苏科版数学七年级下册 压轴题考点必刷练（一）（33个考点压轴练 共66题 范围：第7-10章） 同步练习 含答案

2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末高频常考压轴题考点分类训练【2024新教材】压轴题考点必刷练（一）（33个考点压轴练共66题范围：第7-10章）同学你好，该份讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。题目精选近两年全国各地常考易错真题，压轴题等重点难点题目！题目新颖，考点分类，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！TOC\t"标题2,1"\h\u考点讲练01：同底数幂乘法的逆用 2考点讲练02：用科学计数法表示数的乘法 3考点讲练03：幂的乘方的逆用 3考点讲练04：积的乘方运算 4考点讲练05：积的乘方的逆用 5考点讲练06：幂的混合运算 5考点讲练07：零指数幂 6考点讲练08：负整数指数幂 6考点讲练09：利用单项式乘法求字母或代数式的值 7考点讲练10：单项式乘单项式的应用 8考点讲练11：利用单项式乘多项式求字母的值 9考点讲练12：多项式乘多项式-化简求值 9考点讲练13：已知多项式不含某项，求字母的值 10考点讲练14：多项式乘多项式与图形面积问题 11考点讲练15：多项式乘法中的规律性问题 13考点讲练16：整式乘法混合运算 14考点讲练17：平方差公式与几何图形 15考点讲练18：运用完全平方公式进行运算 17考点讲练19：通过完全平方公式变形求值 18考点讲练20：平方差公式在几何图形中的应用 20考点讲练21：求完全平方中的字母系数 21考点讲练22：完全平方在几何图形中的应用 23考点讲练23：整式的混合运算 24考点讲练24：平移综合题（几何变换） 25考点讲练25：台球桌面上的轴对称问题 27考点讲练26：轴对称中的光线反射问题 28考点讲练27：折叠问题 28考点讲练28：旋转中的规律性问题 29考点讲练29：根据旋转的性质求解 30考点讲练30：根据旋转的性质说明线段或角相等 31考点讲练31：角度问题--旋转综合题 33考点讲练32：二元一次方程组的特殊解 35考点讲练33：二元一次方程组的错解复原问题 36考点讲练01：同底数幂乘法的逆用1．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放到乙袋中，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值为．2．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：①根据幂的意义，表示个相乘；则；②，知道和可以求，我们不妨思考：如果知道，，能否求呢？对于，规定，例如：因为，所以．(1),；(2)分别计算、的值，试猜想、、之间的等量关系式；(3)若记，，请用含的代数式表示．考点讲练02：用科学计数法表示数的乘法3．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（

）A．立方千米 B．立方千米C．立方千米 D．立方千米4．（2025·北京海淀·一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（

）A．元 B．元 C．元 D．元考点讲练03：幂的乘方的逆用5．（24-25七年级下·陕西西安·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较与的大小，因为，，所以，即．(1)比较，的大小；(2)比较，，的大小．6．（2025·四川泸州·二模）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（

）①；②；③；④若，则，A．1 B．2 C．3 D．4考点讲练04：积的乘方运算7．（24-25七年级下·福建厦门·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．(1)根据上述规定，填空：；(2)若，，且，求的值．(3)①若，，，请你尝试证明：；②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算：．8．（2025七年级下·全国·专题练习）计算；(1)；(2)；；(4)．考点讲练05：积的乘方的逆用9．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．(1)已知，求的值；(2)已知，，，求的值．10．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）计算：．考点讲练06：幂的混合运算11．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）计算：(1)；(2)．；(4)．12．（24-25八年级上·全国·阶段练习）解答下列问题：(1)若，求的值；(2)已知为正整数，且，求的值；考点讲练07：零指数幂13．（24-25七年级下·广东佛山·期中）计算：(1)；(2)．14．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．考点讲练08：负整数指数幂15．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．(1)根据上述规定，计算：______，______；(2)记，，．探究、、三者之间的等量关系，并给出理由；(3)若，则______．16．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算或化简：(1)；(2)．考点讲练09：利用单项式乘法求字母或代数式的值17．（22-23七年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．

（1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为厘米；（2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是平方厘米．18．（21-22七年级下·江苏盐城·阶段练习）化简求值：(1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值．(2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3．考点讲练10：单项式乘单项式的应用19．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知正方形和正方形，点E在边上，连接交于点H，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（

）A．正方形的面积 B．三角形的面积C．正方形的面积 D．三角形的面积20．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，有A，B，C三种不同型号的卡片．A型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，有2张，B型卡片是相邻两边长分别为a，c的长方形，C型卡片是相邻两边长分别为b，c的长方形，B，C型卡片各有1张．从中取n张卡片，把取出的这些卡片拼成一个长方形（注：a，b，c各不相等）．(1)在图②，图③中画出拼得的两种长方形的示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）．(2)图②中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．图③中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．除了图②和图③，你觉得还可以拼出多少种不同的长方形？说说你的想法．考点讲练11：利用单项式乘多项式求字母的值21．（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（

）A． B．14 C． D．622．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为，得：，则，∴，解得：，．∴另一个因式为，m的值为－21．问题：仿照以上方法解答下面问题：(1)二次三项式有一个因式是，求p的值；(2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值；(3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值．考点讲练12：多项式乘多项式-化简求值23．（24-25七年级下·江西抚州·期中）如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）．(1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）．(2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积．(3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用24．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）对于任意有理数，我们规定符号，例如(1)求的值；(2)求的值，其中．考点讲练13：已知多项式不含某项，求字母的值25．（2023·浙江嘉兴·一模）对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式，代数式，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表：x012340381524350381524观察表格发现：当时，，当时，，我们把这种现象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1．(1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；(2)若代数式参照代数式A的取值延后，求相应的延后值；(3)若代数式参照代数式取值延后，求的值．26．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”．(1)若，均是关于的多项式，则_________选填“是”或“不是”）的“好多项式”；(2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则__________；(3)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值．考点讲练14：多项式乘多项式与图形面积问题27．（24-25七年级下·山西运城·期中）某商家为精心打造理想中的商铺，筹备装修之际，经审慎考量与挑选，购置了数量充足的三款瓷砖，如图1．其中A款瓷砖是边长为的小巧正方形，B款瓷砖是边长为的大正方形，C款瓷砖是长为、宽为的长方形．这些瓷砖将用于铺设操作间、储藏间与大厅，助力构建别具一格的空间布局．(1)操作间刚好按图2的方式铺满，请求出操作间的面积．（用含，的代数式表示）(2)请通过计算说明：铺满长为、宽为的储藏间和长为、宽为的大厅共需要A，B，C三款瓷砖各多少块？（瓷砖均用整块，无空隙无重叠）(3)若一块A款瓷砖的周长为，一块C款瓷砖的周长为，求（2）中储藏间和大厅的面积之和为多少平方米．28．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为．（用a、b的代数式表示）考点讲练15：多项式乘法中的规律性问题29．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）从特殊到一般是我们发现规律的一种常用思想方法．现在我们来研究一类十位数字相同、个位数字之和为的两位数乘两位数．(1)首先来研究特殊情况：两个十位数字都是1、并且个位数字之和是10的两位数乘法，观察下列等式：…①仿照上述等式，写出；②探究规律根据以上的观察、计算，你能发现两个十位数字都是的两位数，并且个位数字之和是的两位数乘法有什么规律，用等式进行表示．并说明这个等式成立；(2)拓展：现在来看一般情况：如果十位数字是相同的任意整数，个位数字之和是的两位数乘两位数，上述的规律是否成立？请说明理由；(3)推广应用：．30．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．如；．…………(1)请你写出和的展开式；(2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期________．(3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程；(4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程．考点讲练16：整式乘法混合运算31．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，某校有一块长为，宽为的长方形空地，在建设“美丽校园”活动中，学校计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像．

(1)求绿化的面积（用含，的式子表示）；(2)当，时，则绿化面积是多少？32．（2024·重庆沙坪坝·一模）按顺序排列的8个单项式，，，，，，，中，任选个互不相邻的单项式（其中至少包含一个系数为1的单项式和一个系数为的单项式）相乘，计算得单项式M，然后在剩下的单项式中再任选若干个单项式相乘，计算得单项式N，最后计算，称此为“积差操作”．例如：当时，可选互不相邻的，，相乘，得，在剩下的单项式，，，，中可选，相乘，得，此时，．下列说法中正确的个数是（

）①存在“积差操作”，使得为五次二项式；②共有3种“积差操作”，使得；③共有12种“积差操作”，使得．A．0 B．1 C．2 D．3考点讲练17：平方差公式与几何图形33．（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形．(1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________；(2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________；(3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________．(4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题：①已知，，则的值为___________．②直接写出下面算式的计算结果：．34．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．(1)观察图2，请你写出之间的等量关系：__________；(2)根据（1）中的结论，若，求的值；(3)请求解下面实际问题：如图3，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积．考点讲练18：运用完全平方公式进行运算35．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角．如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1，1；，它有三项，系数分别为1，2，1；，它有四项，系数分别为1，3，3，1；将上述每个式子的各项系数排成该表．观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写．(1)判断的展开式共有项；写出的第三项的系数是；(2)结合杨辉三角解决以下问题：①计算：；②猜想：的展开式中含项的系数是．运用：若今天是星期二，那么再过天是星期．36．（24-25七年级下·江西抚州·期中）发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数．如：，160是20的8倍；，640是20的32倍．(1)请你仿照上面的例子，再举出一个例子：（

）（

）．(2)若一个两位数，它的十位数字为1，个位数字为a，这个两位数的平方与其个位数a的平方的差是20的7倍，求这个两位数．(3)设一个两位数的十位数字为x，个位数字为y（，，且x，y为正整数），请用含x，y的式子论证“发现”的结论是否正确．考点讲练19：通过完全平方公式变形求值37．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）【材料阅读】利用两数和（差）的完全平方公式可以解决很多数学问题．例：若满足，求的值．解：设，则，．请仿照上面的方法求解下面问题：【初步应用】（1）已知，，则___________；【问题解决】（2），求；【拓展延伸】（3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积．38．（24-25七年级下·山东青岛·期中）[知识生成]（）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图，有四张长为、宽为的长方形纸片按如图方式拼成了一个正方形，请你通过拼图写出、、之间的等量关系是____________________．［知识应用］（）若，，求的值；［知识迁移］（）如图，为创办文明校园，美化校园环境，某校计划要在面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，两个长方形重合部分刚好建一个长为，宽为的喷泉水池，现将图中阴影部分区域作为花圃，且花圃总周长为，则的长度为多少米？考点讲练20：平方差公式在几何图形中的应用39．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）现有边长分别为的A、B两种正方形卡片（如图1）．(1)将A、B两种卡片各1张按图2放置，阴影部分的面积记为．将1张A卡片、2张B卡片按图3放置，其阴影部分（三张卡片都重叠的部分）的面积记为，则，；（用含a、b的代数式表示）；(2)若，求的值；(3)将A、B两种卡片各1张按图4放置在一个边长为的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接写出与的数量关系：．40．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．根据1可以得到，，之间的等量关系式：_____________________________；根据图2可以得到，之间的等量关系式：__________________________________．【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若，则_________，_________．【知识迁移】如图2所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．考点讲练21：求完全平方中的字母系数41．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）配方法是将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为完全平方式的形式．此法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．解决问题：（1）①29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式___________；②若可配方成（、为常数），则___________．探究问题：（2）①已知，则___________；②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值___________拓展结论：已知实数、满足，求的最小值，并求出此时的值42．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．

(1)若是一个完全平方式，求常数的值为；(2)若，且，求的值；(3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积．考点讲练22：完全平方在几何图形中的应用43．（23-24七年级下·全国·单元测试）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．(1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值；(2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积；(3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式；(4)已知，，利用中的恒等式求的值．44．（22-23八年级下·吉林·阶段练习）【观察】如图①是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出，，之间的等量关系____________________________；【应用】若，，则_______________；【拓展】如图③，正方形的边长为x，，，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．考点讲练23：整式的混合运算45．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为，图2中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为．46．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．(1)若是一个完全平方式，求常数的值；(2)若，且，求的值；(3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积．考点讲练24：平移综合题（几何变换）47．（21-22七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．(1)直接写出坐标：点C（），点D（）．(2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？(3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论．48．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．如图，已知，点按“平移量”可平移到点．(1)填空，点可看作点按“平移量”平移得到；(2)若将依次按“平移量”平移得到，请在图（1）中画出；(3)将点按“平移量”平移得到点，使，写出所有满足条件的平移量．考点讲练25：台球桌面上的轴对称问题49．（22-23八年级上·北京海淀·期中）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同．如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题：(1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性．(2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可．50．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是号袋．考点讲练26：轴对称中的光线反射问题51．（2025七年级下·全国·专题练习）如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为．52．（2022·陕西咸阳·三模）如图，在水平地面AB上放一个平面镜BC，一束垂直于地面的光线经平面镜反射，若反射光线与地面平行，则平面镜BC与地面AB所成的锐角为（

）A． B． C． D．考点讲练27：折叠问题53．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）已知：纸片，将纸片分别按以下两种方法翻折：①如图1，沿着的平分线翻折，得到，设的周长为m．②如图2，沿着的垂直平分线翻折，得到，设的周长为n．线段的长度用含m，n的代数式可表示为．54．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）【综合与实践▪操作探究】在学习了平行线的判定后，老师让同学们通过折纸探究平行线的画法．请根据以下步骤完成操作并回答相关问题．操作步骤：1．如图，准备锐角三角形纸片；2．第一次折叠，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为（在上，在上）；3．第二次折叠：将折叠，使点落在边上点处，折痕为（在上）．问题：(1)（操作理解）在第一次折叠后，判断折痕与的位置关系，并说明理由；(2)（结论验证）根据折叠结果，请你用所学知识证明；(3)（拓展应用）请你利用（2）的结论，证明：．考点讲练28：旋转中的规律性问题55．（24-25九年级上·广西河池·期中）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第个箭头方向相同（填序号）．56．（21-22八年级下·广东深圳·期末）依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（

）A． B． C． D．考点讲练29：根据旋转的性质求解57．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点．．（1）若，，求的度数；【操作探究】（2）如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系；【深度探究】在（1）的条件下，将三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向，同时将三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为（）．请直接写出当与的一边平行时的值．58．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线上，连接平分，平分．(1)如图1，当时，请求出的度数；(2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好与的其中一条边所在直线平行，请直接写出所有满足条件的t的值．考点讲练30：根据旋转的性质说明线段或角相等59．（23-24七年级上·福建泉州·期末）在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即．(1)如图1，当与重合时，写出和的度数；(2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数；(3)如图2，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由．60．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）将一副直角三角板，，按如图放置，其中B与E重合，，．(1)如图1，点F在线段的延长线上，求的度数；(2)将三角板从图1位置开始绕A点逆时针旋转，，分别为，的角平分线．如图2，当旋转至的内部时，求的度数．考点讲练31：角度问题--旋转综合题61．（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上．(1)操作与发现如图2，将正方形绕点逆时针旋转．①当时，求，，的度数；②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明．(2)类比探究如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由．62．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中．

(1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，求旋转角？(2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；(3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在与第二次相遇前，当时，求出旋转时间t的值．考点讲练32：二元一次方程组的特殊解63．（24-25七年级下·重庆万州·期中）换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想．(1)填空：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，，则原方程组可化为关于a、b的方程组解得a、b的值；这样可得，从而得到原方程组的解为．(2)请用换元法解方程：．64．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）已知关于，的二元一次方程组，求的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，就可以通过适当变形，求得该整式的值，例如由可得，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．根据上述材料解答下面问题：(1)已知方程组，由可得__________；(2)用“整体思想”解答：已知方程组，求的值；(3)请说明在关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变．考点讲练33：二元一次方程组的错解复原问题65．（24-25七年级下·山东德州·期中）小明，小琪两人一起解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到的方程组的解为．小琪看错了方程②中的，得到的方程组的解为，则的值是．66．（24-25七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人解关于，的方程组，甲因看错了，解得，乙将方程②中的写成了它的相反数，解得．求原方程组的解．

2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末高频常考压轴题考点分类训练【2024新教材】压轴题考点必刷练（一）（33个考点压轴练共66题范围：第7-10章）同学你好，该份讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。题目精选近两年全国各地常考易错真题，压轴题等重点难点题目！题目新颖，考点分类，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，按照考点划分，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！TOC\t"标题2,1"\h\u考点讲练01：同底数幂乘法的逆用 2考点讲练02：用科学计数法表示数的乘法 4考点讲练03：幂的乘方的逆用 4考点讲练04：积的乘方运算 6考点讲练05：积的乘方的逆用 8考点讲练06：幂的混合运算 9考点讲练07：零指数幂 11考点讲练08：负整数指数幂 13考点讲练09：利用单项式乘法求字母或代数式的值 15考点讲练10：单项式乘单项式的应用 16考点讲练11：利用单项式乘多项式求字母的值 20考点讲练12：多项式乘多项式-化简求值 22考点讲练13：已知多项式不含某项，求字母的值 24考点讲练14：多项式乘多项式与图形面积问题 28考点讲练15：多项式乘法中的规律性问题 30考点讲练16：整式乘法混合运算 33考点讲练17：平方差公式与几何图形 35考点讲练18：运用完全平方公式进行运算 39考点讲练19：通过完全平方公式变形求值 42考点讲练20：平方差公式在几何图形中的应用 46考点讲练21：求完全平方中的字母系数 49考点讲练22：完全平方在几何图形中的应用 53考点讲练23：整式的混合运算 56考点讲练24：平移综合题（几何变换） 59考点讲练25：台球桌面上的轴对称问题 64考点讲练26：轴对称中的光线反射问题 65考点讲练27：折叠问题 67考点讲练28：旋转中的规律性问题 69考点讲练29：根据旋转的性质求解 70考点讲练30：根据旋转的性质说明线段或角相等 76考点讲练31：角度问题--旋转综合题 79考点讲练32：二元一次方程组的特殊解 82考点讲练33：二元一次方程组的错解复原问题 85考点讲练01：同底数幂乘法的逆用1．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放到乙袋中，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值为．【答案】【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案，熟练掌握运算法则是解题的关键．【完整解答】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数，甲袋：（个），乙袋：（个），丙袋：（个），∵此时三只袋中球的个数都相同，∴，解得：，，∴，故答案为：．2．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：①根据幂的意义，表示个相乘；则；②，知道和可以求，我们不妨思考：如果知道，，能否求呢？对于，规定，例如：因为，所以．(1),；(2)分别计算、的值，试猜想、、之间的等量关系式；(3)若记，，请用含的代数式表示．【答案】(1)，(2)(3)【思路引导】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算，（1）根据新定义进行计算即可求解；（2）根据新定义分别计算、的值，即可求解；（3）由题意得，，然后根据同底数幂的乘法的逆运算即可求得答案．【完整解答】（1）解：故答案为：，3．（2）解：依题意，，、∴；（3）解：根据题意得：，，，．考点讲练02：用科学计数法表示数的乘法3．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（

）A．立方千米 B．立方千米C．立方千米 D．立方千米【答案】D【思路引导】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【完整解答】解：，故选D．4．（2025·北京海淀·一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】C【思路引导】本题主要查了同底数幂相乘．用乘以，即可求解．【完整解答】解：元，即今年的义务教育财政预算支出约为元．故选：C考点讲练03：幂的乘方的逆用5．（24-25七年级下·陕西西安·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较与的大小，因为，，所以，即．(1)比较，的大小；(2)比较，，的大小．【答案】(1)(2)【思路引导】本题考查了幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键．（1）转化为同底数幂，，然后比较指数即可；（2）转化为同指数，，，然后比较底数即可．【完整解答】（1）解：，，，．（2）解：，，，，，．6．（2025·四川泸州·二模）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（

）①；②；③；④若，则，A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【思路引导】本题主要考查了学生的数的乘方的计算能力，理解新定义的意义是解题的关键．先理解新定义，再结合乘方以及其逆用的运算法则逐个判断即可．【完整解答】解：①∵，∴，故说法①正确，符合题意；②设，，则，，∴，∴，即②正确；③设，，则，，∴，即，∴，∴，即，故③正确，符合题意；④设，则，，∴，∴，∴，解得，故④说法正确，符合题意．综上，正确的说法有个．故选：D．考点讲练04：积的乘方运算7．（24-25七年级下·福建厦门·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．(1)根据上述规定，填空：；(2)若，，且，求的值．(3)①若，，，请你尝试证明：；②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算：．【答案】(1)(2)(3)①见解析；②【思路引导】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法的计算方法是正确解答的关键．（1）根据新定义的运算进行计算即可；（2）根据，的定义可得，根据再进行计算即可；（3）①根据，，进行计算即可；②由，再根据进行计算即可．【完整解答】（1）解：∵，∴，故答案为：3；（2）解：∵，，且，∴，∴；（3）解：①∵，，∴，∵，∴，∴；②∵，，∴．故答案为：3．8．（2025七年级下·全国·专题练习）计算；(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)0(2)(3)(4)【思路引导】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．（1）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可；（2）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则化简计算即可；（3）根据积的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可；（4）根据积的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可．【完整解答】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．考点讲练05：积的乘方的逆用9．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．(1)已知，求的值；(2)已知，，，求的值．【答案】(1)(2)【思路引导】本题考查了同底数幂的运算，积的乘方逆用，熟悉掌握运算法则是解题的关键．（1）化简后，把整体代入运算即可；（2）化简后，把，，代入运算即可．【完整解答】（1）∵，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，把，代入可得：，∴，解得：．10．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）计算：．【答案】【思路引导】根据，逆用积的乘方运算法则以及逆用同底数幂相乘的运算法则进行计算即可．【完整解答】解：故答案为：．【考点评析】本题考查积的乘方运算法则以及同底数幂相乘的运算法则，熟练掌握并逆用积的乘方运算法则以及逆用同底数幂相乘的运算法则是解题的关键.考点讲练06：幂的混合运算11．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）计算：(1)；(2)．(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【思路引导】此题考查了幂的运算法则和有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）通过同底数幂相乘和幂的乘方进行计算，再合并同类项即可；（2）把看作整体，再用幂的乘方和合并同类项进行解答；（3）变形后逆用积的乘方进行计算即可；（4）先计算乘方，再计算乘法最后计算加减法即可．【完整解答】（1）解：（2）（3）（4）12．（24-25八年级上·全国·阶段练习）解答下列问题：(1)若，求的值；(2)已知为正整数，且，求的值；【答案】(1)(2)32【思路引导】本题考查幂的混合运算，代数式求值．掌握幂的混合运算法则是解题关键．（1）由题意可求出．根据幂的乘方和同底数幂的乘法逆运算可将所求式子变形为，最后整体代入求值即可；（2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，再将代入求值即可．【完整解答】（1）解：∵，∴，∴；（2）解：．考点讲练07：零指数幂13．（24-25七年级下·广东佛山·期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【思路引导】本题考查了零指数幂、负整数指数幂以及底数幂乘法和积的乘方的逆用，掌握相关运算法则是解题关键．（1）先计算、乘方，再计算加减法即可；（2）逆用同底数幂乘法和积的乘方计算即可．【完整解答】（1）解：；（2）解：．14．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)7【思路引导】该题考查了负整数指数幂、零指数幂、有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则．（1）依次计算负整数指数幂、零指数幂，然后再算乘方，最后求和即可．（2）依次计算负整数指数幂、零指数幂，然后再算乘方，最后求和即可．【完整解答】（1）解：；（2）解：．考点讲练08：负整数指数幂15．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．(1)根据上述规定，计算：______，______；(2)记，，．探究、、三者之间的等量关系，并给出理由；(3)若，则______．【答案】(1)，(2)，理由见解析(3)【思路引导】本题主要考查乘方，负整数指数幂，同底数幂的乘法，掌握其运算法则是关键．（1）根据乘方，负整数指数幂的计算求解即可；（2）根据幂的乘方运算的逆运算法则计算即可；（3）根据题意，设，得到若，则，根据同底数幂的乘法运算代入计算即可求解．【完整解答】（1）解：，，，，故答案为：；（2）解：，理由如下，记，，，，，，，；（3）解：如果，那么我们规定，设，，若，则，，，即，故答案为：．16．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算或化简：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【思路引导】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂．（1）先根据积的乘方和同底数幂的乘法和除法法则计算，再合并同类项即可；（2）先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后算加减法即可．【完整解答】（1）解：；（2）解：．考点讲练09：利用单项式乘法求字母或代数式的值17．（22-23七年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．

（1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为厘米；（2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是平方厘米．【答案】4【思路引导】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可；（2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可．【完整解答】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为（厘米），故答案为：4；（2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则，由图知，②长方形纸片的长为，宽为，∴②号长方形纸片的面积是（平方厘米），故答案为：．【考点评析】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键．18．（21-22七年级下·江苏盐城·阶段练习）化简求值：(1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值．(2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3．【答案】(1)2022(2)x2n，64【思路引导】（1）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求值即可；（2）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【完整解答】（1）解：原式==2022；（2）解：原式==；当x＝－2，n＝3时，则；【考点评析】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．考点讲练10：单项式乘单项式的应用19．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知正方形和正方形，点E在边上，连接交于点H，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（

）A．正方形的面积 B．三角形的面积C．正方形的面积 D．三角形的面积【答案】A【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，单项式乘以多项式在几何图形中的应用，连接，由平行线的性质可得，则，设正方形和正方形的边长分别为，则，根据可得，据此可得答案．【完整解答】解：如图所示，连接，∵，∴，∴，设正方形和正方形的边长分别为，则，∴，∴只需要知道正方形的面积就可以知道阴影部分的面积，故选：A．20．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，有A，B，C三种不同型号的卡片．A型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，有2张，B型卡片是相邻两边长分别为a，c的长方形，C型卡片是相邻两边长分别为b，c的长方形，B，C型卡片各有1张．从中取n张卡片，把取出的这些卡片拼成一个长方形（注：a，b，c各不相等）．(1)在图②，图③中画出拼得的两种长方形的示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）．(2)图②中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．图③中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．(3)除了图②和图③，你觉得还可以拼出多少种不同的长方形？说说你的想法．【答案】(1)见解析(2)；；；；；(3)5种【思路引导】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，熟知单项式乘以多项式的方法是解题的关键．（1）根据题意相等的边要重合，据此拼图即可；（2）根据（1）所画图形，大长方形面积等于其长乘以宽，又等于两个小长方形的面积之和，据此求解即可；（3）拼成长为，宽为a的长方形；拼成长为，宽为a的长方形；拼成长为，宽为b的长方形；拼成长为，宽为b的长方形；拼成长为，宽为b的长方形；据此画图求解即可．【完整解答】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解；图②中，长方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式：；故答案为：，，；图③中，长方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式：；，，；（3）解：如图所示，两个A可拼成长方形，长为，宽为a；如图所示，两个A、一个B拼成长方形，长为，宽为a；如图所示，两个A拼成一个长方形，长为，宽为b；如图所示，一个A，一个C拼成长方形，长为，宽为b；如图所示，两个A，一个C拼成长方形，长为，宽为b；综上所述，还可以拼出5种不同的长方形．考点讲练11：利用单项式乘多项式求字母的值21．（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（

）A． B．14 C． D．6【答案】B【思路引导】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可．【完整解答】解：根据题意，设，，，，，，，故选：B．22．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为，得：，则，∴，解得：，．∴另一个因式为，m的值为－21．问题：仿照以上方法解答下面问题：(1)二次三项式有一个因式是，求p的值；(2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值；(3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值．【答案】(1)p的值为6(2)另一个因式是，(3)【思路引导】本题主要考查了整式的乘法；（1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可；（2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可；（3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可．【完整解答】（1）解：设二次三项式的另一个因式为，则，即，∴，解得，答：p的值为6；（2）设关于x的多项式的另一个因式是，则，即，∴，解得，∴关于x的多项式的另一个因式是，；（3）设关于x的多项式的另一个因式为，则，即，∴，∴，即．考点讲练12：多项式乘多项式-化简求值23．（24-25七年级下·江西抚州·期中）如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）．(1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）．(2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积．(3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用【答案】(1)音乐喷泉池的占地面积为(2)(3)市民活动区域铺设地砖的费用为元【思路引导】本题主要考查了整式乘法的应用，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）根据题意列式，再根据多项式乘多项式计算即可；（2）根据非负数的性质，得出，代入（1）的式子进行计算即可求解；（2）先根据题意列式求出市民活动区域的面积，再列式计算求出铺设地砖的费用即可，将，代入即可求解．【完整解答】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为．答：音乐喷泉池的占地面积为．（2）解：，∴解得：，∴（3）解：由题可得市民活动区域的面积为．市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元，．当时，答：市民活动区域铺设地砖的费用为元．24．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）对于任意有理数，我们规定符号，例如(1)求的值；(2)求的值，其中．【答案】(1)(2)，【思路引导】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，多项式乘多项式，整式的加减混合运算，代数式求值等．熟练掌握多项式乘多项式以及整式的加减混合运算法则是解题的关键．（1）根据定义的运算规律，进行计算即可求解；（2）先根据根据定义的运算规律，计算，再将代入计算即可求解．【完整解答】（1）解：．故答案为：．（2）解：，∵，∴，故原式．考点讲练13：已知多项式不含某项，求字母的值25．（2023·浙江嘉兴·一模）对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式，代数式，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表：x012340381524350381524观察表格发现：当时，，当时，，我们把这种现象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1．(1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；(2)若代数式参照代数式A的取值延后，求相应的延后值；(3)若代数式参照代数式取值延后，求的值．【答案】(1)；(2)3；(3)．【思路引导】（1）根据题意，延后值为2，即将改为，化简即可；（2）设延后值为k，将延后的代数式等于，使得各项系数相等，解方程即可；（3）设延后值为m，使得各项系数相等，解方程即可．【完整解答】（1）解：根据题意，（2）解：设相应的延后值为k，得：，化简得：，，解得，当时，成立，∴相应的延后值是3．（3）解：设相应的延后值为m，得：，化简得：，，将代入，可得∴．【考点评析】本题考查了代数式求值，多项式的系数中字母求值，理解题意，清楚的列出代数式，并进行求解是解题的关键．26．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”．(1)若，均是关于的多项式，则_________选填“是”或“不是”）的“好多项式”；(2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则__________；(3)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值．【答案】(1)是(2)(3)或【思路引导】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．（1）先计算出，则，，即可得到，由此即可得到结论；（2）先计算出，再根据题意得到，则，即可求出；（3）先求出当时，则，，此时B是A的“郡园志勤多项式”，符合题意；当时，则，即可得到，则，综上所述，或．【完整解答】（1）解：B是A的“好多项式”，理由如下：∵，，∴，∵，，∴，∴B是A的“好多项式”；故答案为：是．（2）解：∵，，∴，∵，B是A的“极好多项式”，∴，∴，∴，故答案为：2；（3）解：∵，，∴，当时，则，，此时B是A的“极好多项式”，符合题意；当时，，∵B是A的“极好多项式”，∴，∴，∴；综上所述，或．考点讲练14：多项式乘多项式与图形面积问题27．（24-25七年级下·山西运城·期中）某商家为精心打造理想中的商铺，筹备装修之际，经审慎考量与挑选，购置了数量充足的三款瓷砖，如图1．其中A款瓷砖是边长为的小巧正方形，B款瓷砖是边长为的大正方形，C款瓷砖是长为、宽为的长方形．这些瓷砖将用于铺设操作间、储藏间与大厅，助力构建别具一格的空间布局．(1)操作间刚好按图2的方式铺满，请求出操作间的面积．（用含，的代数式表示）(2)请通过计算说明：铺满长为、宽为的储藏间和长为、宽为的大厅共需要A，B，C三款瓷砖各多少块？（瓷砖均用整块，无空隙无重叠）(3)若一块A款瓷砖的周长为，一块C款瓷砖的周长为，求（2）中储藏间和大厅的面积之和为多少平方米．【答案】(1)(2)A，B款瓷砖各11块，C款瓷砖25块(3)【思路引导】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．（1）观察图形，找出图2的长与宽，利用长方形面积公式，列出算式，利用多项式乘多项式法则进行计算即可；（2）根据长方形的面积公式，列出算式，利用多项式乘多项式法则求出储藏间和大厅的面积和，根据计算结果求出答案即可；（3）根据已知条件列出关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，然后求出操作间、储藏间和大厅的面积之和，并化简，最后把a，b的值代入化简后的式子，进行计算即可．【完整解答】（1）解：由题意，得操作间的长为，宽为．所以操作间的面积．（2）解：由题意，得储藏间和大厅的面积和为：．所以共需要A，B款瓷砖各11块，C款瓷砖25块．（3）解：由题意，得．解得．所以，．所以（2）中储藏间和大厅的面积之和为．28．（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为．（用a、b的代数式表示）【答案】【思路引导】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算．设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案．【完整解答】解：设，则，故答案为：．考点讲练15：多项式乘法中的规律性问题29．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）从特殊到一般是我们发现规律的一种常用思想方法．现在我们来研究一类十位数字相同、个位数字之和为的两位数乘两位数．(1)首先来研究特殊情况：两个十位数字都是1、并且个位数字之和是10的两位数乘法，观察下列等式：…①仿照上述等式，写出；②探究规律根据以上的观察、计算，你能发现两个十位数字都是的两位数，并且个位数字之和是的两位数乘法有什么规律，用等式进行表示．并说明这个等式成立；(2)拓展：现在来看一般情况：如果十位数字是相同的任意整数，个位数字之和是的两位数乘两位数，上述的规律是否成立？请说明理由；(3)推广应用：．【答案】(1)①；②，证明见解析(2)成立，，证明见解析(3)【思路引导】本题考查了整式的规律探索，整式的乘法运算，有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关知识．（1）①根据题中的规律求解即可；②设两个十位为、各位分别为和的两位数为和，两位数乘法的规律为，将等号两边的式子展开比较即可证明等式成立；（2）若两位数的十位均为，个位分别为和，则两位数的乘积为，将等号两边的式子展开比较即可证明等式成立；（3）根据所得的规律求解即可．【完整解答】（1）解：①，故答案为：；②设两个十位为、各位分别为和的两位数为和，则两位数乘法的规律为，证明：展开等号左边：，展开等号右边：，等号左边等于等号右边，规律成立；（2）若两位数的十位均为，个位分别为和，则两位数的乘积为，展开等号左边：，展开等号右边：，等号左边等于等号右边，规律成立；（3）当时，代入得：，故答案为：．30．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．如；．…………(1)请你写出和的展开式；(2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期________．(3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程；(4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程．【答案】(1)；(2)三(3)(4)【思路引导】本题考查了数字类变化规律，读懂题意并根据所给的式子找到规律是解题的关键．（1）根据规律即可求解；（2）通过变形得到，根据规律即可得解；（3）由题意可得，即可解答；（4）令则，与（3）中所给的式子相加，即可解答．【完整解答】（1）解：；；（2）解：，故除以余1，则今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期三，故答案为：三；（3）解：令则，令则，；（4）解：令则，，考点讲练16：整式乘法混合运算31．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，某校有一块长为，宽为的长方形空地，在建设“美丽校园”活动中，学校计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像．

(1)求绿化的面积（用含，的式子表示）；(2)当，时，则绿化面积是多少？【答案】(1)(2)【思路引导】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，正确化简计算是解题的关键．（1）观察图形，列出代数式，再化简即可求解；（2）把，代入（1）中的结果，即可求解．【完整解答】（1）解：根据题意得：绿化的面积为；（2）解：当，时，原式．32．（2024·重庆沙坪坝·一模）按顺序排列的8个单项式，，，，，，，中，任选个互不相邻的单项式（其中至少包含一个系数为1的单项式和一个系数为的单项式）相乘，计算得单项式M，然后在剩下的单项式中再任选若干个单项式相乘，计算得单项式N，最后计算，称此为“积差操作”．例如：当时，可选互不相邻的，，相乘，得，在剩下的单项式，，，，中可选，相乘，得，此时，．下列说法中正确的个数是（

）①存在“积差操作”，使得为五次二项式；②共有3种“积差操作”，使得；③共有12种“积差操作”，使得．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【思路引导】本题考查了整式的加减乘除运算，新定义“积差操作”．根据已知条件和“积差操作”的定义，通过举例可知：说法①正确；通过举例可知：说法②不正确、说法③正确．【完整解答】解：①存在“积差操作”，使得为五次二项式说法正确，如取、相乘得单项式，在剩下的单项式中任选5个单项式如：、、、、相乘得单项式，则是五次二项式；②共有3种“积差操作”，使得说法错误，因为使得的“积差操作”有：、，、，、，、共有4种；③共有12种“积差操作”，使得说法正确，因为使得的“积差操作”有：、，、，、，、，、，、，、，、，、，、，、，、共12种，综上所述，已知说法中正确的个数是2．故选：C．考点讲练17：平方差公式与几何图形33．（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形．(1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________；(2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________；(3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________．(4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题：①已知，，则的值为___________．②直接写出下面算式的计算结果：．【答案】(1)(2)(3)(4)①3；②【思路引导】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的有关应用，灵活运用平法差公式是解题的关键．（1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即可求解；（2）经分析，图2中长方形长为、宽为．根据长方形面积公式，即可求解；（3）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，即可求解；（4）①根据平方差公式，进行计算即可求解．②连续使用平方差公式，进而即可求解．【完整解答】（1）解：由题意得；故答案为：；（2）解：由题意得拼接后的长方形长为、宽为，；故答案为：；（3）解：阴影部分图形拼接前后，面积不变，；故答案为：；（4）解：①，，，故答案为：；②．故答案为：．34．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．(1)观察图2，请你写出之间的等量关系：__________；(2)根据（1）中的结论，若，求的值；(3)请求解下面实际问题：如图3，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积．【答案】(1)(2)(3)【思路引导】（1）根据图形的面积可得到，，之间数量关系；（2）根据（1）的结论，利用完全平方公式变形求值即可求解；（3）根据题意找出题中各线段之间的数量关系和等量关系，设，，即，阴影部分面积，根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解．【完整解答】（1）解：∵如图是一个长为、宽为的长方形，∴图的长方形面积为：，∵图的边长为，图阴影部分的面积为：，∴，即，故答案为：．（2）解：∵，∴（3）解：∵正方形的边长为，正方形和正方形，，∴，，，∵长方形的面积是，∴，设，，即，则，∴阴影部分面积，∵，∴（负值舍去），∴，即阴影部分面积为．【考点评析】本题考查了完全平方公式的几何背景，图形面积，平方差公式，理解完全平方公式的几何意义是解题的关键．考点讲练18：运用完全平方公式进行运算35．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角．如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1，1；，它有三项，系数分别为1，2，1；，它有四项，系数分别为1，3，3，1；将上述每个式子的各项系数排成该表．观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写．(1)判断的展开式共有项；写出的第三项的系数是；(2)结合杨辉三角解决以下问题：①计算：；②猜想：的展开式中含项的系数是．(3)运用：若今天是星期二，那么再过天是星期．【答案】(1)六，15(2)①；②(3)星期三【思路引导】本题考查了杨辉三角，整式的乘法，有理数的乘方，通过观察得到系数的规律是解题的关键．（1）通过观察，可知展开式有五项，分别写出和展开式的系数，从而得到展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1，从而得到答案；（2）①通过观察可知，，从而得出答案；②写出的展开项，从而算得的系数；（3），其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除，求出其展开式的最后一项为，往后数一天即可．【完整解答】（1）解：根据题意，可知展开式有五项，系数分别是1，4，6，4，1展开式有六项，系数分别是1，5，10，10，5，1展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1故答案为：六，15；（2）解：①故答案为：；②，理由如下：展开后共项，第一项是：第二项是：第三项是：第四项是：故答案为：；（3）解：，其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除，其展开式的最后一项为从星期二往后数天是星期三，答案为：是星期三．36．（24-25七年级下·江西抚州·期中）发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数