2026年管理运筹学理论试题及答案

2026年管理运筹学理论试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.下列关于线性规划标准形特征的说法，错误的是？A.目标函数为最大化或最小化B.所有约束条件均为等式C.所有决策变量均非负D.所有右端项常数均非负2.若线性规划原问题（最大化）存在可行解，但目标函数无上界，则其对偶问题的解的情况为？A.存在唯一最优解B.有无穷多最优解C.无可行解D.无法确定3.设运输问题的产地数为m，销地数为n，则其基可行解中基变量的个数为？A.mB.mC.mD.m4.下列关于整数规划的说法，正确的是？A.整数规划的最优解可通过对其松弛问题的最优解直接取整得到B.分支定界法只能求解纯整数规划，不能求解混合整数规划C.割平面法的核心是增加约束切割掉松弛问题的非整数最优解D.0-1规划的变量只能取0或1，因此不能用隐枚举法求解5.动态规划求解多阶段决策问题的核心理论依据是？A.对偶理论B.最优化原理C.互补松弛定理D.贝叶斯定理6.在排队论的M/M/1模型中，若平均到达率为λ，平均服务率为μ（A.λB.λC.μD.λ7.确定型存储论的基本经济订货批量（EOQ）模型中，未包含下列哪项成本假设？A.每次订货的固定成本B.单位库存持有成本C.缺货成本D.单位货物购置成本8.网络计划技术中，关键路径是指？A.从起点节点到终点节点的最短路径B.从起点节点到终点节点的最长路径C.包含节点数最多的路径D.包含工序数最多的路径9.在不确定型决策中，对未来自然状态持悲观态度的决策者通常采用的决策准则是？A.大中取大准则B.小中取大准则C.最小遗憾值准则D.等概率准则10.对于二人有限零和对策，下列说法一定正确的是？A.不存在纯策略纳什均衡B.至少存在一个混合策略纳什均衡C.纯策略纳什均衡至少有一个D.混合策略纳什均衡不存在二、判断题（每题1分，共10分）1.线性规划问题的每一个基可行解都对应可行域的一个顶点。2.若线性规划原问题有最优解，则其对偶问题也一定有最优解，且两者的最优目标函数值相等。3.用表上作业法求解最小化运输问题时，若所有非基变量的检验数均非负，则当前解为最优解。4.整数规划的可行解集合是其松弛问题可行解集合的子集。5.动态规划只能求解有限阶段的决策问题，无法处理无限阶段问题。6.在M/M/7.经济订货批量模型中，订货批量越大，总订货成本越高，总持有成本越低。8.当网络计划的计划工期等于计算工期时，关键线路上所有工序的总时差均为零。9.风险型决策的自然状态发生概率是完全未知的。10.二人零和对策中若存在多个纯策略纳什均衡，则所有均衡的收益值一定相等。三、简答题（每题5分，共15分）1.简述单纯形法求解线性规划问题的基本步骤。2.简述对偶理论中互补松弛定理的核心内容。3.简述动态规划最优化原理的内容，并说明动态规划适用问题的基本特征。四、线性规划与对偶分析题（共20分）1.已知某线性规划原问题为：$$\begin{aligned}

\max\z&=3x_1+4x_2+5x_3\\

\text{s.t.}\quad&x_1+2x_2+x_3\leq10\\

&2x_1+x_2+3x_3\leq15\\

&x_1,x_2,x_3\geq0

\end{aligned}$$要求：(1)写出该问题的对偶线性规划模型；（6分）(2)若已知原问题的最优解为X*=((3)若原问题中决策变量x1的目标系数c答案：(1)对偶线性规划模型：根据原问题与对偶问题的对应关系（max对应min，≤约束对应≥变量，变量≥0对应≥约束），对偶问题为：$$\begin{aligned}

\min\w&=10y_1+15y_2\\

\text{s.t.}\quad&y_1+2y_2\geq3\\

&2y_1+y_2\geq4\\

&y_1+3y_2\geq5\\

&y_1,y_2\geq0

\end{aligned}$$（评分：目标函数正确得2分，三个约束各得1分，变量非负约束得1分）(2)用互补松弛定理求解对偶最优解：互补松弛定理核心：若X*和Y已知原最优解X*=(0,$$\begin{cases}

2y_1+y_2=4\\

y_1+3y_2=5

\end{cases}

$$（3分）

解方程组：将第一个方程乘以3得$6y_1+3y_2=12$，减去第二个方程得$5y_1=7$，即$y_1=\frac{7}{5}=1.4$；代入第一个方程得$2\times\frac{7}{5}+y_2=4$，解得$y_2=\frac{6}{5}=1.2$。（2分）

验证：①对偶约束1：$y_1+2y_2=1.4+2.4=3.8\geq3$，满足约束，且为松约束，对应原变量$x_1^*=0$，符合互补松弛；②原问题两个约束代入$X^*$均取等号（紧约束），对应$y_1>0,y_2>0$，符合互补松弛。因此对偶最优解为$Y^*=(\frac{7}{5},\frac{6}{5})^T$，最优目标函数值$w^*=32$，与原问题一致。（2分）

(3)最优解会发生变化。（1分）

理由：原问题中$x_1$为非基变量，其检验数为$\sigma_1=c_1-z_1$，其中$z_1$为对偶变量与对应约束系数的乘积和，即$z_1=y_1a_{11}+y_2a_{21}=1.4\times1+1.2\times2=3.8$。原检验数$\sigma_1=3-3.8=-0.8<0$，满足最优性条件。当$c_1$提高到5时，新的检验数$\sigma_1'=5-3.8=1.2>0$，不满足最优性，因此最优解会发生变化，$x_1$将成为进基变量。（3分）

##五、运输问题建模与求解（共15分）

1.某公司有3个产地A1、A2、A3，4个实际销地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销量及单位运价如下表所示（单位：元/吨）：

|产地\销地|B1|B2|B3|B4|产量（吨）|

|:--------|:-:|:-:|:-:|:-:|:--------:|

|A1|3|11|3|10|7|

|A2|1|9|2|8|4|

|A3|7|4|10|5|9|

|销量（吨）|3|6|5|5|-|

要求：

(1)判断该运输问题是否为供需平衡问题，若不平衡请转化为平衡问题，并写出平衡后的供需与运价表；（4分）

(2)用最小元素法求解该平衡问题的初始基可行解；（6分）

(3)用位势法计算初始解中A2→B2格的检验数（仅需计算该格，无需判断解的最优性）。（5分）

**答案**：

(1)供需平衡判断与转化：

总产量=$7+4+9=20$吨，总销量=$3+6+5+5=19$吨，总产量>总销量，属于供大于求的不平衡运输问题。（2分）

转化方法：增设1个虚拟销地B5，其销量为$20-19=1$吨，各产地到虚拟销地的单位运价为0（表示产地库存，无运输成本）。转化后的平衡运输问题表如下：

|产地\销地|B1|B2|B3|B4|B5（虚拟）|产量（吨）|

|:--------|:-:|:-:|:-:|:-:|:--------:|:--------:|

|A1|3|11|3|10|0|7|

|A2|1|9|2|8|0|4|

|A3|7|4|10|5|0|9|

|销量（吨）|3|6|5|5|1|20|

（2分，虚拟销地设置正确得1分，运价与销量正确得1分）

(2)最小元素法求初始基可行解：

最小元素法规则：优先选择单位运价最低的格子分配运量，尽可能满足供需，某行产量耗尽或某列销量满足则划去对应行/列，重复至所有供需满足。

步骤（注：虚拟销地亚选择不唯一，步骤正确即可）：

①初始状态最低运价为0（B5列），选择A1→B5格，分配$\min(7,1)=1$吨。A1剩余产量6吨，B5销量满足，划去B5列。

②剩余格子最低运价为1（A2→B1），分配$\min(4,3)=3$吨。A2剩余产量1吨，B1销量满足，划去B1列。

③剩余格子最低运价为2（A2→B3），分配$\min(1,5)=1$吨。A2产量耗尽，划去A2行，B3剩余销量4吨。

④剩余格子最低运价为3（A1→B3），分配$\min(6,4)=4$吨。B3销量满足，划去B3列，A1剩余产量2吨。

⑤剩余格子最低运价为4（A3→B2），分配$\min(9,6)=6$吨。B2销量满足，划去B2列，A3剩余产量3吨。

⑥剩余格子最低运价为5（A3→B4），分配$\min(3,5)=3$吨。A3产量耗尽，划去A3行，B4剩余销量2吨。

⑦仅剩A1行与B4列，分配剩余运量2吨，供需全部满足。

（4分，步骤逻辑正确得4分，错误酌情扣分）

初始基可行解运量为：$x_{13}=4,x_{14}=2,x_{15}=1,x_{21}=3,x_{23}=1,x_{32}=6,x_{34}=3$，共$3+5-1=7$个基变量，符合运输问题基变量个数要求，无退化。初始解总运费为76元。

（2分，基变量个数与运量正确得2分）

(3)位势法计算A2→B2格检验数：

位势法规则：设第$i$行行位势为$u_i$，第$j$列列位势为$v_j$，基变量格满足$c_{ij}=u_i+v_j$，非基变量检验数为$\sigma_{ij}=c_{ij}-(u_i+v_j)$。（1分）

根据基变量格列方程：$$\begin{cases}u1+v3=3\\u1+v4=10\\u1+v5=0\\u2+v1=1\\u2+v3=2\\u3+v2=4\\u3+v4=5\end{cases}$$（1分）

令$u_1=0$（行位势可任意赋值，简化计算），解得：

$v_3=3,v_4=10,v_5=0,u_2=2-v_3=-1,v_1=1-u_2=2,u_3=5-v_4=-5,v_2=4-u_3=9$。（2分）

因此A2→B2格的检验数：

$\sigma_{22}=c_{22}-(u_2+v_2)=9-(-1+9)=1$。（1分）

##六、决策分析计算题（共20分）

1.某企业计划开发一款新产品，有三种生产方案：大批量生产（S1）、中批量生产（S2）、小批量生产（S3）。产品的市场需求分为高需求（N1）、中需求（N2）、低需求（N3）三种自然状态，各方案在不同自然状态下的收益如下表所示（单位：万元）：

|方案\自然状态|N1（高需求）|N2（中需求）|N3（低需求）|

|:------------|:----------:|:----------:|:----------:|

|S1（大批量）|100|40|-20|

|S2（中批量）|70|50|10|

|S3（小批量）|40|30|20|

要求：

(1)若无法估计各自然状态的发生概率，分别用大中取大准则、小中取大准则、最小遗憾值准则给出最优方案；（10分）

(2)若市场调研显示三种自然状态的发生概率分别为$P(N1)=0.3$，$P(N2)=0.5$，$P(N3)=0.2$，用期望收益准则给出最优方案及对应期望收益；（6分）

(3)若企业可购买完全市场信息（即提前知晓准确的市场需求状态），计算完全信息的价值（EVPI）。（4分）

**答案**：

(1)不确定型决策分析：

①大中取大准则（乐观准则）：

先取各方案的最大收益，再选最大值对应的方案。

S1最大收益：$\max(100,40,-20)=100$万元

S2最大收益：$\max(70,50,10)=70$万元

S3最大收益：$\max(40,30,20)=40$万元

最大值为100万元，最优方案为S1（大批量生产）。（3分）

②小中取大准则（悲观准则）：

先取各方案的最小收益，再选最大值对应的方案。

S1最小收益：$\min(100,40,-20)=-20$万元

S2最小收益：$\min(70,50,10)=10$万元

S3最小收益：$\min(40,30,20)=20$万元

最大值为20万元，最优方案为S3（小批量生产）。（3分）

③最小遗憾值准则（萨维奇准则）：

先计算各自然状态下的最大收益，再构造遗憾值矩阵（状态最大收益-方案收益）；取各方案的最大遗憾值，选最小值对应的方案。

各状态最大收益：N1为100万元，N2为50万元，N3为20万元。

遗憾值矩阵如下：

|方案|N1遗憾值|N2遗憾值|N3遗憾值|最大遗憾值|

|:---|:-------:|:-------:|:-------:|:--------:|

|S1|0|10|40|40|

|S2|30|0|10|30|

|S3|60|20|0|60|

各方案最大遗憾值的最小值为30万元，最优方案为S2（中批量生产）。（4分，遗憾值矩阵正确得2分，结论正确得2分）

(2)期望收益准则决策：

各方案期望收益为各状态收益乘以概率的和：

$E(S1)=100\times0.3+40\times0.5+(-20)\times0.2=30+20-4=46$万元

$E(S2)=70\times0.3+50\times0.5+10\times0.2=21+25+2=48$万元

$E(S3)=40\times0.3+30\times0.5+20\times0.2=12+15+4=31$万元

（4分，计算正确得4分）

最大期望收益为48万元，因此最优方案为S2（中批量生产），期望收益为48万元。（2分）

(3)完全信息价值（EVPI）计算：

完全信息价值=完全信息下的期望收益（EPPI）-无信息时的最大期望收益（EMV*）。

完全信息下，决策者可根据已知状态选择最优方案：N1选S1（收益100万元），N2选S2（收益50万元），N3选S3（收益20万元）。

因此完全信息期望收益$EPPI=100\times0.3+50\times0.5+20\times0.2=30+25+4=59$万元。（2分）

无信息时最大期望收益$EMV^*=48$万元（第(2)问结果）。

完全信息价值$EVPI=59-48=11$万元。（2分）$$参考答案与解析一、单项选择题1.答案：A解析：线性规划标准形要求目标函数为统一的极值方向（通常规定为最大化），而非可选的“或”关系，因此A选项错误。其余选项均为标准形的必备特征。2.答案：C解析：根据弱对偶定理的推论，若原问题（最大化）可行且目标函数无界，则对偶问题无可行解；反之对偶问题（最小化）可行且目标函数无下界时，原问题无可行解。3.答案：B解析：运输问题的约束方程共有m+n个，但存在1个冗余约束（总产量等于总销量），因此系数矩阵的秩为4.答案：C解析：A选项错误，取整后的解可能不可行，也可能不是最优解；B选项错误，分支定界法可同时适用于纯整数规划和混合整数规划；D选项错误，隐枚举法是求解0-1规划的常用方法。5.答案：B6.答案：A解析：Ls为系统平均顾客数（含正在服务的顾客），公式为λμ−7.答案：C解析：基本EOQ模型的核心假设之一是不允许缺货，因此模型中不考虑缺货成本。8.答案：B解析：关键路径的长度决定项目的总工期，是从起点到终点的所有路径中持续时间最长的路径。9.答案：B10.答案：B解析：根据纳什定理，任何有限对策都至少存在一个混合策略纳什均衡，纯策略均衡是混合策略的特例。A、C、D选项的“一定”表述过于绝对。二、判断题1.答案：正确2.答案：正确解析：该结论为强对偶定理的核心内容。3.答案：正确解析：最小化问题中，检验数非负说明调整非基变量进基会使目标函数上升，因此当前解为最优。4.答案：正确5.答案：错误解析：动态规划可通过引入折扣因子、平均收益等方法求解无限阶段决策问题。6.答案