黑龙江省哈尔滨市六十九中学校2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校九年级（上）学科活动数学试卷（9月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2027的倒数是（）A.-2027 B.2027 C. D.2.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（）A.

B.

C.

D.4.一元二次方程x2-3x-4=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.没有实数根 D.有一个实数根5.如图，飞机在空中B处探测到它的正下方地面上目标C，此时飞行高度BC=1200米，从飞机上看地面指挥台A的俯角α的正切值为，则飞机与指挥台之间AB的距离为（）

A.1200

米 B.1600

米 C.1800

米 D.2000

米6.某公司生产的一款扫地机器人2024年的销售量为160万台，到2026年销售量达到220万台，设该款扫地机器人年销售量的平均增长率为x,可列出的方程为（）A.220（1+x）2=160 B.160（1+x）2=220

C.160（1-x）2=220 D.160（1+2x）2=2207.如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则的值是（）A.

B.

C.

D.

8.按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（）.

A.32 B.28 C.24 D.209.对于任意实数m、n,定义一种新运算“◎”：m◎n=，这里等式右边是实数运算，例如：2◎5=.则方程x◎（-2）=-1的解是（）A.x=3 B.x=4 C.x=5 D.x=610.如图1，点M为▱ABCD边上的点，点M沿着B→C→D→A的路径运动，设点M运动的路径长为x,△ABM的面积为y,如图2是点M运动时y随x变化的关系图象，则AB与CD间的距离是（）

A.4 B.5 C. D.二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。11.将数269000000用科学记数法表示为

.12.函数y=中，自变量x的取值范围是

．13.把多项式b3-6b2+9b分解因式的结果是

．14.不等式组的解集是

．15.2026年3月14日是第七个国际数学日，今年国际数学日的主题是“MathematicsandHope（数学与希望）”．数学节期间，南宁地区开展了“数智创想——学生优秀创意作品征集”活动，该活动将学生创意作品的“科学性、创新性、实践性”三项得分按4：3：3的比例计入总成绩．小越的作品三项得分分别为10分，8分，9分，则小越的作品总成绩为

分．16.如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（1，1），B（2，1），以原点O为位似中心，将线段AB放大后得到线段CD，若CD=2，则端点C的坐标为

．

17.如图，已知△ABC中∠C=90°，AC=BC，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧交于E、F两点，连接EF交BC于D.连接AD，则tan∠DAC=

.

18.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB=45cm,A′B′=15cm,小孔O到AB的距离为30cm,则小孔O到A′B′的距离为

cm.

19.在△ABC中，若AB=，tanB=，AC=，则BC=

.20.如图，等边△ABC中，AB=2，点D，E分别为BC，AC边上的点，连接AD，BE交于点F，且BD=CE，M为线段BE上一动点，则以下结论中正确的是

.（只填写序号即可）

①△ABD≌△BCE；

②CE2=DF•AF；

③当AM⊥BE时，AF=2FM；

④当点D为BC边中点时，AM+BM的最小值为2.

三、计算题：本大题共2小题，共17分。21.先化简，再求值：，其中a=2sin60°+tan45°.22.某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知采购1台甲种机器人与5台乙种机器人共需109万元；采购3台甲种机器人与2台乙种机器人共需67万元(1)求采购一台甲种机器人和一台乙种机器人分别需要多少万元？(2)若该公司要采购两种机器人共20台，且乙种机器人的数量不少于甲种机器人数量的，请问采购多少台乙种机器人时花费最少，最少费用是多少？四、解答题：本题共5小题，共43分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。23.(本小题7分)

图1、图2是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．

(1)在图1中，在线段AC上确定一点D，连接BD，使得tan∠ABD=1(2)在图2中，确定线段AB上一点E，使得，连接CE，请直接写出线段CE的长24.(本小题8分)

六十九中学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A.90≤x≤100；B.80≤x＜90；C.70≤x＜80；D.60≤x＜70）．

下面给出了部分信息：

七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：85，83，84，87，84，88，84．

八年级20名学生竞赛成绩是：63，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99．

七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计年级七年级八年级平均数8282中位数84b方差278.9134.7

根据以上数据分析信息，解答下列问题：(1)上述图表中b=

，m=

，n=

(2)如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选

年级更合适（填“七”或“八”）(3)该校八年级有学生1200人．请估计该校八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？25.(本小题8分)

如图，△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，交AD于点F(1)求证：CD=DF(2)若BE平分∠ABC，在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与△AEF相似的三角形26.(本小题10分)

已知，四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，连接AC，AC平分∠BAD(1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形(2)如图2，当∠D=60°时，点F为线段AC上一点，连接BF，以BF为边长作等边△FBE（点E与点C在直线BF同侧），连接CE，求证：CF+CE=BC(3)如图3，在（2）的条件下，延长BF交AD于点G，连接GE，若GE=，CF=5，求线段EF的长．

27.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形AOBC的边OB、OA分别在x轴和y轴的正半轴上，且A（0，m）．

(1)如图1，设正方形AOBC的面积为S，S与m之间的函数关系式为

；（不要求写出自变量m的取值范围）(2)如图2，点D为第一象限内一点，连接BD、OD、AD，∠BDO=45°，求∠ADO的度数(3)如图3，在（2）的条件下，取AD的中点M，连接CM，若CM=，BD=5，求S的值

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】C

10.【答案】D

11.【答案】2.69×108

12.【答案】x≠-5

13.【答案】b（b-3）2

14.【答案】-1≤x＜2

15.【答案】9.1

16.【答案】（2，2）

17.【答案】

18.【答案】10

19.【答案】6或4

20.【答案】①③

21.【答案】解：原式=•-

=-

=-，

当a=2sin60°+tan45=2×+1=+1，

原式=-=-．

22.【答案】【小题1】设购一台甲种机器人需要a万元，购一台乙种机器人需要b万元，

由题意可得，，

解得，

答：购一台甲种机器人需要9万元，购一台乙种机器人需要20万元【小题2】设采购乙种机器人x台，则采购甲种机器人（20-x）台，总费用为w万元，

由题意可得，w=9（20-x）+20x=11x+180，

∴w随x的增大而增大，

∵乙种机器人的数量不少于甲种机器人数量的，

∴x≥（20-x），

解得x≥5，

∴当x=5时，w取得最小值235，

答：采购5台乙种机器人时花费最少，最少费用是235万元

23.【答案】【小题1】如图1中，点D即为所求；

【小题2】如图2中，点E即为所求．

连接AK．

∵AB=BC=5，AE=CK=3，

∴∠BAC=∠ACB，

∵AC=CA，

∴△ACE≌△CAK（SAS），

∴CE=AK，

∵AK==，

∴CE=AK=

24.【答案】【小题1】833072【小题2】八【小题3】八年级样本中成绩不低于90分的有95，97，98，98，99，一共5人，占比=25%，

估计人数：1200×25%=300（人）．

答：估计该校八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有300人

25.【答案】【小题1】证明：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AD=BD，

∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=∠BEC=90°，

∴∠CAD+∠C=∠DBF+∠C=90°，

∴∠CAD=∠DBF，

在△ACD与△BFD中，

，

∴△ACD≌△BFD（ASA），

∴CD=DF【小题2】解：∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=∠BEC=90°，

∴∠CAD+∠C=∠DBF+∠C=90°，

∴∠CAD=∠DBF，

∴△AEF∽△BDF，△AEF∽△BEC，

同理△AEF∽△ADC，△AEF∽△BEA，

综上所述，与△AEF相似的三角形有△BDF、△BEC、△ADC、△BEA

26.【答案】【小题1】证明：∵AB∥DC，AD∥BC，

∴∠DCA=∠BAC，四边形ABCD是平行四边形，

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC=∠BAC，

∴∠DCA=∠DAC，

∴AD=DC，

∴四边形ABCD是菱形【小题2】证明：∵四边形ABCD是菱形，∠D=60°，

∴AB=BC，∠D=∠CBA=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=BC，

∵△FBE是等边三角形，

∴BF=BE，∠EBF=60°，

∵∠ABF+∠FBC=∠FBC+∠CBE=60°，

∴∠ABF=∠CBE，

在△ABF和△CBE中，，

∴△ABF≌△CBE（SAS），

∴AF=CE，

∴AF+CF=CE+CF=AC=BC，

即CF+CE=BC【小题3】解：如图，延长DA至点K，使CF=AK，连接FK，

由（2）知，△ABF≌△CBE（SAS），

∴AF=CE，∠FAB=∠ECB=60°，

∵∠DCA=∠ACB=60°，

∴∠DCA+∠ACB+∠BCE=180°，

∴点D，C，E三点共线，

∵DE∥AB，

∴∠D=∠KAB=60°，

∴∠FAK=∠FAB+∠KAB=120°，

∵∠ECF=∠ECB+∠ACB=120°，

∴∠FAK=∠ECF，

在△ECF和△FAK中，

，

∴△ECF≌△FAK（SAS），

∴FK=FE，∠K=∠CFE，∠AFK=∠CEF，

∵△BEF是等边三角形，

∴FK=FE=FB，

设∠K=∠CFE=α，

∴∠CEF=∠DCA-∠CFE=60°-α，

∵∠AFK=∠CEF，

∴∠AFK=60°-α，

∵∠CFB=∠CFE+∠EFB=60°+α，

∴∠AFB=180°-∠CFB=120°-α，

∴∠KFB=∠AFB-∠AFK=120°-α-（60°-α）=60°，

∴∠KAB=∠KFB=60°，

∴∠GFK=∠GFE=180°-∠KFB=180°-∠EFB=120°，

在△KGF和△EGF中，

，

∴△KGF≌△EGF（SAS），

∴∠K=∠FEG=α，∠AGB=∠EGB=60°-α，

∵∠GBA=∠CFB-∠CAB=60°+α-60°=α，

∴∠CBG=∠CBA-∠GBA=60°-α，

∴∠EGB=∠CBG，

∵∠FCB=∠GBE=60°，

∴△CFB∽△BEG，

∴，即，

∴BE=7（负值舍去），

∴EF=BE=7

27.【答案】【小题1】S=m2【小题2】连接AB，OC交于K，如图：

∵四边形AOBC是正方形，

∴AK=OK=BK=CK，∠BKO=90°，

∴A，O，B，C在以K为圆心，AK为半径的圆上，

∵∠BDO=45°=∠BKO，

∴点D在⊙K上，

∴∠AOB+∠ADB=180°，

∴∠ADB=180°-∠AOB=90°，

∵∠BDO=45°，

∴∠ADO=∠ADB-∠BDO=90°-45°=45°【小题3】设D（x,y），

∵A（0，m），四边形AOBC是正方形，

∴B（m,0），C（m,m），K（，），

∵D在⊙K上，

∴DK=OK，

∴（x-）2+（y-）2=（）2+（）2，

整理得x2+y2=m（x+y），

∵M为AD的中点，

∴M（，），

∵CM=，

∴（m-）2+（m-）2=（）2，

整理得：5m2-4mx-2my+x2+y2=