苏科版数学八年级下册 第11章 二次根式章节重难点题型（10大题型） 同步练习 含答案

重难点专题11二次根式章节重难点复习直击考点重难点一二次根式的概念形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，a叫做被开方数.例1.下列给出的式子是二次根式的是（）A．±3 B． C． D．【变式1-1】下列各式中，是二次根式有（）①7；②-3；③310；④3-x（x≤3）；⑤a-32；⑥-x2-1A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-2】下列式子中二次根式的个数有（）（1）13；（2）3；（3）-x2+1；（4）38；（5）(-A．2个 B．3个 C．4个 D．5个重难点二二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件：被开方数（式）为非负数（a≥0）.注：=1\*GB3①a仅是一个表示式，可为常数、单项式、多项式等整式；=2\*GB3②-a不一定无意义。当a≤0时，-a≥0，有意义。例2.函数中自变量x的取值范围是____________．【变式2-1】若，则________．【变式2-2】若，则_________．重难点三利用二次根式性质化简1）性质一：二次根式结果非负性，即a≥0（a≥0）注：“”表示的是算术平方根2）性质二：非负数的算术平方根的平方等于它本身，即；（a3）性质三：a2=例3.实数，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（）A． B． C． D．【变式3-1】已知﹣1＜a＜0，化简(a+1A．2a B．2a+2a C．2a【变式3-2】实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，化简═______．【变式3-3】已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简c2重难点四利用二次根式性质求代数式的值若x,y的值不是最简二次根式先化成最简二次根式，再算出x+y或x-y,xy的值，把要求的代数式变形成与平方差公式或完全平方公式相关的式子，把x+y或x-y,xy的值带入即可。例4.已知，，求下列代数式的值：（1）；（2）【变式4-1】当，时，求代数的值．【变式4-2】已知x=8-78+7重难点五二次根式的乘除运算二次根式的乘除法则：（1）（2）例5.（1）（2）【变式5-1】当时，化简________．【变式5-2】计算：（1）÷ （2）÷3×重难点六二次根式的加减运算二次根式的加减运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并．例6.下列运算正确的是（）A． B． C． D．【变式6-1】计算：．【变式6-2】（1）5﹣﹣； （2）（4﹣6）+2．【变式6-3】计算下列各式：（1）； （2）+4﹣+．重难点七二次根式的混合运算①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”。例7.计算：427+13+2-【变式7-1】计算下列各题：（1）×－；（2）（＋3）（3－）－（－1）2.【变式7-2】计算（1）； （2）．【变式7-3】计算：（1） （2）重难点八利用二次根式性质化简求值先对式子进行化简，再把给的值代入化简后的式子即可。例8.化简求值：12a2118a-2a3【变式8-1】化简求值：（a1a+4b）﹣（a2-b1重难点九分母有理化的应用根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用平方差公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式。例9.我们将（a+b），（a-b）称为一对“对偶式“．因为（a+b）（a-b）＝（a）2﹣（b）2＝a﹣b．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将（a+根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．（1）分母有理化2+12-1的值为（2）如图所示，数轴上表示1，2的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x．求x+2【变式9-1】在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：∵，∴．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：（1）试化简和；（2）化简；（3）若，求4a2﹣8a+1的值．【变式9-2】阅读下面问题：；；．试求：（1）的值；（2）（为正整数）的值．（3）计算：．重难点十化简复合二次根式化简复合二次根式，关键是根据完全平方公式把原式变形成完全平方的式子，再根据二次根式的性质化简即可．例10.阅读理解“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于设，易知故，由解得，即．根据以上方法，化简【变式10-1】阅读材料：把根式x±2y进行化简，若能找到两个数m，n，使m2+n2＝x且mn=y，则把x±2y变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得例如：化简3+22解：∵3+22=1+2+22=12+（2）2+2×1×2=（1∴3+22=(1+请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）7+43（2）5-26【变式10-2】化简_______．

重难点专题11二次根式章节重难点复习直击考点重难点一二次根式的概念形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，a叫做被开方数.例1.下列给出的式子是二次根式的是（）A．±3 B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A．±3不是二次根式，故本选项不符合题意；B.是二次根式，故本选项符合题意；C．∵3﹣π＜0，∴不是二次根式，故本选项不符合题意；D．∵的根指数是3，不是2，∴不是二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解题意二次根式的定义．【变式1-1】下列各式中，是二次根式有（）①7；②-3；③310；④3-x（x≤3）；⑤a-32；⑥-x2-1A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据二次根式的概念及二次根式成立的条件进行判断．【解答】解：②-3，被开方数小于0，不是二次根式；③310⑤a-32当⑥-x2-1，∵x2≥0，∴﹣x2≤0，∴﹣①7；④3-x（x≤3）；⑦ab（ab≥0）是二次根式．故选：B．【变式1-2】下列式子中二次根式的个数有（）（1）13；（2）3；（3）-x2+1；（4）38；（5）(-A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据形如a（a≥0）的式子叫做二次根式判断即可．【解答】解：二次根式有：（1）13；（2）3；（3）-x2+1；（5）38∵x＞1，∴1﹣x＜0，∴1-x(x＞1)故选：D．重难点二二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件：被开方数（式）为非负数（a≥0）.注：=1\*GB3①a仅是一个表示式，可为常数、单项式、多项式等整式；=2\*GB3②-a不一定无意义。当a≤0时，-a≥0，有意义。例2.函数中自变量x的取值范围是________．【答案】且【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【详解】，根据题意得：x≥0，，解得：且．故答案为：且．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．【变式2-1】若，则________．【答案】7【分析】根据二次根式的非负性得到x-3≥0且3-x≥0，可得x值，从而可得y值，代入计算即可．【详解】解：∵，∴x-3≥0且3-x≥0，∴x=3，∴y=4，∴x+y=7，故答案为：7．【点睛】本题考查了二次根式的非负性，掌握二次根式被开方数大于或等于0是解题的关键．【变式2-2】若，则_________．【答案】2021【分析】先根据二次根式有意义的条件得到，然后化简绝对值可以得到，即可得到.【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴∴，∴，故答案为：2021.【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，二次根式有意义的条件，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.重难点三利用二次根式性质化简1）性质一：二次根式结果非负性，即a≥0（a≥0）注：“”表示的是算术平方根2）性质二：非负数的算术平方根的平方等于它本身，即；（a3）性质三：a2=例3.实数，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的性质先化简，再根据绝对值的性质进行计算即可．【详解】解：观察实数a，b在数轴上的位置可知：a+1＞0，a-b＜0，1-b＜0，a+b＞0，∴=|a+1|+|a-b|+2|1-b|-|a+b|=a+1+b-a+2（b-1）-（a+b）

=a+1+b-a+2b-2-a-b=-a+2b-1．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，解决本题的关键是掌握二次根式得性质及绝对值的性质．【变式3-1】已知﹣1＜a＜0，化简(a+1A．2a B．2a+2a C．2a【分析】直接利用完全平方公式结合a的取值范围、二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：∵﹣1＜a＜0，∴(a+=a=(a-＝a-1a-（=-2故选：D．【变式3-2】实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，化简═______．【答案】c﹣a【分析】直接结合数轴得出各式的符号，再利用二次根式的性质化简得出答案．【详解】解：由数轴可得：a＞0，a+b＜0，c＜0，a﹣b＞0，∴原式．故答案为：c﹣a．【点睛】此题考查数轴上数的大小关系，算术平方根的性质，整式的加减计算．【变式3-3】已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简c2【分析】由三角形三边关系求得c的取值范围；然后判断被开方数的正负，再化简开方，计算．【解答】解：由三边关系定理，得3+5＞c，5﹣3＜c，即8＞c＞2，∴原式=＝|c﹣2|-12|＝c﹣2-12（8﹣=32【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用，掌握其性质是解决此题关键．重难点四利用二次根式性质求代数式的值若x,y的值不是最简二次根式先化成最简二次根式，再算出x+y或x-y,xy的值，把要求的代数式变形成与平方差公式或完全平方公式相关的式子，把x+y或x-y,xy的值带入即可。例4.已知，，求下列代数式的值：（1）；（2）【答案】（1）；（2）4【分析】（1）利用平方差公式展开，将x、y的值代入计算即可求出值；（2）利用完全平方公式变形，将x+y与xy的值代入计算即可求出值．【详解】解：（1）∵，，∴=[（1+）+（1-）][（1+）-（1-）]===；（2）∵，，∴=[（1+）+（1-）]2==4．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解完全平方公式和平方差公式的结构是关键．【变式4-1】当，时，求代数的值．【答案】9【分析】利用平方差公式和完全平方公式进行求解即可.【详解】解：∵，，∴，，∴.【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.【变式4-2】已知x=8-78+7【分析】化简x、y的值，代入化简后的代数式即可求得．【解答】解：∵x=8-78化简得x＝（8-7）2，y＝（8+∵x+y+2xy∴原式=8-7重难点五二次根式的乘除运算二次根式的乘除法则：（1）（2）例5.（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用二次根式的乘法运算即减法运算求解即可；（2）直接利用平方差公式、完全平方差公式求解即可．【详解】解：（1）原式，；（2）原式，．【点睛】本题考查了二次根式的乘法及减法、平方差公式、完全平方差公式的运用，解题的关键是掌握相关的运算法则．【变式5-1】当时，化简________．【答案】【分析】先根据二次根式的定义和除法的性质可得，再根据二次根式的性质化简，然后计算二次根式的除法即可得．【详解】由二次根式的定义得：，，，又除法运算的除数不能为0，，，则，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的定义与除法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．【变式5-2】计算：（1）÷（2）÷3×【分析】（1）根据二次根式的性质把除式变形，根据二次根式的乘法法则计算；（2）根据二次根式的乘除法法则计算即可．【答案】解：（1）÷＝×＝＝；（2）÷3×＝××＝＝．【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式的性质，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．重难点六二次根式的加减运算二次根式的加减运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并．例6.下列运算正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的性质化简和同类二次根式的概念逐一判断即可．【详解】解：A、，此选项运算错误；B、，此选项运算错误；C、，此选项运算正确；D、3与不是同类二次根式，不能合并，此选项运算错误；故选C．【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简和同类二次根式，熟练掌握运算【变式6-1】计算：．【答案】【分析】根据二次根式的加减混合运算法则计算即可．【详解】解：原式＝．【点睛】本题考查二次根式的加减混合运算，能够准确将每个二次根式化为最简二次根式是解题的关键．【变式6-2】（1）5﹣﹣；（2）（4﹣6）+2．【答案】（1）2﹣2；（2）4﹣4【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简，进而计算得出答案；（2）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．【详解】解：（1）；（2）.【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简和二次根式的加减运算，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的相关知识.【变式6-3】计算下列各式：（1）；（2）+4﹣+．【分析】（1）首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式；（2）首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式．【答案】解：（1）原式＝2++2﹣＝+2；（2）原式＝3+2﹣4+＝5﹣．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．重难点七二次根式的混合运算①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”。例7.计算：427+13+2-【分析】直接利用二次根式的性质以及分母有理化分别化简，进而合并得出答案．【解答】解：原式＝4×33+＝123-＝113+【变式7-1】计算下列各题：（1）×－；（2）（＋3）（3－）－（－1）2.【答案】（1）；（2）2【分析】（1）先算二次根式的乘除法，再合并同类二次根式，即可求解；（2）利用平方差和完全平方公式，即可求解．【详解】（1）原式=－()=10－=；（2）原式=32－()2－(3－2+1)=9-5-3+2-1=2．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算和乘法公式，熟练掌握二次根式的运算法则，平方差和完全平方公式，是解题的关键．【变式7-2】计算（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据二次根式加减运算性质计算即可；（2）根据二次根式乘除运算性质计算即可；【详解】解：（1）原式＝3﹣4﹣4×+12，＝3﹣4﹣+12＝2+8；（2）原式＝4，＝4，＝8．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，准确计算是解题的关键．【变式7-3】计算：（1）（2）【分析】（1）根据二次根式的加减法和除法可以解答本题；（2）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题．【答案】解：（1）＝（9﹣2+）÷4＝8÷4＝2；（2）＝[（）+3][（）﹣3]＝（）2﹣18＝3﹣6+6﹣18＝﹣9﹣6．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．重难点八利用二次根式性质化简求值先对式子进行化简，再把给的值代入化简后的式子即可。例8.化简求值：12a2118a-2a3【分析】先对式子进行化简，再将a＝8代入化简后的式子即可解答本题；【解答】解：（1）12a2118a-=12a=12a＝2a2a=a2a当a＝18时，原式＝18×2×18【变式8-1】化简求值：（a1a+4b）﹣（a2-b1【分析】先对式子进行化简，再将a＝2，b＝3代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（a1a+4b）﹣（a=(a×a=(a=a=a当a＝2，b＝3时，原式=2重难点九分母有理化的应用根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用平方差公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式。例9.我们将（a+b），（a-b）称为一对“对偶式“．因为（a+b）（a-b）＝（a）2﹣（b）2＝a﹣b．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将（a+根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．（1）分母有理化2+12-1的值为3+2（2）如图所示，数轴上表示1，2的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x．求x+2【分析】（1）先根据材料分子分母同时乘以2+（2）先根据点C是点B关于点A的对称点求得x的值，然后再代入计算得到结果．【解答】解：（1）2+12-1故答案为：3+22．（2）∵点B关于点A的对称点为C，∴x＝2-2∴x+2x=2-2+22-2=【变式9-1】在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：∵，∴．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：（1）试化简和；（2）化简；（3）若，求4a2﹣8a+1的值．【答案】（1），；（2）；（3）5【分析】（1）利用分母有理化计算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）先将a的值化简为，进而可得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：（1），，故答案为：，；（2）原式；（3），，，即．．．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．【变式9-2】阅读下面问题：；；．试求：（1）的值；（2）（为正整数）的值．（3）计算：．【答案】（1）；（2）；（3）2020【分析】（1）由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此式子乘以分母利用平方差公式计算即可；（2）乘以分母利用平方差公式计算即可；（3）根据分