北京市海淀区海淀实验中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市海淀区海淀实验中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题一、单选题：本题共14小题，每小题5分，共70分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|0<x<3}，则A∩B=(

)A.{−1,0,1} B.{0,1} C.{−1,1,2} D.{1,2}2.已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是(

)A.|a|<|b| B.1a>1b C.3.下列函数中，值域是R且是奇函数的是(

)A.y=x3+1 B.y=sinx4.Sn为等差数列{an}的前n项和，已知aA.25 B.30 C.35 D.555.将函数f(x)=sin2x−π6的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)A.sin2x+π6 B.sin2x+2π36.已知公差不为0的等差数列an，前n项和为Sn，满足S3−S1=10A.2 B.6 C.5或6 D.127.已知函数f(x)=lnx+ax2，那么“a>0”是“f(x)在(0,+∞)上为增函数”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)=A.−278 B.−18 C.9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，若图象上的所有点向左平移π12个单位长度得到函数g(x)的图像，若A.−1 B.−3 C.−10.某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为：M=M0e−kt(其中M0，k是正常数).已知经过1 h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近A.3 h B.4 h C.5 h D.6 h11.已知数列an满足2anan+1+an+1=3aA.97 B.98 C.99 D.10012.已知函数fx=−x2−ax−5x≤1,A.−3≤a<0 B.−3≤a≤−2 C.a≤−2 D.a<013.函数fx=x−1xcosA. B.

C. D.14.设函数fx的定义域为A，如果对于任意的x1∈A，都存在x2∈A，使得fx1+fx2=2m(其中m为常数)成立，则称函数fx在A上“与常数m相关联”.给定函数①y=A.②④ B.①③ C.②③ D.①②二、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分。15.函数f(x)=1x+1+lnx的定义域是16.2+5+8+11+⋯+(6n+2)=

．17.已知向量a=(−1,2)，b=(m,1)，若向量a+b与a垂直，则m=18.无穷递增数列an满足0≤an<1，写出数列的一个通项公式an19.若3sin α+cos α=0，则1co20.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE⇀⋅BD⇀=21.已知函数fx=(1)无论k取何值，fx(2)存在实数k使得fx(3)存在实数k，使得fx的值域是R(4)当k=1时，若fx的图象与直线y=ax−1有且只有三个公共点，则实数a的取值范围是0,2.其中，所有正确命题的序号是

三、解答题：本题共4小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。22.(本小题10分)已知函数fx(1)求fx(2)求fx在区间−π23.(本小题10分)已知函数fx(1)求曲线y=fx在点0,f(2)求函数fx(3)若m≥0，直接写出方程fx=m24.(本小题10分)已知函数fx(1)若函数fx在x=1处有极值，求a(2)讨论函数fx的单调区间(3)若xfx≤0≠⌀且x25.(本小题15分)已知数列an的通项公式为an=2n+(−1)n+1(Ⅰ)当a2=−1时，求(Ⅱ)数列an(Ⅲ)若对于任意n∈N∗，都有an>0，求1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】A

10.【答案】A

11.【答案】C

12.【答案】B

13.【答案】D

14.【答案】A

15.【答案】0,+∞

16.【答案】6n17.【答案】7

18.【答案】nn+119.【答案】10320.【答案】2

21.【答案】(2)(4)

22.【答案】解：(1)fx即fx所以fx的最小正周期(2)当x∈−π6结合正弦函数的单调性：当2x+π6=π2(即当2x+π6=−π6(即因此sin2x+π6所以fx在−π6

23.【答案】解：(1)由fx=e而f′x=e所以曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y−1=2x，即(2)由fx=e令f′x<0，得x<−2，令f′x所以函数fx在−∞,−2上单调递减，在−2,+∞则fx的极小值为f(3)由(2)知，函数fx在−∞,−2上单调递减，在−2,+∞因为f−2=−1e2，x→−∞时，f作出函数fx由图可知，当m≥0时，函数fx与y=m有一个交点，此时方程fx=m

24.【答案】解：(1)函数f(x)=alnx+1x的定义域为因为f(x)在x=1处有极值，极值点处导数值为0，所以f′1解得a=1，经检验满足题意，故a=1；(2)f′(x)=ax−1x2当a<0时，对任意x>0，ax−1<0，即f′(x)<0恒成立，因此f(x)在(0,+∞)上单调递减，无增区间；当a>0时，令f′x=0，解得当x∈0,1a时，f′x<0当x∈1a,+∞时，f′x>0综上所述，当a<0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在0,1a上单调递减，在(3)将问题转化为存在正实数x使f(x)≤0，且所有满足f(x)≤0的x都落在(0,1)内，由(2)知，当a<0时f(x)在(0,+∞)单调递减，f(1)=1>且当x→+∞时f(x)→−∞，必然存在大于1的x满足f(x)≤0，与{x∣f(x)≤0}⊆(0,1)矛盾，舍去；当0<a<e时，f(x)在x=1a处取得最小值x∈0,1都有fx>0若a≥e，则1a∈0,1ex→0+时f(x)→+∞，因此满足f(x)≤0的x全部落在综上得a≥e．

25.【答案】解