2017-2026年高考数学试题分类汇编三角函数中的范围及最值（解析版）

1.4•新课标II卷•高考真题)(多选)对于函数/(X)=sin2x和g(x)=sin(2x-。，下列说法中正确的有

4

()

A./3)与g(x)有相同的零点B./(x)与g(x)有相同的最大值

C./(x)与g(x)有相同的最小正周期D./(x)与g(x)的图象有相同的对称轴

【答案】BC

【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐•分析每个选项即可.

【详解】A选项，令/(x)=sin2x=0,解得x=^,keZ,即为/(x)零点，

令g(x)=sin(2..令=0,解得％=舁¥",即为g(x)零点，

显然/(x),g(x)零点不同，A选项错误；

B选项，显然“X)1Mx=g(X)max=LB选项正确；

C选项，根据周期公式，/(x),gG)的周期均为与二兀，C选项正确；

D选项，根据正弦函数的性质/⑴的对称轴满足2x=E+£ox="+

224

g(i)的对称轴满足2.v——=An+—<=>x=—+—，^eZ,

显然/(x)，g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.

故选：BC

2.(2021•浙江•高考真题)已知用,/是互不相同的锐角，则在sinacos夕,sin£cosy,sinycosa三个值中，

大于g的个数的最大值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

3

【分析】利用基本不等式或排序不等式得sinacos夕+si“cos7+sin7cosaK1,从而可判断三个代数式不

可能均大于£,再结合特例可得三式中大于£的个数的最大值.

【详解】法1：由基本不等式有sinacos夕4包出出自，

日加•八一sin'£+cos2y.sin2y+cos2a

I可理sincos/<-----------------»sin/cosa<------------------>

故sinacos"+sin/?cosy+sinycosa<—,

2

故sinacos/?,sin/?cosy,sinycosa不可能均大于J.

2

取”=不'：，/=-

则sinacosp=；<；,sin//cosy=-^->^sin/cosa=^->；

故三式中大于5的个数的最大值为2,

故选：c.

法2：不妨设a则cosa>cos£>cosy,sinavsin尸vsiny,

由排列不等式可得：

sinacos/?+sin/7cosy+sin/cosaWsinacosy+sinpcosP+sin/cosa,

I3

而sinacosy+sin夕cos/?+sinycosa=sin(/+6?)+—sin2/?<—,

故sinacos夕,sin£cosy,sinycosa不可能均大于会.

口77九Q冗兀

取a=T，夕=彳，，=丁，

634

则sinacosQ=；v；,sin夕cosy=生〉sin/cost?=^->»

故三式中大于g的个数的最大值为2,

故选：C.

【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或排序进行放缩，注

意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.

3.(2021•全国乙卷•高考真题)函数/(x)=sin；+cos；的最小正周期和最大值分别是()

A.3兀和及B.3兀和2C.6n和及D.6兀和2

【答案】C

【分析】利用辅助角公式化简/(5),结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.

【详解】由题，/(X)=$抽三+8$1=拒卜§通?+48$?]=&sin[?+?),所以〃x)的最小正周期为

。、Xrnj)j•/

丁哼"J最大值为日

3

故选：C.

4.(2021•北京•高考真题)函数/(x)=cosx-cos2x是

3

A.奇函数，且最大值为2B.偶函数，且最大值为2

99

C.奇函数，且最大值为三D.偶函数，且最大值为三

88

【答案】D

【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可

判断最大值.

【详解】由题意，/(-X)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=f(x),所以该函数为偶函数，

I9

又f（x）=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1=-2cosx—+-9

48

I9

所以当COSX=了时，/(x)取最大值

48

故选：D.

5.(2020天津商考真题)已知函数=给出下列结论：

①/")的最小正周期为2/；

②是"外的最大值；

③把函数》=5由工的图象上所有点向左平移。个单位长度，可得到函数歹二/(')的图象.

其中所有正确结论的序号是()

A.①B.①③C.②③D.①@©

【答案】B

【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.

【详解】因为/(x)=sin(x+f),所以周期7=至=2乃，故①正确；

/(£)=sin(g+g)=sin•二"，故②不正确；

22362

将函数y=sinx的图象上所有点向左平移？个单位长度，得到y=sin(x+序的图象.

故③正确.

故选：B.

【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是

一道容易题.

6.(2019•北京•高考真题)如图，A,8是半径为2的圆周上的定点，尸为圆周上的动点，4处是锐角，

大小为夕.图中阴影区域的面积的垠大值为

4

A

B

A.邛+4cos//B.4戒+4si叨C.2吟os。D.2夕+2si邛

【答案】B

【分析】由题意首先确定面积最大时点。的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式匕得最大的面

积值.

【详解】观察图象可知，当P为弧力8的中点时，阴影部分的面积S取最大值，

此时/BOP=/AOP=e。,面积S的最大值为兀x2?x登+S&POBt

2不

SAP0A=4/-1。川0B\sin(7r-fl)+-|OPllOA\sin(乃一p)

22

=4/?+2sin/?+2sin0=4/?+4-sinR.

故选B.

【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有

一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.

7.(2019・全国I卷・高考真题)关于函数〃x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:

①Zb)是偶函数②/M在区间后,不)单调递增

颤x)在［-工村有4个零点④/(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A.①②④B.②@C.①④D.①③

【答案】C

【分析】化简函数/(x)=sm|x|+向x|,研究它的性质从而得出正确答案.

5

【详解】••,/(-x)=sin卜M+卜in(-x)卜sink|+kinx|=/(x),，/3为偶函数，故①正确.当、＜工＜)时，

/(x)=2sin.r,它在区间停，兀)单调递减，故②错误.当0工不工不时，/(x)=2sinx,它有两个零点：0,兀：

当-乃4戈＜0时，/(x)=sin(-x)-sinx=-2sinx,它有一个零点：一乃，故/(x)在[-兀，可有3个零点：-兀，0,兀,

故③错误.当xe[2左乃,2左乃+句卜eN')时，/(x)=2sinx；当xw[2左乃+乃,24乃+2司(£e时，

/(x)=sinx-sinx=O,又/(切为偶函数，/J(x)的最大值为2,故④正确.综上所述，①④正确，故

选C.

【点睛】画出函数/(x)=sin|x|+卜inx|的图象，由图象可得①©正确，故选C.

8.(2018•全国【卷・高考真题)已知函数/(x)=2cos2%-sin2x+2,则

A./(x)的最小正周期为不，最大值为3

B./(x)的最小正周期为不，最大值为4

C./(x)的最小正周期为2兀，最大值为3

D./'(X)的最小正周期为2兀，最大值为4

【答案】B

【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为/(x)=Tcos2x+g,之后应

用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.

【详解】根据题意有〃x)=cos2x+l-匚笋+2=：cos2x+：

所以函数/(力的最小正周期为7=母二乃，

且最大值为/(力11m=g+T=4,故选B.

【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解

题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.

9.(2018・全国H卷•高考真题)若/(x)=co$x-siiit在[-出句是减函数，则。的最大值是

6

3n

C.~4~D.乃

【答案】A

【详解】因为/'(jr)=cosx-sinx=\/2cos(jv+—),

4

所以由0+2kli<x+—<7T+2Arn,(kwZ)得一四+2kn<x<—+2Qr,(keZ)

444

因此[-a,a]U[-],学]-ava24,0va4£,从币。的最大值为故选：A.

444444

10.(2017全国HI卷高考真题)函数/(x)=2sin(x+f)+cos(x-g)的最大值为

536

631

A.-B.1C.~D.—

JJJ

【答案】A

【详解】由诱导公式可得cos[."2)=c°s5-1+斗=疝1+1

函数/(X)的最大值为

所以选A.

【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过

变换把函数化为y=4sin®x+°)+8的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意

观察角、函数名、结构等特征.

11.(2024•全国甲卷•高考真题)函数/(x)=sinx-百cosx在[0,可上的最大值是

【答案】2

【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.

【详解】/(x)=sinx-百cosx=2sin大一外，当戈«0,可时，.―储一年片，

当了弋、时，即、=充时，/(x)_=2.

故答案为：2

12.(2024・北京•高考真题)在平面直角坐标系xOy中，角。与角夕均以Ox为始边，它们的终边关于原点

对称.若ae，则cos4的最大值为

_63_

【答案】一g/—0.5

7

【分析】首先得出《=。+兀+2E/eZ,结合三角函数单调性即可求解最值.

【详解】由题意6=a+7t+2E,4eZ,从而以)$尸=85(。+冗+2后:)=一85。，

因为a所以cosa的取值范围是,cos夕的取值范围是—乌二,

03J122)[22

当且仅当。=三，即4=F+2E』€Z时，cos£取得最大值，且最大值为一；.

JJ4

故答案为：-

13.(2020・北京•高考真题)若函数/(x)=sin(x+0)+cosx的最大值为2,则常数。的一个取值为.

【答案】-(2版•+2,〃eZ均可)

22

【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得/(x)=Jcos2)+(sine+iysin(x+6)，可得

^cos2^?+(sin^+l)2=2»即可解HI.

【详解】因为/(x)=cos°sinx+(sin(p+\)cosx=Jcos2(p+〈sinw+1sin(x+4)，

所以Jcos?夕+(sin0+l『=2,解得sine=l,故可取夕=].

7T7T

故答案为：-(2A;r+；,AwZ均可).

22

【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运

算能力，属于基础题.

14.(2017・全国H卷・高考真题)函数/(x)=si〃％+Gcosx-((xe0,y)的最大值是.

【答案】1

【详解】化简三角函数的解析式，

可得/(x)=1-COS2X+GcOSX-ju-COS?X+x/^COSX+；=

-(cosx—+1.

由H£[0,g,可得cosxe[0,l],

当cosx=立时，函数/(X)取得最大值I.

2

15.(2017•全国II卷•高考真题)函数/(x)=2cosx+sinx的最大值为.

【答案】标

8

【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可.

【详解】解：函数/(x)=2cosx+sitiv=V5(COSJT+半situ)=>/5sin(x+6),其中tan6=2,

可知函数的最大值为：石.

故答案为石.

【点睛】通过配角公式把三角函数化为歹=Asin(口x+0+8的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注

意观察角、函数名、结构等特征.一般可利用|asinx+6cosx区白不■求最值.

点02最小值问题

16.(2025•北京•高考真题)设函数/(x)=sin<yx+cos/x(3>0),若/(.丫+兀)=/(x)恒成立，且/(x)在0,：

上存在零点，则4。的最小信为()

A.8B.6C.4D.3

【答案】C

【分析】山辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.

71

【详解】函数/")=sin(t)x+costax=V2sin1cox+—\(a)>0),

4

设函数/(X)的最小正周期为7,曰f(x+n)=/(均可得盯二兀,卜eV),

所以7=科=；,(kwN.)，即0=2£(ZcN.)；

又函数/(x)在0，；上存在零点，且当xw0。时，GX+JG丁，芋十丁

L4J4」41444

所以畔+上不，即逅3；

44

综上，。的最小值为4.

故选：C.

17.(2025•天津•高考真题)/(x)=sin(ryx+(p)(a)>0,-it<(/)<n)f在上单调递增，且户展为它

的一条对称轴，［］，0)是它的一个对称中心，当xe0,^时，/(x)的最小值为()

A.--B.--C.1D.0

22

【答案】A

【分析】利用正弦函数的对称性得出/=4〃+2,根据单调性得出0<。42,从而确定结合对称轴与对

9

称中心再求出。，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解.

【详解】因为函数在喑令上单调递增，且工4为它的一条对称轴，

所以x4时函数取最大值，

又因为1,0)是它的一个对称中心，

7in..

——①=----1-2.K11

122

所以(m.keZ.),

n

—ct)+(p=mn

设f(x)的最小正周期为7,由正弦函数的对称性可知Z),

a”it2nn+it..

即-=------co=4/7+2(,

42(0

又f(x)在|~-居，31上单调递增，则4?白-(一言］，,巴之5=()<公2,

1212J212(12)co2

712

(p=—+2kn

<y=2,则(ni,keZ),

2n

(p-nm---

V^€(-n,7t),.•・〃=(),6=1时，^>=y,/./(x)=sin^2x+y

,「八兀1।八冗「冗4兀

当xw0,-时，2x+-e,

由正弦困数的单调性可知/(x).=sin—.

J\/min32

故选：A

18.(2025♦全国一卷•高考真题)已知点3。)伍＞0)是函数y=2tan(x-g)的图象的一个对称中心，则。的

最小值为()

47t

C—

•2

【答案】B

【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.

【详解】根据正切函数的性质，y=2tan(xq的对称中心横坐标满足

即7=2tan(x——)的对称中心是(鼻+—~,0,kwZ,

即4=四+侬〃eZ,

32

10

又4>0,则A=0时。最小，最小值是y,

即“g

故选：B

19.（2024•北京•高考真题）设函数/（x）=sin53>0）.已知/（不）=-1,/（x2）=l,且--七|的最小值为

y,则〃）=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.

【详解】由题意可知：玉为的最小值点，々为/（力的最大值点，

=即7=兀，

且。>0,所以。=1=2.

故选：B.

20.（2024・天津•高考真题）已知函数〃x）=3sin（5+W）®>G）的最小正周期为兀.则/。）在区间

W，以上的最小值是（）

12O

A...-B.——C.0D.—1

222

【答案】D

【分析】结合周期公式求出访得/（x）=3sin（2r+M，再整体求出当》3闵时，2x+J的范围，结

k3；L126」3

合正弦三角函数图象特征即可求解.

【详解】因为函数/（"的最小正周期为兀，则,=m=*所以0=2,

即F(x)=3sin2x+g,当xw时，2x+T€JT27r

I31.126_3

BP=,

所以当2x+wq,X-HWzw-=3sinrl

故选：D

21.（2023•上海・高考真题）已知人>0,函数y=sinx在区间上最小值为S,在区间［2叫3问上的最

小值为/,用变化时，下列不可能的是（）

A.3>。且f>UB.5<。且/<UC.S<U且f>UD.S>0且f<。

11

【答案】C

【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答.

【详解】因为函数/*）=$inx的最小正周期是2兀，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可,

当0〈机<乙时，0<2w<—,0<3w<n,而Dxw（O,兀），sinx>0,

33

因此/（X）在［叫2M上的最小值S>0,在此73间上的最小值f>0,A可能;

7,R2兀r1-471371-

当一<〃？<一时，n<2w<一,一<3m<2几，

2332

因此/（X）在［叽2〃“上的最小值S〈o,在［2叫3/«］上的最小值f<0,B可能;

R加・・L27r—-37r

当］<“？<5时，—<2m<兀，n<3m<—,

因此/（X）在［叫2M上的最小值s>0,在［2肛3间上的最小值f<0,D可能;

对于C,若S<0,则2〃?>7t,

若/>0,则区间的长度〃J<R,并且sin2/w>0且sin37n>0,

即2m€（0,it）且3me（0,兀）与2m>n矛盾,所以C不可能.

故选：C

【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值.

22.（2022•全国甲卷•高考真题）将函数/（x）=sin（5+3）（。>0）的图像向左平移］个单位长度后得到曲线

C,若。关于y轴对称，则3的最小值是（）

【答案】C

【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得W+g=g+版■/eZ,即可求出。的最小值.

乙，乙

【详解】由题意知：曲线。为'=5皿cox+y=sin（s+子+g）,又C关于y轴对称，则

乙）,ND

371冗冗,,7

--------F-=-----FK7T,KGZ,

232

解得/=；+2A,AcZ,又切>0,故当％=0时，◎的最小值为!.

JJ

故选：C.

23.（2021•全国乙卷•高考真题）下列函数中最小值为4的是（）

12

,I-I4

A.y=x2+2x+4B.smx+■-r

,r|sinx|

4

C.y=2X+22-XD.y=lnx+—

Inx

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质可判断4选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出

8,D不符合题意，C符合题意.

【详解】对于A,y=x2+2x+4=(x+l)2+3>3,当且仅当x=7时取等号，所以其最小值为3,A不符合

题意；

对干B,因为0<卜吊工归1,^=|sinx|+i-i->2V4=4,当且仅当卜inx|=2时取等号，等号取不到，所以其

lol11人|

最小值不为4,B不符合题意；

对于C,因为函数定义域为A,而2，>0,y=T+22~x=2x+^>2^=4,当且仅当丁=2,即“1时取

2

等号，所以其最小值为4,C符合题意；

4

对干D,y=\nx+——，函数定义域为(O,l)U(l,+8),而InxeR且InxHO,如当lnx=-l,歹=一5,D不

Inx

符合题意.

故选:C.

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性

质即可解出.

24.(2022•全国乙卷•高考真题)记函数/3=33.丫+夕)3>0,0<尹<兀)的最小正周期为T,若f(T)=与,

x=/为/(X)的零点，则◎的最小值为.

【答案】3

【分析】首先表示出7,根据/(7)=等求出再根据》=方为函数的零点，即可求出。的取值，从而得

解；

【详解】解：因为/(x)=cos(姐+e),(①>0,0<9<兀)

所以最小正周期r=号，因为/(r)=27r+“=cos(2兀+w)=co必=与,

cosco---

CO

71

又0<9<兀，所以°=5，即/(x)=cos(OX+—

66

13

又工=《为/（X）的零点，所以2+m=[+解得&=3+9AMeZ,

9962

因为0>0,所以当上=0时练in=3;

故答案为：3

25.（2022•全国甲卷•高考真题）已知/BC中，点。在边4C上，^ADB=\20°,AD=2,CD=1BD.当工

AB

取得最小值时，BD=

【答案】V3-1/-1+V3

A（-2

【分析】设。。=28。=2小>0,利用余弦定理表示出空方后，结合基本不等式即可得解.

AB2

【详解】|方法一]:余弦定理

设CD=2BD=2w>0,

则在“BD中，AB-=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=m2+4+2m，

在A/CO中，AC1=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4w2+4—，

-C'4m:+4_4加_4（〃/+4+2〃?）-12（1+/9乂12

所以力夕"产+4+2加〃/+4+2〃？仇+］）+3

♦}m7\

>4——，=4-2/3

（W）

2AV+17--m+\

当且仅当机+1=—7即机=百-1时，等号成立,

tn+\

所以当筹AT取最小值时，加=道-1.

AD

故答案为：G-i.

14

y

［方法二I：建系法

令BD=l,以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.

则C(2t,0),A(1,V3),B(-t,0)

AC2_(2/-l)：+3_炉-4+4_______12_

犬42A

定"0+3-f+4-(Z+1)+J

当且仅当/+1=行，即8。=1时等号成立。

［方法三］:余弦定理

设BD=x,CD=2x.由余弦定理得

c2=x2+4+2x、、、

亡/)2“，,2,2+62=]2+6/,

b，=4+4厂-4x

c2=x2+4+2x,,,

..“一，，「•2L+Zr=12+6x-,

b'=4+4x--4x

AC

令2―=f,贝U2c24-Cc~=12+6x2»

AB

12+6/12+61

：.r+2==61>6-2>/3,

c2x2+2x+43

(x+l)+

X+1>

.•/24-2后,

3

当且仅当x+l=,即1时等号成立.

r+l

［方法四］：判别式法

设=则CD=2x

在中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=1+4+2x，

在&ACD中，AC2=CD2+AD--2CD-力。cosAADC=4/+4—4x，

AC24X2+4-4X、口4_r+4-4x

所以,记--------

AB?X2+4+2Xx-+4+2.V

15

M（4-/）X2-（4+2/）X+（4-4/）=0

由方程有解得：A=（4+2/）2—4«T）（4-句＞0

即「一8/+440，解得：4-2x/3＜；＜4+2^-

所以“”25此时、=言=百一】

所以当空取最小值时，x=6-l，即8。=班-1.

26.（2021•上海・高考真题）」知。＞0,对任意〃wN*,总存在实数8,使得cos（〃0+°）＜*^，则。的最小

值是—

7IT

【答案】y

【分析】

利用单位圆中的终边位置研究，可知存在正整数〃?,使得答cN\,由此求得。的最

小值.

【详解】在单位圆中分析，由题意，

〃。+夕的终边要落在图中阴影部分区域

必存在某个正整数〃，使得〃。+。终边在OB的下面，而再加上。，即跨越空白区域到达下一个周期内的

阴影区域内，

式

0＞NAOB=-,

3

•・•对任意〃wN要成立，所以必存在某个正整数〃，使得以后的各个角的终边与前面的重复（否则终边

有无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1。，进而对于更大的〃，次差的累积可以达到任意

的整度数，便不可能在空白区域中不存在了），

16

故存在正整数〃?，使得—wN,即。=竿，

0k

同时0>g,

J

・・・。的最小值为年，

J

2兀

故答案为：y.

【点睛】

本题考查三角函数的性质，主要思想是在单位圆中利用数形结合思想进行研究分析.得出存在正整数加,

使得驾wN,是关键.

U

27.(2020•全国III卷•高考真题)关于函数/«)=sinx+」一有如下四个命题：

sinx

0/(x)的图象关于y轴对称.

②/(工)的图象关于原点对称.

@f(x)的图象关于直线尸、对称.

@f(x)的最小值为2.

其中所有真命题的序号是.

【答案】②③

【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的

定义可判断命题③的正误；取-乃<x<0可判断命题④的正误.综合可得出结论.

【详解】对于命题①，/田=1+2=。，小3=；2=]，则小£)工/停，

16J22I6J22k6J

所以，函数/(x)的图象不关于V轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数/(x)的定义域为卜卜工火肛AcZ},定义域关于原点对称，

=sin(-x)+——；~-=-sinx1=一(sinx+——]=-/j),

sin(-x)sinx<sinxJ

所以，函数/(x)的图象关于原点对称，命题②正确；

17

所以，函数/(x)的图象关于直线X='对称，命题③正确；

对干命题④，当一乃<x<0时，sinx<0,则f(x)=sinx+^—<0<2,

sinx

命题④错误.

故答案为：②®.

【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

28.(2019•全国I卷高考真题)函数/")=sin(2x+£)-3cosx的最小值为.

【答案】-4.

【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍用的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cosx的

二次函数，从而得解.

3K317

【详解】/(X)=sin(2x+—)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos3x-3cosx+1=-2(cos.r+—)2+—,

248

•/-I<COSX<1,.,•当COSX=1时，/min(X)=-4,

故函数/(X)的最小值为-4.

【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视-IWCOSXG的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算

错误.

29.(2018•江苏•高考真题)在△48。中，角。所对的边分别为。也C,48c=120。，ZJ8C的平分线

交,4C于点D,且8。=1,则4a+c的最小值为.

【答案】9

【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面枳公式得条件■!■+■!_=1,再利用基本不等式即可解出.

ac

【详解】［方法一］:【最优解】角平分线定义+三角形面积公式+基本不等式

由题意可知，皿+&3C"由角平分线定义和三角形面积公式得

—acsin120°=—tzx1xsin60°+—cx1xsin60°,化简得〃c=〃+c,即一+^=1,

222ac

因此4。+c=(4a+c)(—+—)=5+—+—>5+2.1—­—=9,

acacXac

当且仅当。=2〃=3时取等号，则4a+c的最小值为9.

故答案为：9.

［方法二］:角平分线性质+向量的数量积+基本不等式

由三角形内角平分线性质得向量式丽='-茄+」一品.

a+ca+c

18

，］而2+2-£^或.或，化简得『上

因为40=1,所以1=即ac=a+c,亦即

\a+cJ(〃+c)~a+c

(^-l)(c-l)=l,

所以4a+c=4(a_l)+(c_l)+5N5+W4m_l)(c_l)=£,

当且仅当4(a-l)=c-l,即。=；,c=3时取等号.

［方法三］:解析法+基本不等式

如图5,以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系.设C（d（））,D2Cy2c.因

V3c_V3且

为儿D,C三点共线，则3。=%，即2r—'=/-，则有〃+c=ac,所以■L+_L=i.

11Iac

—c——a

222

图5

下同方法一.

［方法四］:角平分线定理+基本不等式

在中，CQ=Jc+l-2acosJ=J/+l-a,同理力。=J-+1—c.根据内角平分线性原定理知

牛=空，即忙1二二,两边平方，并利用比例性质得上@二£,整理得+4）=0,当

ADABVc2+l-cc\-cc2

。二。时，可解得a=c=2,4a+c=10.当a+c=ac时，下同方法一.

［方法五］:正弦定理+基本不等式

在“BD与ABCD中,由正弦定理得上与=工，名^=」7；.

sin60sinJsm60smC

..,…十升金e，口abAD+CDADCD

在A/IBC中，由正弦定理得----=-----=---------=------+------.

sin力sin8sin1200sin60°sin60°

所以一二二一二十一二，由正弦定理得1=巴='+1，即"=〃+%下同方法一.

sinAsinAsinCaac

［方法六］:相似+基本不等式

如图6,作zl£〃/yc,交8。的延长线于从易得△/"七为正二角形，则为石=c,OE=c-l.

19

AE

5

BciC

图6

AFnFcc—1

由“DESACQB,得芸=芸，即一=从而a+c=ac.下同方法一.

ntKJ)a1

【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式”「的代换求

出最小值，思路常规也简洁，是木题的最优解；

方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到de的关系，最后利用甚本不等式求

出最值，关系构建过程运算量较大；

方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值；

方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较K：

方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多；

方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单.

30.(2018・北京•高考真题)设函数/(x)=cos(5若/(x)”图对任意的实数x都成立，

则3的最小值为.

【答案】|2

【分析】根据题意/(%)取最大值根据余弦函数取最大值条件解得。的表达式，进而确定其最小值.

【详解】因为对任意的实数X都成立，所以“X)取最大值

所以20-巳=2桁(左eZ),◎=8/+4(keZ),

463

2

因为切＞0,所以当A=0时,，/取最小值为Q.

【点睛】函数y="cos(ox十夕)十，(/＞0,刃:＞。)的性质

（1））京=4+区J'mm=4-8.

(2)周期r='.

CD

(3)由3工+。二履(〃£2)求对称轴，最大值对应自变量满足公r+o=2E(AcZ),最小值对应自变量满足

(i)x+(p=n+2k兀(kGZ),

20

（4）由一三+2%不W<yx+0W工+2%;?•（左eZ）求增区间；由三+2%乃46yx+。4也+2左乃（AwZ）求减区间.

2222

1

---------1------------

31.（2017•上海•高考真题）设4、a2eR,且=2,则110乃-4-4I的最小值等于

2+sincf12+sin(2cr2)

【答案】三

4

【详解】由三角函数的性质可知忌^出］,京两耳」】，

所以忘记=2+sin(2%)=/即sinaLsin(2aJ=7.

所以%=一］+2〃4,%=一4,Z,

所以|10开-%-%以=?.

考点03范围问题

32.（2026•北京•高考真题）摇杆机械装置，如图，A,6为定点，C,。是动点，AD=\3=3、BC="