湖北武汉市5G联合体2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北武汉市5G联合体2025-2026学年高一下学期期中数学试卷一、单选题1.已知复数，其中为虚数单位，则复数z的模为（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】由于，故每四个连续的项之和为0，，则，由于，故，所以.2.如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的周长为（）A.18 B. C. D.30【答案】D【解析】矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，将直观图还原为原图，如图，在直观图中，，则，所以在原图中，可得，，所以，因为，所以原四边形的周长为．3.若则＝（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以，则，因为，所以，解得，又，所以，所以．4.已知均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，所以，若时，则反向共线，则，则充分性不成立，若，则反向共线，则，此时，即必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件．5.在三角形中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】C【解析】由正弦定理可得，对于A，，，，有，∴，∴，故三角形有唯一解．对于B，，，，因为为钝角，要构成三角形必须满足，与题中条件不符，故三角形无解．对于C，，，，有，∴，又，故，故可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有两个解．对于D，，，，有，∴>1，故三角形无解．6.如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的．现用一竖直的平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A，用竖直的平面截正方体，该平面过球心，且过正方体四个面的中心，即可得到截面图形A，如图；对于B，用竖直的平面截正方体，该平面为正方体的对角面，过球心，及正方体两个侧面的对角线的中心，即可得到截面图形B；对于CD，用竖直的平面截正方体，该平面过正方体一个侧面的中心，如图，切点在截面的边CD的中点处，且CD为长方形中较短的线段，即可得到D.故选：C.7.在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，由余弦定理==，故为钝角；又，故点在底边的高线上，以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示：又=，则=，故==，==；则，设，所以，故，当且仅当时取得等号，也即的最小值为.8.已知函数．若函数在上没有零点，则的取值范围是（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】函数，，，函数在上没有零点，，解得，令得；令得；当或时，均无解；的取值范围是.二、多选题9.下列说法中，错误的是（

）A.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥B.以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台D.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱【答案】BCD【解析】A，当棱锥的各个侧面的顶角之和是360度时，各侧面构成平面图形，构不成棱锥，由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥，正确；B，以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周得到的旋转体才是圆台，错误；C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，所得棱锥底面和截面之间的部分所围成的几何体才是棱台，错误.D，棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱，错误；10.已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.的图象关于点对称C.若将的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数，则的最小值是D.若方程在上有且仅有一个实数根，则的取值范围是【答案】AB【解析】由函数图象可得，且，解得，故A正确；所以，又，所以，即，又，所以，所以，B：当时，，所以的图象关于点对称，故B正确；C：将向右平移个单位得到函数，因为是奇函数，所以，所以，，所以时，正数取得最小值，故C错误；D：当时，，令，解得，所以在上单调递增，令，解得，所以在上单调递减，又，故方程在上有且只有一个实数根时，则的取值范围是，故D错误．11.如图，直线与的边分别相交于点，设,，则（

）A.若，则B.C.D.若，则为钝角三角形【答案】ACD【解析】对于A，，A正确；对于B、C，因为，所以，即，故，即，所以，B错误，C正确，对于D，，，，，，，，只有一个小于0，所以是钝角三角形，D正确.三、填空题12.我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长一丈六尺，围之六尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长1丈6尺，圆周为6尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长_________尺”.（注：丈等于尺）【答案】20【解析】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，且为圆木的高且为16尺，因为葛藤绕圆木两周，故将圆柱侧面展开两次，则长为圆木底面周长的两倍即为12尺，所以，，即葛藤最少长为20尺.13.已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为___________.【答案】【解析】由，得⇔，依题意，不等式对任意实数恒成立，则，解得，而，则，又，函数在上单调递减，因此，所以向量，的夹角的取值范围为.14.已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为____.【答案】【解析】令，则原函数可化为，∴，的最小正周期为，作出在上的函数图象，如图1，∴在上的函数图象如图2，由得，，的最小正周期为，故在的图象如图3，如图，当点为一个周期内的最高点和最低点时，的长度最小，此时，∵，∴，即，解得.四、解答题15.已知复数，且，其中为虚数单位，是的共轭复数．（1）求复数z；（2）已知复平面上的四个点构成平行四边形，复数在复平面内对应的点分别为，求点D对应的复数．解：（1），则，所以，则，得，所以；（2）由（1），得，则在复平面内对应的点为点，，则在复平面内对应的点为点，，则在复平面内对应的点为点，平行四边形满足，设，有，所以，故对应的复数为.16.东湖之眼”是武汉东湖磨山景区的标志性文旅地标，以樱花粉座舱、13分14秒旋转一周的“一生一世”浪漫寓意成为城市网红打卡点，其面朝东湖、背靠磨山，乘坐时可360度俯瞰东湖万顷湖光与磨山翠色，是兼具颜值与观景价值的城市名片.该摩天轮转轮半径为25米，座舱最低点距离地面5米，以恒定速度旋转.某游客从摩天轮最低点处登上座舱，同时开始计时（记）.（1）求游客乘坐过程中离地面的高度（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数解析式；（2）摩天轮转动一周的过程中，当游客离地面高度高于42.5米时，为观景视线最佳时段，求该最佳时段的持续时间（结果精确到0.1秒）.解：（1）由题设，摩天轮转一周的周期秒，则角速度，由摩天轮半径米，座舱最低点距离地面5米，则摩天轮的圆心距离地面米，某游客从摩天轮最低点处登上座舱，同时开始计时（记），则且；（3）令，即，而，则，故，即，所以秒.17.已知，（1）先化简，再求的值；（2）已知，求的值；（3）若已知，且，求的值.解：（1）因为，且，所以；（2）因为，所以，解得，所以；（3）因为，可得，即，所以，因为，所以，，又，所以，所以，所以，解得（负值已舍去）.18.设的内角所对的边分别为，且满足，．（1）求A；（2）若，求中线的长；（3）若的内切圆半径，求的面积S.解：（1）由，可得.，，又，则，，又，（2）在中，，则，在中，有，即，在中，有，即，又，则，得，解得，得；（3）由，，即，由余弦定理得，得，，即，解得或（舍），所以.19.设是平面内相交成的两条射线，分别是与同向的单位向量，定义平面坐标系为斜坐标系，在斜坐标系中，若，则记.（1）在斜坐标系中①