)，

则DE⋅n=y2=0,DF⋅n=−12⋅x+y2+z=0.令z=1，则y=0，x=2，所以18.【答案】(1)解：由椭圆x26+y22=1，得到a2=6，b2=2，即a=6,b=2，

所以c2=a2−b2=4⇒c=2，

所以e=ca=26=63．

(2)解：由题可得焦点F1(−2,0)，F2(2,0)，

设P(x,y)，x>0，y>0，则PF1=(−2−x,−y),PF2=(2−x,−y)，

由PF1⊥PF2⇒PF1⋅PF2=0，即(−2−x)(2−x)+(−y)(