29.2.3 圆周角 第一课时 圆周角定理 课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

#29.2.3圆周角（第一课时圆周角定理）专项练习（人教版九上，约1450字）##一、核心知识点梳理1.**圆周角定义**：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。>区分：圆心角顶点在圆心；圆周角顶点必须落在圆周上，两边和圆相交。顶点在圆内、圆外都不是圆周角。2.**圆周角定理**：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。公式：$\boldsymbol{∠圆周角=\dfrac12∠圆心角}$。3.**定理推导的三种位置分类（理解即可）**①圆心在圆周角的一条边上；②圆心在圆周角内部；③圆心在圆周角外部。无论哪种情况，定理结论不变。4.**推论1**：同弧或等弧所对的圆周角相等。>易错点：必须是**同弧、等弧**；如果是同弦，弦对应的圆周角有两个，可能互补，不一定相等。5.**解题思路**看到圆上的角，优先找**同一条弧**，转化角度；圆周角和圆心角共存时，用“一半关系”换算角度；常结合等腰三角形（半径相等）、三角形外角、内角和综合计算。##二、基础过关（选择+填空）1.下列图形中的角，属于圆周角的是（）A.顶点在圆心，两边交圆B.顶点在圆上，两边交圆C.顶点在圆内，两边交圆D.顶点在圆外，两边交圆**答案：B**2.在⊙O中，弧AB所对的圆心角$\(\(∠AOB\)=70°\)$，则弧AB所对的圆周角为（）A.1\(\boldsymbol{40°}\)B.70°C.35°D.20°**答案：C**解析：圆周角等于同弧圆心角的一半，$\(70°÷2=35°\)$。3.同一段弧所对的圆周角是48°，则这条弧对应的圆心角=____°。**答案：96°**4.在⊙O中，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\(∠AOC=100°\)$，则弧BC所对圆周角=____°。**答案：50°**5.如图，A、B、C三点在⊙O上，$\(∠BAC=30°\)$，$\(∠BOC=\)$____°。**答案：60°**##三、能力提升（解答题，写完整步骤）6.已知：点A、B、C在⊙O上，OA=OB，圆周角$\(\(∠ACB\)=25°\)$，求圆心角$\(∠AOB\)$的度数。**解**：∵$\(∠ACB\)$是弧AB所对圆周角，$\(∠AOB\)$是弧AB所对圆心角，根据圆周角定理：$\(∠AOB\)=2\(∠ACB\)=2×25°=\boldsymbol{50°}$。7.如图，A、B、C、D四点都在⊙O上，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。求证：$\(∠ACB\)=\(∠CBD\)$。**证明**：∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（已知），同弧或等弧所对的圆周角相等，弧AB对应的圆周角是$\(∠ACB\)$，弧CD对应的圆周角是$\(∠CBD\)$，∴$\boldsymbol{\(∠ACB\)=\(∠CBD\)}$。8.如图，AB是⊙O的弦，圆心O在△ABC内部，点C在圆上，$\(∠AOB\)=110°$，求$\(∠ACB\)$。**解**：$\(∠ACB\)$为弧AB所对圆周角，$\(∠AOB\)$是弧AB所对圆心角。由圆周角定理：$\(∠ACB\)=\dfrac12\(∠AOB\)=\dfrac12×110°=\boldsymbol{55°}$。9.易错题：⊙O中，弦AB对应的圆心角是80°，求弦AB所对的圆周角度数。**解**：弦AB把圆分成两段弧：劣弧AB=80°，优弧AB=360°−80°=280°。-劣弧AB对应的圆周角：$\dfrac12×80°=\(\boldsymbol{40°}\)$-优弧AB对应的圆周角：$\dfrac12×280°=1\(\boldsymbol{40°}\)$∴弦AB对应的圆周角为$\boldsymbol{\(\boldsymbol{40°}\)}$或$\boldsymbol{1\(\boldsymbol{40°}\)}$。>⚠️高频陷阱：一条弦对应两段弧，两个圆周角，两角互补。很多同学只算出一个答案。##四、中考综合训练10.如图，A、B、C在⊙O上，OA∥BC，$\(∠AOB\)=50°$，求$\(∠OAC\)$的度数。**解**：∵$\(∠AOB\)=50°$，弧AB对应的圆周角$\(∠ACB\)=\dfrac12\(∠AOB\)=25°$。∵OA∥BC，内错角相等，∴$\(∠OAC\)=\(∠ACB\)=\boldsymbol{25°}$。11.如图，⊙O半径OA=OB，点C在圆上，$\(∠OAB=60°\)$，求$\(∠ACB\)$。**解**：∵OA=OB，$\(∠OAB=60°\)$，∴△OAB是等边三角形。$\(∠AOB\)=60°$。由圆周角定理，$\(∠ACB\)=\dfrac12\(∠AOB\)=\boldsymbol{30°}$。12.判断正误（对√，错×）①圆周角的度数等于圆心角度数的一半（×，缺少前提：**同一条弧所对**）②同弧所对的圆周角相等（√）③相等的圆周角所对的弧相等（×，缺少同圆或等圆前提）④弦所对圆周角一定相等（×，弦对应两段弧，两角互补）##五、方法总结圆周角定理是圆这一章的核心考点，核心一句话：**同一条弧，圆周角=圆心角的一半**。做题第一步，找准角对着哪一段弧。解题常考模型：1.已知圆心角求圆周角，直接除以2；已知圆周角求圆心角，乘以2。2.同弧→圆周角相等，用来转移角度，证明角相等。3.弦对应的圆周角，一定要考虑两种情况，两个角度互补，这是选择题、填空题最容易丢分的地方。4.经常和圆心角、垂径定理、平行线、等腰三角形混合出题。大题一般用来证明角相等，或者角度计算。学习时一定要区分：圆心角看顶点在圆心，圆周角看顶点落在圆周上，牢牢记住“同弧”这个前提条件，避开判断题陷阱。（全文约1448字）需要我单独出一份**无答案纯题目版**，方便直接打印练习吗？下一课是圆周角第二课时（直径所对圆周角90°，圆内接四边形），要不要一起准备？人教版（新教材）数学九年级上册29.2.3圆周角第一课时圆周角定理授课教师：.

班

级：

9年级（

）班.

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间：.

2026/10/21

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第29章圆问题1:

什么叫圆心角？指出图中的圆心角？

顶点在圆心的角叫圆心角,

∠BOC.问题2:如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?A

∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B，C两点.导入新课►►球员在圆上不同点对着球门射门，射门角∠ABC，∠ADC，∠AEC有什么特征？与圆心角比较最大的区别是什么？►►猜想：∠ABC==∠ADC=∠AEC即同一段球门弧对应的射门角度相等。OAEBCD开始今天的学习

——圆周角定理及其推论猜想对吗？环节一：认识圆周角OABC顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。圆周角定义（2）观察图形，在⊙O中，

∠AOB是圆的什么角？

∠ACB与∠AOB所对的弧一样吗？讨论（1）观察图形，在⊙O中，

∠ACB有什么特征？角的顶点C在圆上，角的两边CA、CB都与圆相交于A、B两点圆周角∠AOB是圆心角∠ACB是圆周角

对的弧一样环节一：认识圆周角圆心角圆周角区别联系顶点在圆心顶点在圆上在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个角的两边都与圆相交2.圆周角与圆心角的对比圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上；两者两边均与圆相交。环节一：认识圆周角活动1已知∠BAC是⊙O的一个圆周角，画出图形，观察圆心与圆周角的位置你有什么发现？ABCOABCOABC圆心在圆周角边上圆心在圆周角内部圆心在圆周角外部O环节一：认识圆周角活动2画出弧BC对的圆心角，并用量角器量一量弧AB对的圆心角和圆周角的度数，比一比，有什么发现？OABCOABCOABC猜想：圆周角是对应圆心角的一半。1.返回下列选项中，∠BAC是圆周角的是(

)B返回2.如图，点A，B，C，D都在圆上，弦BD交AC于点P，连接AB，AD，BC，则

所对的圆周角是_______________．∠ACB和∠ADB返回3.[湖南中考]如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为(

)A．60°

B．75°C．90°D．135°C环节二：探究圆周角定理证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。

OABCOABCOABC三种情况需要分别证明。证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。

环节二：探究圆周角定理OABC

∠BOC=∠Ａ+∠C=2∠Ａ

分析：第一种情况，圆心在角的一边上证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。

环节二：探究圆周角定理OABC第一种情况，圆心在角的一边上

环节二：探究圆周角定理证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。

OABDOACDOABCD第二种情况圆心O在∠BAC的内部分析：证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。

环节二：探究圆周角定理第二种情况圆心O在∠BAC的内部

ABCOD证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。

环节二：探究圆周角定理OABDCOADCOABDCOADOABD情况三

圆心O在∠BAC的外部分析：证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。

环节二：探究圆周角定理OABCD

情况三

圆心O在∠BAC的外部返回4.[长沙中考]如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC.若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为(

)A．40°B．45°C．50°D．55°C[石家庄期中]如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点E在

上，若∠ABC＝50°，求∠BEC的度数．返回5.解：∵AB＝AC，∠ABC＝50°，∴∠ACB＝∠ABC＝50°，∴∠A＝180°－50°－50°＝80°，∴∠BEC＝∠A＝80°.如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是(

)A．∠B

B．∠C

C．∠DEB

D．∠D返回6.D返回7.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝40°，则∠B的度数为(

)A．80°B．60°

C．50°D．40°C返回8.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的直径为(

)A．12cmB．13cmC．14cmD．15cmB返回9.如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且CA＝CB，连接CD，BD，求∠D的度数．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵CA＝CB，∴∠CAB＝45°，∴∠D＝∠CAB＝45°.返回10.如图，AD是半圆O的直径，点B，C在半圆上，且

，点P在

上．若∠PCB＝130°，则∠PBA等于(

)A．105° B．100°C．90° D．70°B返回11.如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在以AB为直径的半圆上，连接CD交AB于点E，若∠AEC＝70°，则

所对的圆心角的度数是(

)A．25°B．35°C．50°D．70°C返回12.[石家庄长安区期中]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径．已知∠ACD＝∠DBC，CD＝

，AB＝3，那么BC的长为(

)A．3

B．2.5

C．5

D．4D13.【情境题生活应用】如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上安装这样的监视器________台．4返回14.[连云港中考]如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________°.90返回15.[安徽