《计算机辅助设计和制造》-第六章

6.1夹具建模在夹具自动设计过程中，一个基本任务就是评估和控制定位元件的几何误差对工件定位误差的影响。这一章提出了一个从定位元件误差空间到工件定位误差空间的映射模型。如果给定了工件的公差要求，那么就可用该模型来确定定位元件的几何设计要求。另一方面，如果给定了定位元件的几何公差，那么就可利用该映射模型来计算工件的定位误差，而不论工件是确定性定位、过定位还是欠定位。在定位元件和夹紧元件布局特性的分析中，使用了自由运动锥体（用来判断工件是否容易被放入夹具和从夹具中拆卸下来）的概念。基于凸面分析的二元理论，确定了自由运动锥体的极线（这种自由运动锥体也叫约束锥体）。用这种约束锥体，可以确定夹紧的位置以及可以夹紧的区域，在这个区域中可以确保工件被完全约束。下一页返回6.1夹具建模6.1.1装夹中的几个基本问题夹具是用定位装置和夹紧装置分别对工件进行定位和夹紧，从而保证工件在加工和制造过程中保持理想的位置和方向。夹具设计包括装夹工艺规程的编制、夹具布局（装夹方案）、夹具结构设计和设计验证（Rong，1999）等，在自动夹具系统设计过程中需要解决以下几个基本问题：（1）如何确定定位布局从而满足工件既能易于置入和取出夹具体。（2）如何使定位布局最优化从而使工件的定位和方向误差最小。（3）如何确定夹紧元件的位置使得工件被完全约束。上一页下一页返回6.1夹具建模（4）如何设计装夹方案（定位和夹紧），通过在工件的表面上合理分布定位和夹紧的位置从而使夹紧更稳定可靠。（5）如何布局夹具元件使工件有最小的位置和方向误差，并使夹具系统有最大的系统稳定性。（6）如何确定夹紧力的大小使得夹具系统在受时间和位置变化的外界载荷（如切削力）作用时，工件和夹具元件之间不发生滑移。为了找到以上问题的基本解决办法，必须进一步研究以下几个建模问题：（7）定位元件误差和工件位置及方向误差之间的映射关系。（8）夹具检验所面临的问题：如果给定定位元件的布局和公差，如何确定工件的位置和方向误差。上一页下一页返回6.1夹具建模（9）以上问题的逆问题：如果给定了工件的位置和方向误差要求，如何确定定位元件的公差。本章6.2部分的目标是寻求一种能够解决问题（1）~（3）和（7）~（9）的普遍方法。首先，推导出一种新的夹具误差分析模型，使其能够适用于确定性定位、欠定位和过定位。其次，分析定位装置的布局特性，给出了工件在夹具上可安装和可拆卸的条件。最后，基于形式封闭的原理，确定可行的夹紧区域。这样一种普遍的夹具误差分析模型，特别适用于确定性定位、欠定位和过定位的情形，并且首次提出了确定可行的夹紧区域的方法。上一页下一页返回6.1夹具建模本章6.4部分是关于夹具布局规划，旨在解决问题（2）、（4）和（5），并将进一步探讨解决问题（6）的方法。本章其余部分是这样的：①对之前研究夹具建模及分析的背景和相关领域进行介绍。②提出了一种通用的解决夹具误差分析的模型，并用实例来进行验证。③最后是对定位和夹紧布局特性的研究。在特性分析的基础上，提出了一种能够确定定位布局的方法，使其满足工件装入和取出夹具的条件，并能确定可行的封闭夹紧区域。上一页下一页返回6.1夹具建模6.1.2相关研究工件加工特性的几何精度很大程度上是依靠加工夹具精确定位工件的能力，这实际上关系到定位元件的布局和每个定位元件的位置精度。夹紧元件的位置直接影响了装夹的形式封闭。因此，研究定位和夹紧的基本原理是自动夹具系统设计中的一个关键问题。长期以来，人们把夹具系统的设计视为依靠人的技巧和经验而进行的乎工作业。而之后夹具的设计更像是一门科学而不是艺术。目前就有很多研究者在从事夹具方面的研究。工件装夹的运动学（Bausch，1990）和物体抓持的运动学相似。装夹和抓持的目的都是通过一系列适当的接触使物体在运动学的意义上固定不动。上一页下一页返回6.1夹具建模夹持和操纵刚体中的运动和力约束的分析都可应用到夹具分析上。对装夹

夹持的研究不可避免的会涉及到封闭性分析，这可以追溯到1885年Reuleaux研究2D和3D物体的形状封闭机理。形状封闭是设置在刚体周围的一系列机械约束，从而限制刚体在任何方向上的运动。对一维和二维实体的形状封闭至少分别需要四个和七个单点接触。这一点可以在Lakshminarayana（1978），Zhang（2001）上找到相关的证据。通过分析形状封闭得出利用夹具对一个工件进行完全约束必须具有六点定位和一个夹紧点，即3-2-1定位原理如Cai（1997），Huang（1994）和Martin（2001）中所给出的。从而得出3-2-1定位方案为确定性定位的必要充分条件。上一页下一页返回6.1夹具建模然而，Czyzowicz（1991）得出对普通的二维和三维多边形物体可以分别通过三个和四个无摩擦接触来固定。最近，Rimon（2000）将他们的研究成果扩展到更多类别的三维物体，并且指出当考虑二阶几何作用（即曲率效应）时，固定普通的三维物体仅需要四个无摩擦固定点。为达到封闭网格和力锁合，为平面夹具设计开发了组合钳运算法则和三维组合钳。在运算法则中，假定一个部件仅与触点的垂直表面相接触（Brown，1999）。因此，借助于组合钳运算法则不能始终获得任意零件的组合夹紧方案（Zhang，2001）。（Wu，1998）验证了平面夹紧合适夹紧区域的选择。上一页下一页返回6.1夹具建模然而，这种方法不能应用在三维的夹紧中。Martin（2001）的著作中给出了一个算法用于寻找三维工件上的夹紧位置，但是算法中没有给出如何确定可行性夹紧区域以保证对工件进行完全约束。Ding（2001）提出了一种为多面体工件自动选择一系列符合要求的形似封闭的夹紧表面。然而，并不考虑工件对夹具可装入性和从夹具中取出的可能性，这是装夹和抓持的本质区别。在抓持过程中，认为多重触点机械乎的所有乎指是主动的末端效应器，夹紧过程中的定位元件则是被动元件（尽管夹紧元件是主动的）。因为抓持过程中所有的乎指是主动的，可以通过主动控制多触点机械乎来保持所要抓持的物体处在所期待的位置和方向。上一页下一页返回6.1夹具建模因此，机械乎抓持主要考虑的是抓持的可行性，灵活性和稳定性。相反，由于所要装夹的工件的位置和方向精度依赖于被动定位元件的公差，因此加工中夹具的布局则更强调的是工件的精确定位。为满足精度要求，工件某些表面不能用于定位（Huang，1994），尽管从抓持角度说是可行的。Asada（1985）分析了在机械乎操纵中的自动确定夹具元件位置的问题。通过分析夹具对刚性工件表面上的功能约束得出了确定性定位的运动学问题。尽管在工件加工中存在误差，但也得到了顺利装卸工件的理想夹具布局。上一页下一页返回6.1夹具建模在加工过程研究中，为了提高加工精度，研究了误差源（Huang，1994；Zhang，2001），提出了确定性定位的定位误差分析模型（Cai，1997；Huang，1994；Rong，1999；Wang2001）。为确定性定位建立了误差敏度方程（Cai，1997；Kang，2001）。建立了定位元件公差的影响模型，分析了其对确定性定位中线形加工特征的和潜在定位基准相关的几何误差（Rong，1999）。但是，在提出的定位误差分析模型中并没有考虑过约束定位和欠约束定位。此外，这些模型忽略了工件和定位元件之间的滑动误差，因此开发一个通用装夹模型是十分必要的。上一页下一页返回6.2定位偏差模型工件加工特征的几何精度部分程度上依赖于夹具精确定位工件的能力，这实际上与定位元件的布局和每个定位元件的位置精度相关。夹紧位置直接影响夹紧的形式封闭。考虑一个如图6.1所示的普通工件。选定坐标系{W}固定在工件上。设{G}和{Li}分别为全局坐标系和与第i

个定位元件相关联的坐标系。第

i个接触点为工件和第

i

个定位元件之间的接触点，它的位置可以描述为（6.1）和（6.2）下一页返回6.2定位偏差模型其中，和是工件在全局坐标系{G}中的位置和方向；是工件坐标系{W}中，工件和定位元件之间第i个接触点的位置（第i个定位元件坐标系{Li}）；是工件坐标系{W}关于全局坐标系{G}的方向矩阵（第i个定位元件坐标系{Li}。因此我们得到等式（6.3）上一页下一页返回6.2定位偏差模型由于可能存在第

i个定位元件的位置误差

和工件的位置误差

，工件和第i个定位元件之间的接触将偏离其名义位置。假设和分别是工件位置（方向）的偏差和第i个接触点位置的偏差。设是工件的实际接触点。使用泰勒展开，可得（忽略高阶误差）。（6.4）上一页下一页返回6.2定位偏差模型其中，公式（6.4）右端的第一项是由工件的位置误差

Xw产生的第

i个接触点的位置误差，第三项是由工件的方向误差

w引起的第

i接触点的位置误差，第四项是由工件的几何误差引起的第i

接触点的位置误差。与此相似，假设和分别是第i个定位元件的位置（方向）的偏差和第i个接触点的位置偏差。设是第i个定位元件的接触。使用泰勒展开，可以得到（忽略高阶误差）（6.5）上一页下一页返回6.2定位偏差模型其中，公式（6.5）中右端第二项是由第

i个定位元件的位置误差所引起的第

i个接触点的位置误差，第三项是由第

i个定位元件的方向误差得出的第

i个接触点的位置误差，第四项是由第

i个定位元件的几何误差得出的第

i个定位点的位置误差。尽管在夹紧过程中存在几何误差，但工件和定位元件之间始终保持着接触，因此可得到等式

（6.6）即，上一页下一页返回6.2定位偏差模型借助于公式（6.3）并且仅考虑夹紧过程中第

i个定位元件的几何误差的影响（意味着定位元件的方向不变），公式（6.7）可表示为（6.8）其中，是工件表面和第

i个定位元件表面在全局坐标{G}下的滑移误差；，是单位矩阵，算子

表示

so(3)[so(3)是特殊正交群so(3)的Lie代数展式]。上一页下一页返回6.2定位偏差模型公式（6.8）中参数的几何意义可以在图6.2中得到。除了一些如不合理的定位布局这样的最坏情况外，通常滑移误差小到可以忽略。一般情况下，我们假设滑移误差可以忽略。因此，公式（6.8）变为（6.9）其中，是在全局坐标系{G}中工件第

i个接触点的位置矢量。假设每个定位元件在法向ni仅存在位置误差，同时坐标系{Li

}的Z轴与法向ni相同，即，则公式（6.9）可以描述为上一页下一页返回6.2定位偏差模型（6.10）对于一个具有

m个定位元件的定位系统，我们可以把

m个等式以矩阵的形式表示为（6.11）其中，；；；和公式（6.11）可重写为

（6.12）其中，为定位矩阵。上一页返回6.3定位特征分析给定了待加工工件特征的公差要求，可将其转换成所允许的工件位置和方向偏差范围，那么所有定位元件的几何设计要求可以利用公式6.12得出。另一方面，给出了定位元件位置的几何公差，工件的位置和方向变化也可以求得。而对于如下的定位情况需要考虑不同的计算方法。（1）完全定位（确定的）：当工件表面上六点定位时，工件完全约束在一个位置。（2）欠定位：工件的六个自由度没有被完全约束。（3）过定位：工件的六个自由度被六个以上定位元件约束。确定性定位需要六个定位元件，使得定位矩阵

WL

满秩。如果定位矩阵的秩小于6，工件是欠定位的（即工件至少有一个自由度没有被定位元件所约束而可以运动）。下一页返回6.3定位特征分析如果定位矩阵满秩但定位方案中有六个以上的定位元件，则工件是过定位的，这表明至少有一个定位元件可以移走而不影响定位矩阵的秩和定位方案的性能。表6.1中将每种情况中的定位矩阵秩和定位元件数目进行了比较。上一页下一页返回6.3定位特征分析6.3.1定位状态分析1985年，Asada提出了关于约束方程的一个满秩的雅可比矩阵作为标准来衡量工件的定位状态，这是一个巨大的贡献，同时为后来的确定性定位分析研究奠定了基础。假设工件和夹具元件之间为无摩擦的点接触，工件的理想位置是，工件在该定位处表面方程gi

是分段可微的（如图6.3所示）。表面方程定义为。如果是确定性定位，那么对于所有的定位元件方程组应该有一个唯一解：其中，n是定位元件的数目，为工件的位置和方向。上一页下一页返回6.3定位特征分析假定工件约束在理想位置的一个近域，，Asada和By得出其中，hi是雅可比矩阵的梯度矢量，如公式6.15中所示的矩阵。若雅可比矩阵满秩，则可满足确定性定位要求，公式6.14便有唯一解：上一页下一页返回6.3定位特征分析给出一个定位方案，我们仅需要检查约束等式的雅可比矩阵的秩（或定位矩阵的秩），以了解定位方案是否提供了确定性定位。Kang（2002）遵循了这种思想并应用它在一个自动的计算机辅助夹具设计验证系统中开发了一个几何约束的分析模型。该计算机辅助夹具设计验证系统可以计算雅可比矩阵和它的秩，以判断定位的完整性，还可以分析工件的位移对定位误差的敏度。Chou（1989）借助于螺旋理论阐明了确定性定位问题。设W是一个6xn的规格化定位螺旋矩阵，F是一个nx1的螺旋矢量长度，wp是定位螺旋。那么平衡方程式为F应有非负解。可得出为达到确定性定位，定位螺旋矩阵应该是满秩的。很多研究都采用该方法。上一页下一页返回6.3定位特征分析Xiong01998）提出了相似的标准来检验定位矩阵WL的秩。该研究还引入了定位矩阵的广义右逆元来分析欠约束工件的几何误差。工件方位误差的最小标准解，和定位元件的几何误差之间的关系如下：Wang（2003）考虑了定位元件一工件接触区域的作用而不是应用点接触。通过引入了一个接触矩阵，指出两个接触体在一个接触点上不应具有相等的曲率而是应有相应的曲率。Carlson（2001）指出一个线性的近似对于某些情况来说可能是不够的，例如非棱柱表面或非小量相对误差。他提出了一个考虑定位元件误差交互作用的一阶泰勒展开。MarinC2001）应用Chou的关于3-2-1定位的公式，导出了几个易于实现的规划规则。上一页下一页返回6.3定位特征分析尽管关于确定性定位有很多的分析研究，但是对非确定性定位的分析则较少有人关注。还没有关于解决不确定性定位夹具设计的系统性研究。如果一个夹具系统不能实现确定性定位，了解约束情况和如何改进设计对于设计者来说是十分重要的。如果夹紧系统是过约束的，则想确定哪些定位元件是不必要的。尽管会发生欠约束，但工件的欠约束运动数据可以引导设计者更有效的选择附加定位元件和

或修改定位方案。图6.4为一个用于确定某定位方案几何约束情况的通用策略。上一页下一页返回6.3定位特征分析6.3.1.1实现算法如图6.5所示，给出定位元件数目n，每一个定位元件的定位法矢量和定位位置（nx6的定位矩阵）可以由下式确定：其中，rank（WL）=6且n=6，工件是完全约束的。上一页下一页返回6.3定位特征分析（1）找出所有n-6个定位元件的组合。（2）针对每一个组合，从定位方案中去除n-6个定位元件。（3）根据剩下的六个定位元件重新计算定位矩阵的秩。（4）如果秩不变，则去除的n-6个定位元件是过定位的定位元件。上一页下一页返回6.3定位特征分析这种方法可能会产生多重解，要求设计者决定哪一个可产生最好的定位结果。当rank（WL）<6时，工件是欠定位的。假设有n个定位元件。公式（6.17）可以表示为其中，是关于X，Y，Z的位移和旋转。是第i个定位元件的几何误差，wij定义为定位矩阵Wr的广义右逆元。为确定工件所有未约束的运动，引入使得：上一页下一页返回6.3定位特征分析当rank（

XW）<6时，一定存在一个非零的V满足式（6.20），Vi每一个非零解代表着一种未约束的运动。Vi的每一项表示了这种运动的一个分量。例如，[0，0，0，3，0，0]意味着X轴方向的转动是不受约束的。[0，1，1，0，0，0]意味着工件可以沿着向量，0，1，1]给定的方向运动。可见有无穷解，解空间可以由6-rank（WL）的基本解构建。其基本解可以根据式（6.19）和（6.20）得出上一页下一页返回6.3定位特征分析当且仅当式（6.22）对于任意的i（1<i<n）都成立时，式（6.21）对于任意都成立，因此在特殊情况下（例如所有的w1j都等于零），V有显解[1，0，0，0，0，0]，意味着沿X轴的平移是不受约束的。这是因为在这种情况下

x=0，也就是工件相应的位置

方向误差不依赖于任何定位误差。因此，相关联的运动也不受定位元件的约束。另外，如果

XV中的一个元素可以由其他元素线性表示，则组合运动也是不受约束的。例如，。在这种情况下，工件不能沿X轴和Y轴运动，但工件可以沿X轴和Y轴间的斜线向量[1，1，0]方向运动。为求出一般情况下的解，其计算方法开发如下。上一页下一页返回6.3定位特征分析（1）消除定位矩阵的附属行。设r=rank（WL），n=定位元件数。如果：r＜n，在（n-r）维空间中创建一个向量。选择一个使得当所有第uj行的所有项都为零时，仍有rank（WL）=r。创建如下rx6阶修正定位矩阵其中（2）计算修正定位矩阵的6Xn的广义右逆元。上一页下一页返回6.3定位特征分析（3）消去wr矩阵为rxr阶满秩矩阵。令r=rank（WL）<6，构造一个（6-r）维矢量。选择qj使得当所有qj行的所有元素都为0时，rank（wL）=r仍成立。令为修正矩阵。其中，上一页下一页返回6.3定位特征分析（4）将无约束运动空间正交化。假设是公式（6.20）的一个基本解，且六项都未知。从矢量Q（1<k<6-r）中选取一项qj。设上一页下一页返回6.3定位特征分析（5）计算V的未知项。V也是公式（6.22）的一个解。r个未知项可由下式解出其中，s=1，2，，，，，6（s≠qj，，s≠qk），并且l=1，2，...，6，（l≠qj）（6）重复第（4）步（从Q中选择另一个项）和第（5）步直到确定所有的（6-r）个基本解。上一页下一页返回6.3定位特征分析6.3.1.2实例研究基于上述算法，开发了一个C++程序来识别欠约束状态和无约束运动。例1在一个表面的磨削加工中，工件定位在一个夹具系统上，如图6.6所示。每个定位元件的法矢量和位置如下列各项所示：上一页下一页返回6.3定位特征分析因此，定位矩阵可以确定为这个定位系统为欠约束定位，rank（WL）=5<6。程序通过以下矩阵来计算定位矩阵广义右逆元。上一页下一页返回6.3定位特征分析因为第一行是相关行，去掉这一行不影响矩阵的秩。其余五行是无关行。根据第5步对欠约束状态的要求可以找出无关行的线性组合。对该特例的解是显然的，因为其中所有的系数都是零。因此，工件的无约束运动可以确定为这表明工件可以在X方向上移动。基于该结果，应该使用一个附加定位元来限制工件沿X方向的运动。上一页下一页返回6.3定位特征分析例2图6.7展示了一个用3-2-1定位的连接器。在最初的设计中法矢量和位置如下所示。该方案定位矩阵是上一页下一页返回6.3定位特征分析其中，rank（WL）=5<6表明工件约束不足。开始的五行之一可以去除。假设第一行（也就是定位器L1）从W移出。修正定位矩阵因而变成修正定位矩阵的右广义逆是上一页下一页返回6.3定位特征分析程序检查了相关行并发现每一行都依赖于其他五行。不乏一般性，不妨可以将第一行看作相关行。用其他五行的线性来表示第一行然后进行计算。计算得出无约束运动这一运动是在[-1，0，-1.713]方向的移位并伴随有[-0.0432，-0.0706，0.04]方向的旋转。修正这个定位方案，增加另一个定位元件至少限制工件的一个无约束运动分量。上一页下一页返回6.3定位特征分析6.3.2定位误差分析一旦定位状态确定，下列讨论的算法可用于分析定位错误。6.3.2.1适当约束利用确定性定位，给定定位元件的几何误差

r，可以用公式（6.12）中得到工件的精确位置和方向误差

X其中，W-1是定位矩阵WL的逆。上一页下一页返回6.3定位特征分析6.3.2.2过约束在这一情况中，给定定位元件的几何误差

r，工件的精确位置和方向误差

X不能从方程6.12得到，但是最小一乘方程解能由下式算出其中是定位矩阵WL的左乘逆。上一页下一页返回6.3定位特征分析6.3.2.3欠约束当rank（WL）=m'<6时，夹具被称为欠约束定位。给定定位元件的几何误差

r，工件的位置和方向误差

X如下所示其中，是工件位置和方向误差

X的最小范解，是定位矩阵城的右乘逆，V是Euclidean6维向量空间E6的一个子空间，是工件位置和方向误差

X的零解，定位矩阵WL的零空间N（WL）是E6的一个特殊的子空间[零空间N（WL）的维数是6-m′]，N（WL）和V互为正交补，用表示，或等价地表示为，L6x6是一个单位矩阵，是一个任意矢量。下列实例说明了公式（6.25）的几何意义。上一页下一页返回6.3定位特征分析例3在一个表面磨削加工中，工件在机床上为欠约束定位。坐标{W}用于描述工件加工表面的位置和方向。为了简化计算而不失一般性，机床工作台坐标系{G}如图6.8所示，二个定位元件（等价物）的位置，法向误差，和单位法矢量如下其中，，a和b是非零常数。得到如下定位矩阵WL：上一页下一页返回6.3定位特征分析显然只要二个定位元件不在同一直线上就有rank（WL）=m=3。在这种情况下，右乘逆矩阵W+，存在，且为此外，利用公式（6.25）和公式（6.27）可以得到工件定位误差如下：上一页下一页返回6.3定位特征分析其中，式（6.29）给出了工件沿Z轴方向的平移误差和绕X轴和Y轴方向的转动误差。二个误差元素因此被确定。而式（6.30）显示了工件沿X轴和Y轴方向的平移误差以及围绕Z轴方向的转动误差。因此这二个误差元素不能确定。此外，我们能通过式（C6.29）和式（6.30）得到

XV和

Xn，相互正交。所有的结果都是欠定位约束所特有的。上一页下一页返回6.3定位特征分析一旦确定了工件的位置和方向精度，工件上一组临界点的位置误差就可以算出来评价特征的变化。假设第了个临界点的位置记为Pj，则第了个临界检测点的位置误差如、和工件定方位误差

X的映射可以描述为上一页下一页返回6.3定位特征分析在加工质量检测中，经常在指定的方向上检测临界点的位置变动。例如，当需要检测工件表面的平面度时，就会考虑一组顶点在工件表面法线方向上的位置变动。利用公式（6.31），第j个临界点沿Qk方向的位置变动和工件位置和方向误差

X的映射可以描述如下上一页下一页返回6.3定位特征分析公式6.32可以改写为其中，通常，位置和方向误差是独立且随机的，因此，第j个临界点沿方向Qk的位置变化量V，可以描述为上一页下一页返回6.3定位特征分析6.3.3结论每个定位元件本身都会存在位置误差。定位元件的位置误差将会影响到工件的位置和方向精度。如何检测并控制这样的误差影响是夹具自动设计规划的基本问题之一。本节得到一个通用装夹误差映射模型，可适用于确定性约束、欠约束和过约束定位。提出并实现了一种检测定位状态的算法。这一算法能识别欠约束的状态和无约束运动。它也能识别过约束状态和消除多余的定位元件。因此对一个给定的定位元件布局和位置公差，使用一种适当的方法就能确定工件的位置和方向变位。另一方面，给定工件位置和方向变位公差就能设计出定位元件的公差。此外，利用这个模型可以计算出工件上临界检测点的位置变动，这对加工中的质量检测非常重要。上一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性6.4.1定位元件布局特性工件的定位偏移与定位元件的位置和误差有关。当工件加工特征的公差要求给定时，定位元件的设计要求便可以确定。相反，给出定位元件的几何误差就能计算出工件的位置和方向误差。然而，一些定位元件的布局可能影响工件在夹具上的装卸（Asada，1985）。下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性考虑如图6.9所示的一个工件。假定该工件的瞬时速度（扭转）可以记为，其中和分别为工件的瞬时线速度和瞬时角速度，并且每个定位元件和工件之间只存在一个无摩擦的接触点，第i个定位元件对工件运动的约束可以表示为其中，是工件与第i个定位元件的接触点处的极小运动。上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性方程6.35表明了工件上的第，个接触点只能在半闭空间内移动，它是由平面将整个空间划分得到的，如图6.9所示。因为方程6.35可以被改写为上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性公式（6.37）表明工件只能在半闭空间内移动，它是由超平面将整个空间9Z，划分得到的。有m个点接触区工件运动约束可以表示为即为方程（6.37）意味着工件只能在空间的一个多面凸锥里移动，如下所示多面凸锥无被称为自由运动锥它是由分割m维半闭空间产生的。上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性如果自由运动锥内部仅包含0元素，则夹具的定位被称作形式封闭。从运动的观点来看，形式封闭就意味着在夹具元素的几何约束之下消除了工件的所有运动自由度，如果工件的定位元件布局满足方程（6.41），工件在夹具上既不能装入也不能拆卸。相对而言，如果自由运动锥k含有一个非零元素，工件将能在一个或多个相关方向上移动，这也就意味着工件能够被装入夹具或从夹具中取出。因此，方程（6.41）可用作判断工件的可装入性或取出性的一个量化指标。上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性6.4.2夹紧元件布局特性：工件的可装入性和取出性依照凸锥分析中的对偶理论（Rockafellar，1970）自由运动锥无的极集K，可以描述为其中，是夹紧力（扭）（h=3用于一维装夹，图6.10所示为一维自由运动锥k及其极集k。定位元件的约束，自由运动锥无是WL6的一个了空间h=6用于二维装夹）。显然由于m个，并且k。是正交补的了空间。一般对于任何非空凸闭集合k，k。由所有在0点处和k。正交的矢量组成，而犬由所有在0点处和k。正交的矢量组成，且。我们称极集k为约束锥。上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性夹紧的作用用来平衡由工件重力、切削力和定位支撑反力组成的系统力，从而使得工件处在要求的位置和方向。如要保持工件在要求的位置和方向，那么夹紧力fcl应该在约束锥k。内。换句话说，如果在工件被定位以后存在可行的运动方向，或如果工件可以用夹具夹紧或可以从夹具上拆卸，那么根据公式（6.42）夹紧力fcl的方向就能确定。此外，从公式（6.42）中能够发现夹紧元件的布局不是一个点而是一个可行域，以满足公式（6.42）中给定的约束。上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性6.4.3夹具形式封闭的判别令fni为第i个夹具元件作用在工件上的法线力。由力fni产生的力螺旋可以表示为因此，由接触力q产生的力螺旋可以表示为其中，为夹紧矩阵，为加紧力，上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性如果力F表示作用在工件上的外力螺旋，那么公式（6.44）表示了夹紧力的平衡约束。另外，夹具元件只能对工件产生压力而不能产生拉力，所以接触力必须满足单边约束，可以表示为从作用力的观点来看，形式封闭意味着在定位元件和夹紧元件的几何约束下，总能找到正的接触力来平衡施加在工件上的任何外力螺旋。它能用下列原理来证明：当且仅当约束矩阵GN是全列秩，存在一个向量。，使得。Gny=0，有q个无摩擦接触点的装夹是形式封闭的。上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性例4考虑如图6.11（a）中所示的平面多边形工件的平面定位。这里二个定位元件用于平面工作的定位。每个定位元件的位置矢量和法矢量如下利用位置矢量和法矢量，我们可以把带有二个定位元件的工件的运动约束〔公式（6.39）〕表示为其中，a，b，c和d是正常数。上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性从公式6.46可得，自由运动锥k中所有元素都为0。因此，当工件的轨迹仅仅限于平面运动时，使用相应的定位布局将会使得工件既不能装入夹具又不能从夹具中取出。现在，我们把定位布局从图6.11（a）变化到图6.11（b）。每个定位元件的位置矢量和法矢量如下同理，我们由下式得到图6.11Cb）所对应的定位运动约束其中，a，b和e是正常数。上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性从公式（6.47）可得，自由运动锥无包含以下运动元素夹紧的作用是限制工件沿这些方向的运动。参看公（6.42）由下式可得约束锥K，上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性其中，fx，fy和ms是夹紧力元素。若夹紧元件位于图6.11（b）所示的斜边，夹紧力方向可表示为显然，公式（6.49）所描述的夹紧力位于约束锥K。之内。这就表示夹紧布局是一个可行域，即斜边的任意处都可作为夹紧位置「图6.11（b）]。上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性如图6.11（b）所示的定位夹紧布局，设a=2，b=8，e=12和夹持位置为s。则约束矩阵GN可表示为根据形式封闭定位夹紧原理，设存在一向量.，使得GNY=0，由公式（6.50）我们得到夹紧元件的位置约束为这就表示对工件的全约束来说，夹紧元件的位置仅可在图6.11Cb）所示的黑体实线范围内选取。上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性例5设一个如图6.12（a）所示的以6个定位元件定位的3维多面体工件，为一个角被切掉的立方刚体工件。每个定位元件的位置矢量和法矢量如下上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性由位置矢量和法矢量，我们把以六个定位元件定位的工件的运动约束「公式（6.39〕表示为从公式（6.52）可得，自由运动锥犬不含除。以外的任何元素。因此，所对应的定位布局使得工件在夹具上不可装卸。上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性现在，把定位结构从图6.12（a）变到图6.12（b）。每个定位元件的位置矢量和法矢量如下上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性与图6.12（b）对应的定位运动约束可被表示为由公式（6.53）我们可得自由运动锥无包含以下运动元素其中，上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性因此，根据公式（6.42）由下式得到约束锥k。其中，和ms是夹紧力元素。上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性如图6.12（b）所示，若夹持点位于斜面，加紧力方向可表示为显然公式（6.55）所描述的夹紧力犬位于约束锥内。这就意味着夹紧布局是一可行域「图6.12（b）所示斜面〕，夹紧位置可在斜面上任意选取。上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性设如图6.12b所示的夹紧位置表示为，则约束矩阵GN为上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性根据形式封闭定位夹紧原理，设存在向量，使得GNy=0，再由公式（6.56）我们得到夹紧元件位置约束如下图6.13显示了对应的可行夹紧域。对全约束的工件来说，夹钳位置仅可在黑体实线内的封闭区域选取。上一页下一页返回6.4定位元件和夹紧元件的布局特性6.4.4结论在这一节里，通过对自由运动锥的分析，提出了工件在夹具上的可安装性和可拆卸性。由自由运动锥的极线（也就是约束锥）可找出夹紧力的方向。提出了当工件定位夹紧是一形式封闭时如何确定可行夹紧域的方法。利用几个例子验证了所提出的模型和与其相关方法的有效性。上一页返回6.5夹具规划指数工件的定位误差由位置误差和定位元件的布局所决定。工件定位之后，使用夹紧元件把工件固定在定位的位置。在本节中，定义了夹具规划的二个指数①定位的健壮性指数，用来评估定位元件的布局。②稳定性指数，用来评估定位夹紧系统对外力螺旋的抵抗能力。③装夹综合指数，用来同时评价抗定位元件位置误差的健壮性指数和抵抗外力螺旋十扰的稳定性指数。下一页返回6.5夹具规划指数己经证明，稳定性系数在线性坐标变换中，即改变扭矩作用原点和改变量纲单位中为常量。这里检验二个与之相对应的规划方法，也就是非线性程序方法。由此来选定定位元件和夹紧元件的最佳布局。设计方案的约束包括工件的自由度约束、定位面约束、可装性约束和可拆卸性约束、夹紧方向约束和夹紧域约束。最终，以一个例子来验证所提方案的可行性并比较二种设计方法的结果。上一页下一页返回6.5夹具规划指数6.5.1引言在6.1节中，建立了一个在定位元件的误差空间和工件定位误差空间之间的映射模型。该模型适用于确定性定位、过定位和欠定位。探讨了如何来确定可行的定位元件布局，使得其中的工件易于装夹和取出以及如何选定可行的夹紧域，在工件被定位和夹紧后保证被完全约束。如何在这些可行的设计布局中找到和选定最佳的定位夹紧布局是夹具自动化设计和规划的一个基本问题。上一页下一页返回6.5夹具规划指数一般来讲，无论怎么追求误差的最小化，这些夹具定位误差总是存在的。即使定位元件具有相同的位置公差，不同的定位元件布局还是会产生不同的工件方位误差。在一些情况下，由于不合理的定位元件布局而产生不可接受的工件位置和定向的变化。于是，在过去的几年中，许多研究人员致力于夹具设计的研究。上一页下一页返回6.5夹具规划指数基于预定义的定位模式和操作规则，Rong（1999）提出了集成CAD技术的实用自动化夹具设计，Cai（1997）亦提出了定位元件布局设计的变分法。分析了确定性3-2-1定位方式设计的最优化条件，以此来降低反作用力和减小定位元件的定位误差。Martin（2001）提出了确定性3-2-1定位元件设计的近似最优化综合算法，但是忽视了每个定位元件误差在工件上的定向误差和定位误差的祸合效应。此外，也没有考虑如何选定最佳的夹紧元件布局。上一页下一页返回6.5夹具规划指数众所周知，变形在定位装夹中是需要考虑的一个重要因素（Lin，1999）。Lin（1999）详细讨论了在柔性机械乎夹持和装夹中的刚度问题。在定位夹紧时，夹具元件必须保证工件在切削力的载荷下不出现位移。利用测量法可以得到最符合给定任务的夹具元件的数量和位置。上一页下一页返回6.5夹具规划指数有些研究人员研究了四种夹具布局最优化方法的效果，即连续GA、分离GA、连续SOP和分离SQP。提出了对定位元件和夹紧元件的位置进行优化，以此减小由工件在定位和夹紧元件接触处的局部弹性变形所引起的工件定位误差（Li，1999）与此类似的夹具布置最优化问题，即减少由切削力和夹紧力所引起的加工面变形，可用遗传算法解决（Krishnakumar2000）。事实上，与定位元件的位置误差相比，在工件的夹紧点的局部弹性变形并不是主要素。上一页下一页返回6.5夹具规划指数Cai（1997）和Wang（1999）考虑了夹具设计的健壮性。如果工件位置对定位元件误差不敏感，则称作健壮性定位。敏感度方程是健壮性夹具设计的基础。Carlson（2001）提出了确定性定位设计的线性敏感度方程和一次敏感度方程，其中没有考虑工件和定位元件的接触点滑动。Wang（1999）提出了两个衡量最大化工件定位精度和最小化定位元件法向和分布接触力的标准指标。亦提出了最优化确定性定位的夹具布局的相应算法。上一页下一页返回6.5夹具规划指数vanderStappennC2000提出了机械乎指点的布局算法（机械指点的放置达到多面体零件的一阶固定性），从而放置一个多边形零件于形式封闭之内。Liu（2000）提出了对多边形物体的n个乎指形式封闭抓取的算法。基于凸壳和凸多胞体的对偶性，Liu（1999）对3D形式封闭夹持的定性测试用线性问题来描述，亦提出了任意多边形物体的两机械指和二机械指的力封闭夹持的综合算法。在Han（2000）中，零件和机械指尖之间的非线性摩擦锥约束转化为线性矩阵不等式（LMIs）并且，把基本夹紧问题的分析作为一系列涉及LMI的刃，规划问题而进行阐述。把接触的稳定性（Montana1992）和夹紧物体的稳定性（Trinkle，1992；Howard，1996；Xiong，1998，1999）上一页下一页返回6.5夹具规划指数作为确定最优化触点布局问题进行研究。Ding（2001）讨论了自动选取多面体工件合适的定位表面和在所选的表面上计算最佳夹紧点位置的方法。但是，Ding的算法并没有考虑工件在夹具上的安装性和拆卸性，而该问题对定位夹紧和机械指抓取有本质的不同。Martin（2001）提出了在具有平面和圆柱面的3D工件上搜寻夹持位置的算法。但是，Martin的算法中并没涉及如何确定可行的夹持并使工件完全约束。最近，Rimon（2000）考虑到工件的一阶几何影响并称只要无摩擦的四机械指就可固定一个3D普通工件。但是并没有给出关于四个机械指最佳位置的设计算法。上一页下一页返回6.5夹具规划指数6.5.2定位装夹的评佑指数6.5.2.1定位元件布局的评估指数夹具用来在加工、装配、检验中固定工件。工件的定位和定向精度与定位元件的位置误差相关。此外，对于给定相同的定位元件位置误差，工件的定位误差随着定位元件的布局变化而改变。定位元件的误差和定位误差的映射关系可用公式描述为，也就是其中，是定位矩阵（m是定位元件的数目），此方程与定位元件的布局相关，是工件的定位误差，和分别是工件的位置误差和定向误差，相应地，是m个定位元件的位置误差。上一页下一页返回6.5夹具规划指数根据所给定的定位元件的位置误差和定位元件的布局，利用方程（6.58）可以确定定位误差。一般来说，所有定位元件的位置误差是独立的和随机的。从统计学的观点，六点确定定位的定位误差可表述为上一页下一页返回6.5夹具规划指数其中，表示定位矩阵WL的逆矩阵的第i行和第j列元素。

r（k）是第k个定位元件的位置误差。同理，对于过定位，定位误差的六个分量可表示为其中，表示的是定位矩阵WL广义逆左矩阵的第i行和第j列元素上一页下一页返回6.5夹具规划指数然而，对于欠定位来说，限制的工件自由度少于六，定位误差中只有与特定约束方向有关的一部分误差分量能被确定。在6.3.2部分的例3，定位误差的有关分量可表示为其中，表示的是定位矩阵的WL广义右逆矩阵的第i行和第j列元素。定位误差的其余分量与加工要求无关不能确定。上一页下一页返回6.5夹具规划指数公式（6.59），（6.60）和（6.61）表明工件定位误差分量取决于定位元件的位置误差和布局。通常来说，因为减少位置误差意味着增加加工成本，故定位元件的定位误差不能完全被消除。怎样才能设计一个最优的定位元件布局使得工件的定位误差最小化?为解决此问题，定义工件的定位误差标准作为定位元件布局的评估指数。如下由于在设计定位元件布局时，每个定位元件的误差对于工件定位误差的影响可以用指数只进行最小化。因此系数'，R称作夹具的定位鲁棒性系数。上一页下一页返回6.5夹具规划指数6.5.2.2稳定性指数一旦工件在夹具上完全定位和夹紧（即定位是形式封闭的），那么在定位元件和夹紧元件的几何约束下将消除工件的所有自由度。从力学观点来看，形式封闭定位夹紧就意味着夹具利用正的接触力可以平衡任何加载在工件的外力螺旋。外力螺旋和正接触力（q是接触的数目）之间的关系在6.4节表示为其中，是定位夹紧矩阵，是由接触点处的q个法向矢量所组成的法向矢量矩阵。上一页下一页返回6.5夹具规划指数注意，抵抗外力螺旋的能力随着接触布局的不同而变化。显然，为了得到更稳定的定位夹紧，找到最佳的夹具元件接触布局非常重要。利用公式（6.63）定位夹紧稳定性指数定义为（Xiong，1999）指数，s的值越大，夹具元件的接触布局（矩阵）就越不会奇异。这就意味着此种定位夹紧抵抗工件外力螺旋十扰的能力越强。上一页下一页返回6.5夹具规划指数6.5.2.3稳定性指数的性质可以证明，当坐标系、扭矩作用点和量纲单位改变时定位夹紧矩阵也将会改变，但是稳定性指数不变。证明如下。定理：在线性坐标变换和扭矩作用点的变化下，定位夹紧稳定指数只为常量。在量纲单位的变化下，指数同样为常量。上一页下一页返回6.5夹具规划指数证明：首先，证明在线性坐标变换下指数的不变性。我们把坐标系从oxyz变到用来表示。其中是带有行列式的正交方向矩。是位置矢量。则矩阵GN的表达式在T下转换（设扭矩作用点和坐标系原点一致）为其中，。这样我们得到上一页下一页返回6.5夹具规划指数接着，我们证明在扭矩作用点变化的情况下指数是一常量。设扭矩作用点由O点变到S点，且是工件和夹具元件的接触点，则矩阵GN的表达式转化为其中，。于是，得到上一页下一页返回6.5夹具规划指数其中，。于是，得到最后，在量纲单位变化下指数为常量的证明过程同上。设位置矢量由ri到，其中k是正常数因子，矩阵GN的表达式变为其中，，因此有上一页下一页返回6.5夹具规划指数6.5.2.4夹具设计指数从不同的角度来看，可能存在多个评估定位夹紧质量的指数。由于各个指数的侧重点不同，经常会需要一些综合的指标来衡量总的定位夹紧质量。在夹具设计中，要同时达到两个目标：①定位元件布局对定位元件的几何误差具有最大的健壮性。②定位夹紧布局具使得工件有最大的抵抗外力螺旋扰动的能力。显然，这是两个不同目的。因此，为了同时满足两个目标，定义相应的系数一般，ΩR指数的值远小于稳定指数Ωs。为增加可比性，在公式（6.71）使用了权中因子w。上一页下一页返回6.5夹具规划指数6.5.3夹具布局设计6.5.3.1约束无论哪个指数用于夹具的布局设计，这些设计都必须满足如下的一系列约束：（1）自由度：对于加工来说，需要通过合理的定位元件布局，限制工件部分的或全部的自由）变来固定工件。自由度的约束表达式为当r=m<6，工件为欠定位。当r=m=6，工件为确定性定位。当r=6和m>6工件为过定位。上一页下一页返回6.5夹具规划指数（2）定位面：从理论上说，只要满足工件自由度约束的要求，定位元件可在工件表面随意安置。然而，由于加工要求的不同，不能在工件表面的任意位置选放定位元件。例如，加工面上不可选放定位元件接触点。第i个定位元件的ri的定位面约束表达为其中，表示第i个定位元件在第J个工件表面上上一页下一页返回6.5夹具规划指数（3）可装性和可拆性：因为所有的定位元件都是被动夹具元件，故定位元件的布局必须保证工件的可装卸性。可装性和可拆性约束可表示为从公式（6.74）可得自由运动锥犬包括非零元素。即工件在夹持前可在一个或数个相关的方向移动。因此，工件具有可装性和可拆性。上一页下一页返回6.5夹具规划指数（4）夹紧方向：夹持的目的是消除零件在定位后仍存在的移动可能性。如前所述，夹持力必须加载在自由移动锥犬的k。极线，即其中，是夹紧力，是定位后工件的残余运动。上一页下一页返回6.5夹具规划指数（5）夹持域：通常可在不同的夹持位置产生一个方向夹紧力。可是在一些夹持位置，被定位元件和夹紧元件所约束的工件不是全约束。可行的夹持域应由形式封闭定位夹紧原理来确定。源于形式封闭定位夹紧原理的夹持域约束可表示为其中，表示第h个夹紧元件rh在工件第v个表面上，k个不等式形成了可行夹持域。上一页下一页返回6.5夹具规划指数6.5.3.2设计方法根据目标函数的不同，布局设计可分为如下二种方法（1）定位误差最小化设计方法：这种方法的目标函数是定位鲁棒性指数ΩR相应的设计方法如下。这样，寻找最佳定位元件布局的问题就转化为有约束的非线性规划，此约束包含自由度约束，定位表面约束，可装性和可拆性约束。通过此法，可以找到在以上约束条件下满足定位误差最小化的最佳定位元件布局。上一页下一页返回6.5夹具规划指数（2）基于稳定性的设计方