北京市第二十四中学2026-2027学年第一学期高三年级10月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市第二十四中学2026-2027学年第一学期高三年级10月月考数学试卷一、选择题1.已知集合A=xx>1，B=xx2A.3,+∞ B.(1,3)

C.−∞,−1∪1,+∞ 2.在复平面上，复数1+3i2−i所对应的点在第(

)象限A.一 B.二 C.三 D.四3.12x−x8展开式中含x2A.−7 B.7 C.−74 4.为了得到y=sin(2x+π3)的图像，只需将函数A.向左平移π3个单位 B.向右平移π3个单位 C.向左平移π6个单位 D.5.已知边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，则AF⋅AE=A.1 B.2 C.3 D.46.记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5=15，A.2 B.1 C.0 D.−17.函数f(x)=cos2x+6cos(π2−x)(x∈[0,πA.4 B.5 C.6 D.78.在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则“acos B=c”是“△ABC是直角三角形”的(

)A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件9.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1％.经测定，刚下课时教室内空气中含有0.25％的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y％，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y=0.05+λe−t10描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(

)(A.11分钟 B.12分钟 C.13分钟 D.14分钟10.已知函数f(x)的定义域为R，存在常数t(t>0)，对任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)，当x∈[0,t)时，f(x)=|x−t2|.若f(x)在区间(3,4)上单调递减，则t的最小值为A.3 B.83 C.2 D.二、填空题11.函数f(x)=ln(x+1)+x的定义域是12.等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5=413.已知角α终边过点P(1,2)，角β终边与角α终边关于y轴对称，则tanα=

;cos(β−α)=

14.已知函数f(x)=sinωx−2cosωx(ω>0)，且fα+x=fα−x，若两个不等的实数x1,x215.已知函数f(x)=xx+2①函数f(x)的值域为[0,②函数g(x)在[0,1③对任意a>0，方程f(x)=g(x)在④若存在x1，x2∈[0,1]，使得f(其中所有正确结论的序号是

．三、解答题16.在▵ABC中，c=23，sin(1)求B；(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使▵ABC存在且唯一，求▵ABC的周长．条件①：▵ABC的面积为3；条件②：C=π6；条件③注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.已知函数f(x)=2cosx⋅cos(x+φ)((1)求φ的值；(2)求f(x)在区间−π2,0上的最大值和最小值及相应18.为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：男生818486868891女生728084889297(Ⅰ)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；

(Ⅱ)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀(>90分)的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；

(Ⅲ)表中男生和女生成绩的方差分别记为s12，s22，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为s32，试比较s12、19.四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC=90∘，PA=PB=3，BC=1,AB=2,AD=3，O是AB(1)求证：CD⊥平面POC(2)求二面角C−PD−O的平面角的余弦值(3)在侧棱PC上是否存在点M，使得BM//平面POD，若存在，求出CMPC的值；若不存在，请说明理由20.已知函数f(x)=ax2+xlnx(a∈R)图象在点(1)求实数a的值;(2)若存在k∈Z，使得f(x)>k恒成立，求整数k的最大值．21.设n为正整数，集合An={αα=(a1,a2,⋯,an),ai|≤1,i=1,2,⋯,n}，对于集合An中2(1)当n=3时，若α=(1,−0.9,1),β=(0.1,−1,−0.2)，判断α,β是否具有性质M.如果是，求出M(α,β)；如果不是，说明理由；(2)当n=3时，若α=(a,1,1),β=(−1,b,c)具有性质M，求M(α,β)的最大值．

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】D

10.【答案】B

11.【答案】[0,+∞)

12.【答案】5

13.【答案】2；3

14.【答案】−115.【答案】①②④

16.【答案】解：(1)因为sinB+由辅助角公式有：21即sinB+π3=1，因为所以B+π3=(2)选条件①：▵ABC的面积为3由正弦定理有：S▵ABC即12×1由余弦定理有：cosB=a2解得：b=2，所以▵ABC的周长为C=a+b+c=2+2+2选条件②：C=π因为B=π6，由C=π6，所以因为A+B+C=π，所以A=π−2×π由余弦定理有：a2=b解得a=6，所以▵ABC的周长为C=a+b+c=6+2选条件③：a=由由余弦定理有：cosB=a2整理得：b2−33b+6=0此时▵ABC不唯一，所以条件③不合要求．

17.【答案】解：(1)fπ∴π3+φ=2kπ,k∈Z又φ<π2(2)f(x)=2=co=sin∵x∈−∴2x+π则当2x+π6=π6，即x=0当2x+π6=−π2，即x=−

18.【答案】解：(Ⅰ)设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩“为事件A，

由表格得：从抽出的12名学生中男女生各随机选取一人，共有C61C61=36种组合，

其中男生成绩高于女生(81,72)，(81,80)，(84,72)，(84,80)，(86,72)，(86,80)，(86,84)，(86,72)，(86,80)，(86,84)，(88,72)，(88,80)，(88,84)，(91,72)，(91,80)，(91,84)，(91,88)，

所以事件A有17种组合，因此P(A)=1736；

(Ⅱ)由数据知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀(>90分)的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为14，

因此从该校高一学生中随机抽取3人，成绩优秀人数X可取0，1，2，3且X～B(3,14)，

X

0

1

2

3

P

27

27

9

1数学期望E(X)=0+1×2764+2×964+3×164=4864=34．

(Ⅲ)男生的平均成绩为x1−=81+84+86+86+88+916=86，则s1219.【答案】(1)因为PA=PB=3，O是AB的中点，故PO⊥AB，而平面PAB⊥平面ABCD，PO⊂平面PAB，平面PAB∩平面ABCD=AB，故PO⊥平面ABCD，而CD⊂平面ABCD，故PO⊥CD．在Rt▵OAD中，OA=1,AD=3，故OD=10，同理在直角梯形ABCD中，CD=故CD2+OC2故CD⊥平面POC．(2)在平面ABCD中，过O作l//AD，则l⊥AB，而由(1)可得PO⊥平面ABCD，而l,AB⊂平面ABCD，故PO⊥l,PO⊥AB，故可建立如图所示的内角直角坐标系，其中y轴在l上，则A故PA=设平面PCD的法向量为m=则x1+y1−22故m=设平面POD的法向量为k=x3故22z3=0−x3+3故cosm,k故二面角C−PD−O的平面角的余弦值为45(3)设PM=λPC，则PM=故BM=若BM//平面POD，则BM⊥k，故3λ−1故在侧棱PC上存在点M，使得BM//平面POD，此时CMPC

20.【答案】解：(1)∵f(x)=ax2+xlnx，∴f′(x)=2ax+lnx+1，

∵切线与直线x+3y=0垂直，∴切线的斜率为3，

∴f′(1)=3，即2a+1=3，故a=1；

(2)由(1)知f(x)=x2+xlnx，a∈(0,+∞)，f′(x)=2x+lnx+1，x∈(0,+∞)，

令g(x)=2x+lnx+1，x∈(0,+∞)，则g′(x)=1x+2，x∈(0,+∞)，

由g′(x)>0对x∈(0,+∞)恒成立，故g(x)在(0,+∞)上单调递增，

又∵g(1e2)=2e2−1<0，g(12)=2−ln2>0，

∴存在x0∈(0,12)使g(x0)=0

∵g(x)在(0,+∞)上单调递增，

∴当x∈(0,x0)时，g(x)=f′(x)<0，f(x)在(0,x0)上单调递减；

当x∈(x0,+∞)时，g(x)=f′(x)>0，f(x)在(x21.【答案】解：(1)因为1−0.9+1+0.1−1−0.2=0，所以α,β具有性质M；因为S=所以Mα,β(2)方法1：由性质M得a+1+1−1+b+c=0，所以a+b+c=−1，因为a≤1,所以S=a+1+1=a