湖北省云学联盟2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省云学联盟2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则的公比是（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】由题意可知数列的公比.2.定义在R上的函数，若，则（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】已知，由导数的定义可以知道，设，当时，.且所以.3.已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（）A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定【答案】B【解析】点在圆内，，圆心到直线距离，直线与圆相离.故选：B.4.记正项等比数列的前项积为，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为数列是正项等比数列，且，所以，所以.所以.5.如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为为的重心，所以，又是的中点，所以.所以.6.若函数，数列中；，则（）A.256 B. C.400 D.441【答案】C【解析】由已知得，因，所以.7.已知过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，点是双曲线的左焦点，若，则双曲线的渐近线方程是（）A B. C. D.【答案】A【解析】由题意得在双曲线左支上，则，因为，则，且，则，，因为，则，即，整理得，即，在双曲线中有，即，联立，整理得，即，所以双曲线渐近线方程为.8.对于实数x，表示不小于x的最小整数，如．定义函数，当时，函数的值域为，记集合中的元素个数为，数列的前n项和为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当，根据函数定义，应含有个整数元素，即，又，由累加法可得，则，所以，则．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一动点，则（）A.椭圆的离心率 B.面积的最大值为2C.存在4个点，使得 D.的最小值为1【答案】ABD【解析】对于A，由椭圆方程知：，所以，所以，故A正确；对于B，如图所示：由图可知当点在上顶点或下顶点时，的面积最大，最大值为，故B正确；对于C，由知，所以在以为直径的圆上，该圆的圆心为，半径为，所以该圆的方程为：，联立，解得：或，所以满足条件的点只有2个，故C不正确；对于D，令，由椭圆的定义知：，且，所以，因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为1，故D正确.10.在棱长为2的正方体中，是的中点，是线段上的动点，且，则（）A.当时， B.的最小值为C.的最小值为 D.当四点共面时，【答案】AC【解析】由题意知，以为坐标原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，设，，因为在上，且，所以，所以，即，对于A，当时，，此时，由，所以，即，故A正确；对于B，由,，当时，，所以的最小值为，故B错误；选项C，由，,所以，所以，由，当时，，所以的最小值为，所以的最小值为，故C正确；对于D，由，若四点共面，则可以由线性表示，即存在有序实数对，使得，即，所以有，故D错误.11.正项数列中，，若的前n项和为，且，则下列命题正确的是（）A. B.C.数列单调递增 D.【答案】ACD【解析】当时，，则，整理得，所以数列是公差为1的等差数列，代入，，其中，解得，故，因为也满足，故进而．当时，，又也满足，则．，由函数的单调性可得数列单调递减；所以，故A正确，B错误；，数列，单调递增，C正确；由可得，，故D正确；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将1到2026这2026个数中，能被3除余1且被5除余2数从小到大排成一列构成数列，则________．【答案】52【解析】根据题意可得，满足“被除余”的正整数为满足“被除余”的数为,故同时满足这两个条件的整数是，所以.13.已知点，动点满足，动点在直线上，则的最小值为________．【答案】1【解析】设，因为，即，整理可得，可知动点N的轨迹是以为圆心，半径的圆，则点到直线的距离，可知直线与圆相离，设动点N到直线的距离为，则，所以的最小值为1.14.数列的前n项和为，且满足，若，，则______．【答案】4052【解析】由可得，作差可得，整理得，用代换n可得，再次作差，，所以，即是等差数列．又，，由为奇函数且单调递增，可知，即，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若P是曲线上一动点，求在P处的切线l的倾斜角的取值范围．解：（1）方法一：由导数的定义及几何意义可得，．方法二：，则.所以在处的切线方程为，整理得.（2）设，在P处的切线斜率为，即，由斜率，，且得，.16.已知数列的前n项和．（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，求．解：（1）当时，；当时，，则．经检验，当时也满足该式．综上，（2）由题意知，数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列，分组求和可得．17.如图，圆锥中，底面圆O的直径AB长为4，C是圆O上异于A，B的一点．设二面角与二面角的大小分别为与，且．（1）N是劣弧的中点，证明：．（2）求圆锥的高OP；（3）若，求二面角的余弦值．（1）证明：由题意可得，平面ABC，且平面，所以；又N是劣弧的中点，则，，平面，所以平面PON，又平面PON，则（2）解：分别取AC，BC的中点M，Q，由，则．连接OM，OQ，，，由平面ABC，且平面，平面，所以．又AB是底面圆O的直径，则．则.在与中，．由得整理得，则．（3）证明：因为，即，所以，即．．因为，，，所以两两垂直，以点O为坐标原点，ON，OM，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则．所以．设平面PAC的法向量为，则，即，不妨取，则，此时设平面PBC的法向量为，则，即，不妨取，则，此时．所以，所以二面角的余弦值为.18.已知正项数列的前n项和为，且，正项数列满足．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求的前n项和；（3）记，求数列的前n项和为．解：（1）由题意可得，又为正项数列，，所以，所以．当时，；当时，，显然时也满足上式，综上可得.由得，当时，，所以，则，又，则，也满足上式，故（2）由（1）可得，．所以，则，作差得，所以（3）由（1）可得，所以．19.已知点，圆，P为圆上的一个动点，线段PD的中垂线与PC交于点Q，当点P在圆上运动时，记点Q的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）若过定点且斜率存在的直线l与曲线交于A，B两点，试探究：①在y轴上是否存在定点M，使得直线MA，MB的斜率之积为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．②若N为平面内一动点，直线NA，NT，NB斜率的倒数成等差数列，则点N是否在某定直线上？若存在，求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意可得，，则，故点Q的轨迹为椭圆，且，所以，则曲线的方程为；（2）①设直线l的方程为，点．