苏科版数学八年级下册 第11章 二次根式·提升卷 试卷 含答案

2025-2026学年八年级下册数学单元自测第十一章二次根式·能力提升建议用时：60分钟，满分：120分一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列是二次根式的是（）A． B． C． D．2．代数式在实数范围内有意义，的取值范围是（

）A． B． C． D．3．已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（

）．A．24 B．26 C．28 D．304．下列各式成立的是（

）A． B．C． D．5．根据以下程序，当输入时，输出结果为（

）A．1 B． C． D．26．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．7．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．8．若与最简二次根式是同类二次根式，那么的值是（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．若，则的值是______．10．请写出一个使的值为整数的的值：______．11．当，代数式的值是_____．12．若，用含的式子表示为___________．13．已知，，则与的关系为________．14．已知，，则的值为______．15．比较大小：________．16．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______．17．计算：的结果是______．18．小明做数学题时，发现：；；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______．三、解答题（共7小题，共46分）19．（本题4分）化简下列各式：(1) (2) (3) (4)20．（本题8分）计算：(1)； (2)；(3)； (4)；21．（本题6分）计算：(1)； (2)22．（本题6分）先化简，再求值：，其中．23．（本题6分）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：；；；(1)观察以上规律，请写出第5个等式：______；(2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）；(3)请利用上面的规律，比较与的大小．24．（本题8分）阅读下面的材料，解决下面的问题．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则三角形的面积．我国南宋著名的数学家秦九韶提出了利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积．(1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______；(2)若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．25．（本题8分）学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题：(1)具体运算，发现规律：，…计算：(2)观察归纳，写出结论（且n为正整数）(3)灵活运用，提升能力请利用你所发现的规律，计算的值．

2025-2026学年八年级下册数学单元自测第十一章二次根式·能力提升建议用时：60分钟，满分：120分一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列是二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式．∵选项A中，被开方数，∴不是二次根式，排除A；∵选项B中，的符号不确定，当时，被开方数为负数，∴不是二次根式，排除B；∵对任意实数，都有，∴，被开方数恒为非负数，∴是二次根式；∵选项D中，当时，，被开方数为负数，∴不是二次根式，排除D．2．代数式在实数范围内有意义，的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，利用被开方数为非负数列不等式求解即可．【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义时，被开方数为非负数，∴要使有意义，需满足，解不等式得．3．已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（

）．A．24 B．26 C．28 D．30【答案】B【分析】根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案．【详解】解：∵a是正整数，的值是整数，∴，当时，即，当时，即，当时，即，当时，即，综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1，∴所有可能的a之和为．4．下列各式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据二次根式的性质判断各式是否正确，二次根式中被开方数必须非负，商的算术平方根性质为，积的算术平方根性质为．【详解】解：A选项：，，等式成立；B选项：，和在初中实数范围内无意义，等式不成立；C选项：，，∴，等式不成立；D选项：，等式中无意义，∴结果错误，等式不成立．5．根据以下程序，当输入时，输出结果为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件．先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出．【详解】解：当输入时，第一次计算：，不成立，将作为新的；第二次计算：，成立，输出结果．故选：C．6．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的运算性质逐项计算判断即可．【详解】解：A、，该选项不符合题意；B、，该选项符合题意；C、，该选项不符合题意；D、，该选项不符合题意．7．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据最简二次根式的定义，判断各选项是否满足“被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，即可得到答案．【详解】解：A、的被开方数含分母，不是最简二次根式；B、的被开方数含分母，不是最简二次根式；C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；D、满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式．8．若与最简二次根式是同类二次根式，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据定义，是最简二次根式，只需让它的被开方数与的被开方数相等，列方程求解即可.【详解】解：∵和最简二次根式是同类二次根式，∴，解得：.二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．若，则的值是______．【答案】5【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，再代入求值即可．【详解】解：∵式子有意义，∴，解得，∴，∴．10．请写出一个使的值为整数的的值：______．【答案】（答案不唯一，符合条件即可）【分析】根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再由为整数推出为非负完全平方数，即可求出满足条件的的值．【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，因此，即，若为整数，则必为非负的完全平方数，故可为、、、等完全平方数，可令，解得．11．当，代数式的值是_____．【答案】1【分析】根据题意得到，再利用二次根式的性质和绝对值的性质化简，再合并同类项即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∴．12．若，用含的式子表示为___________．【答案】【详解】解：．13．已知，，则与的关系为________．【答案】【分析】将进行化简得，可判断．【详解】解：，又，∴．14．已知，，则的值为______．【答案】【分析】先求出的值，再代入，最后化成最简二次根式即可．【详解】解：∵，，∴，∴．15．比较大小：________．【答案】【分析】利用平方法，将两个带根号的数分别平方，比较平方后的结果大小，进而确定原数的大小关系．【详解】解：，，，且，，．16．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______．【答案】5【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键．根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可．【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同，则的最简形式为，其中为正整数，即，解得由为正整数，得，解得，则可取1，2，3，当时，；当时，；当时，因此的最小值为5，故答案为：5．17．计算：的结果是______．【答案】【分析】先拆分指数，逆用积的乘方法则，再结合平方差公式化简计算，即可得到结果．【详解】解：，∴的结果是．18．小明做数学题时，发现：；；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______．【答案】【分析】通过观察给定等式，发现规律为对于正整数n，有．根据此规律，令，求出a和b的值，进而计算．【详解】解：由规律可得：，当时，式子为，∵，∴，，∴．三、解答题（共7小题，共46分）19．（本题4分）化简下列各式：(1) (2) (3) (4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．（1）运用二次根式的性质化简；（2）运用二次根式的性质化简；（3）运用二次根式的性质化简；（4）运用二次根式的性质化简；【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．（4）解：原式．20．（本题8分）计算：(1)； (2)；(3)； (4)；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题各小题根据二次根式的乘法和除法运算法则进行解答即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；21．（本题6分）计算：(1)； (2)【答案】(1)(2)【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再进行加减运算即可；（）利用完全平方公式和平方差公式先展开，再进行加减运算即可；【详解】（1）解：；（2）解：．22．（本题6分）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简，再代值计算即可．【详解】解：原式；，原式．23．（本题6分）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：；；；(1)观察以上规律，请写出第5个等式：______；(2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）；(3)请利用上面的规律，比较与的大小．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了二次根式的乘法，分母有理数，二次根式的大小比较，根据已知等式得出规律是解题关键．（1）观察已知等式规律作答即可；（2）观察已知等式规律作答即可；（3）根据上述规律，得到两个数的倒数，然后通过比较两个倒数的大小，即可比较这两个数的大小．【详解】（1）解：观察以上规律，第5个等式为：，故答案为：（2）解：观察以上规律，第个等式为：，故答案为：；（3）解：，，，，即，．24．（本题8分）阅读下面的材料，解决下面的问题．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则三角形的面积．我国南宋著名的数学家秦九韶提出了利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积．(1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______；(2)若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算．（1）把的长代入公式求出，即可得解；（2）把的长代入公式求出，即可得解．【详解】（1）解：，．答：这个三角形的面积等于．故答案为：．（2）解：．答：这个三角形的面积是．25．（本