《概率论与数理统计》-3

3.1二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量的联合分布定义1如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的值是有限对或无限可数对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量.定义2设二维离散型随机变量(X,Y)的所有可能取的值为(x，y)(i,j一1,2,…)，则称为(X,Y)的联合概率分布(简称(X,Y)的联合分布或概率分布).由概率定义可知:(1)(2)下一页返回3.1二维离散型随机变量为了形象地表示(X,Y)所有可能取值及其相应概率，我们用下面表格列出(X,Y)的联合分布，称为(X,Y)的联合分布律:上一页下一页返回3.1二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量的边缘分布定义3在二维随机变量(X,Y)中，若(X,Y)的联合分布由式(3.1)给出，若只考虑分量X(或Y)的分布律，则记分别称为(X,Y)关于X与Y的边缘分布律.关于X的边缘分布律可表示为:上一页下一页返回3.1二维离散型随机变量关于Y的边缘分布律可表示为:上一页返回3.2二维连续型随机变量一、二维随机变量的分布函数定义1设(X,Y)是二维随机变量，对任意实数x，y，二元函数称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数(简称(X,Y)的分布函数).二、(X,Y)的分布函数的性质(1)如果将(X,Y)视为平面上随机点的坐标，则F(x，y)在点(x，y)处的函数值即为点(x，y)落入图3-3中阴影部分的概率，故0≤F(X,Y)≤1.并且下一页返回3.2二维连续型随机变量(2)如果(X,Y)落入图3一4矩形域,则

(3)F(x，y)关于二或y均为单调非减函数，即对固定的y，若x1≤x2则F(x1，y)≤F(x2，y);对固定的x，若y1<y2,则

(4)F(x，y)关于x或y均为右连续，即

上一页下一页返回3.2二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量的密度函数定义2设(X,Y)为二维随机变量，若存在一个非负可积二元函数f(x，y)，使得对任意实数x，y，其分布函数F(x，y)=则称(X,Y)是二维连续型随机变量，f(x，y)称为(X,Y)的概率密度函数(简称密度函数).根据定义可知:(1)f(x，y)≥0(2)上一页下一页返回3.2二维连续型随机变量四、二维连续型随机变量的边缘分布函数和边缘密度函数对于二维连续型随机变量(X,Y)，若只考虑一个随机变量X(或Y)，其分布函数称为(X,Y)关于X(或Y)的边缘分布函数.显然，边缘分布函数与联合分布函数有如下关系:若在(X,Y)的联合分布函数F(x，y)中，令x→+∞(或y→~+∞)即可得到(X,Y)关于X或Y的边缘分布函数FY(y)(或fx(x)，这表明由联合分布函数可以求得边缘分布函数，即上一页下一页返回3.2二维连续型随机变量上式表明，X是连续型随机变量，其密度函数为同理，Y是连续型随机变量，其密度函数为fx(x)(或fY(y)分别称为(X,Y)关于X(或Y)的边缘密度函数上一页返回3.3二维随机变量的独立性一般情况下，随机变量X与Y之间存在着某种联系，因而，一个随机变量的取值可能会影响到另一个随机变量取值.那么，在何种情况下，随机变量X与Y之间没有任何影响，即所谓的相互“独立”，为此本节引出两个随机变量相互独立的概念.定义设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数及边缘分布函数分别为F(x，y)，Fx(x)，FY(y)，若对任意实数有即则称随机变量X,Y相互独立.注(1)若(X,Y)为离散型随机变量，则X,Y相互独立的条件(3.5）等价于:对于(X,Y)所有可能取值(xi，yi)有即下一页返回3.3二维随机变量的独立性(2)若(X,Y)为淬续型随机变量，并设f(x,y)和fx(x),fy(y)分别为(X,Y)的概率密度函数和关于X,Y的功缘密度函数，则X,Y相互独立的条件(3.5)等价干等式f(x,y)=fx(x)·fy(y)几乎处处成立议里“几乎处处”的含义是:在平面下除去面积为零的集合.上一页返回3.4随机变量函数的分布一、Z=X+Y的分布设(X,Y)为二维连续型随机变量，它的联合密度函数为f(x，y)，则Z=X+Y仍然为连续型随机变量，密度函数为或者注:若X,Y相互独立，设(X,Y)关干X,Y的功缘密度函数分别fx(x),fy(y)，则式(3.8)、式(3.9)分别化为这两个公式称为卷积公式.下一页返回3.4随机变量函数的分布二、M=max{X,Y}及N=min{X,Y}的分布设X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为Fx(x)fy(y)，我们来求M=max{X,Y}及M=min{X,Y}的分布函数.由于M=max{X,Y}不大于z等价于X和Y都不大于z，故有又由于X和Y相互独立，于是得到M=max(X,Y)的分布函数为即有上一页下一页返回3.4随