2026新教材数学 21.3.2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 课件沪科版数学九年级上册

21．3二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根第21章二次函数与反比例函数导入新课二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是什么形状？如何快速绘制二次函数的大致图象？一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况与什么有关？二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数和对应方程根的个数有怎样的关系？二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，抛物线与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根．知识模块利用图象法求一元二次方程的近似根探究新知我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察有误差，利用图象求得的根一般是近似的.由图象可知，方程有两个实数根，一个在-3和-2之间，另一个在0和1之间.

分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线

y=x²+2x-1与

x

轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与

x

轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.

x…-2.6-2.5-2.4-2.3…y…0.560.25-0.04-0.31…观察:x取何值时，y值最接近0？

因而，方程x2+2x-1=0在-3和-2之间精确到0.1的根取-2.4.请同学们仿照上面的方法，求出上述方程精确到0.1的另一个根.

x…0.20.30.40.5…y…-0.56-0.31-0.040.25…

因而，方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的根取0.5.

由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的．

同学们还可以在计算机上利用几何绘图软件画出函数图象，读出交点的横坐标.一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.(1)用描点法作出二次函数的图象；(2)观察估计二次函数的图象与

x轴的交点的横坐标；由图象可知，图象与

x轴有两个交点，其横坐标的取值范围，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围(可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似根).(3)确定方程的解.由此可知，使二次函数的函数值更接近0的数，即为方程的近似解.

解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．归纳总结已知二次函数

y＝ax2＋bx＋c

的图象如图所示，则一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

的近似根为(

)A．x1≈－2.1，x2≈0.1

B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9

D．x1≈－3，x2≈1B练一练

练习

巩固练习1.二次函数

y＝kx2－6x＋3的图象与

x轴有交点，则

k的取值范围是(

)A.k＜3 B.k＜3且

k≠0 C.k≤3 D.k≤3且

k≠0D2.根据下列表格的对应值：

判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是(

).A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C

…01……1361…

课堂小结1.

构造函数：根据方程写出对应的二次函数2.

观察图像：确定抛物线与x轴交点的大致位置