浙江省杭州市2026届高三下学期二模教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省杭州市2026届高三下学期二模教学质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（）A.3 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】将数据从小到大排列：2，3，3，5，6，7，8，10，因为，不是整数，所以该组数据的第70百分位数为第6个数字，即7.2.若（i为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,所以,.3.设，若，则（）A.且 B.且C.且 D.且【答案】B【解析】函数，由题意可知，，恒成立，则且.4.我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用“长×宽”表示），其中长与宽之比均为3:2.规格一号二号三号四号五号尺寸（单位：cm）288×192240×160192×128144×9696×64根据上表，可以判断五种规格国旗的（）A.周长构成等差数列 B.周长构成等比数列C.面积构成等差数列 D.面积构成等比数列【答案】A【解析】由题意得规格一号二号三号四号五号尺寸288×192240×160192×128144×9696×64周长960800640480320面积552963840024576138246144则，故周长构成等差数列.，故周长不构成等比数列，，故面积不构成等差数列，，故面积不构成等比数列.5.设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】由题意得，则直线过定点，圆心为，半径，点到圆心的距离，所以直线与圆相交于M，N两点，且与垂直时，最小，此时，且，则.6.设函数的图象关于直线对称，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据辅助角公式，则的图象关于直线对称，即，解得，因为，所以当时，符合题意．7.已知向量，满足，，设，且，则的最小值为（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】由题意得，则，代入，得，所以当时，取最小值.8.设椭圆C：，点和均为椭圆C的顶点，点M，N在椭圆C上.若，则四边形面积的最大值为（）A. B.4 C. D.2【答案】B【解析】由和可得，所以椭圆方程为，因直线的斜率为，可得其方程为，又因，故可设直线的方程为，将其与联立消去，可得，由解得，由韦达定理得，所以，由可知四边形为梯形，而直线的方程即，则梯形的高也即点到直线的距离为，故梯形的面积为，由图知面积最大值不在时（此时在上方）取得，故只需考虑，令，则，则，则，再令，则，，故，故当时，取得最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，，，，则（）A. B.的面积为6C. D.【答案】BC【解析】由余弦定理得，解得，因为，所以为直角三角形，，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.10.已知函数，则（）A.，是增函数B.，是奇函数C.若有三个不同的零点，，，则D.过点且与曲线相切的直线恰有3条，则【答案】ACD【解析】已知，则.选项A：若是增函数，只需，只需即可，所以.所以，是增函数，故A正确.选项B：，，则，故不是奇函数，故B错误.选项C：若有三个不同的零点，，，则有3个根.其中一个零点为，另外两个零点为的两个根，，则.所以，故C正确.选项D：设切点为，，所以切线方程为.又切线过，所以，即.切线恰有3条，等价于有3个不同的实数解，即函数与直线有3个交点..令，即，解得或.当时，，当时，，所以在、上单调递减，在上单调递增，所以极小值为，极大值为，所以当时，与有3个交点.所以当时，过点且与曲线相切的直线恰有3条，故D正确.11.选取正方体表面上两个不同的点P，Q，定义第k次操作为“将正方体绕直线旋转角”.则经过下列操作，正方体可能与自身重合的有（）A.，B.，，C.，D.，，【答案】ABD【解析】要使正方体经过旋转后能与自身重合，旋转轴必须是正方体的对称轴，且总旋转角度必须是该对称轴对应的基本对称角度（即满足重合的最小旋转角度）的整数倍，正方体有三类旋转对称轴：面心轴（连接相对两个面的中心），基本对称角度为；体对角线轴（连接相对两个顶点），如图：正方体绕旋转后重合，故基本对称角度为；棱心轴（连接相对两条棱的中点），基本对称角度为，由于点是在表面上选取的，只要连线经过正方体中心，就可以成为上述三种对称轴之一，因为所有的操作都是绕同一条直线进行的，所以最终的总旋转角度就是各次角度之和，对于A，总角度可以为，A正确；对于B，总角度可以为，B正确；对于C，总角度为或，均不是的整数倍，C错误；对于D，总角度可以为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设函数，则______.【答案】2【解析】因为，所以.13.已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且.若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为______.【答案】【解析】设在轴上方，由双曲线的对称性可知，又因为即为直角三角形，所以，又根据直线的斜率为得到，所以为正三角形，有，连接与左焦点，由可得为直角三角形且，由双曲线定义可知，，所以双曲线的离心率为.14.一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______.【答案】82【解析】①②同色时，矩形A另外两边有种方法染色，①②不同色时，矩形A另外两边有种方法染色，同理其他区域也一样，则（1）①②③④四边同色，此时共有种；（2）当①②③④只有三边同色，另一边与其不同色时，此时共有种，（3）当①②③④每两个同色时，此时共有种，综上，共有种．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.设公比为q的等比数列的前n项和为，且.（1）求q和;（2）求.解：（1）设数列公比为，那么当时,,又,所以,,当时,两式相减得,即,所以，,，解得;（2）由(1)得.16.如图，正四棱锥的所有棱长均为2，点M是棱的中点.（1）证明：平面；（2）设点Q在棱上，求平面与平面所成角的余弦值的最大值.（1）证明：因为的所有棱长相等，点是棱的中点，所以，，又因为，平面，所以平面.（2）解：以为坐标原点，所在直线为轴，以过点且垂直于底面的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，设，由（1）知平面，则为平面的法向量.则，，设平面的法向量为，则，可取，记平面与平面所成角为，则.当时，取到最大值.17.某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）：等待时间频数2014106（1）估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数.（i）证明：对于任意的，有；（ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值.（1）解：平均时间.（2）（i）证明：由题意知，，分别记已经等待s分钟和已经等待分钟为事件A和事件B，则.所以对于任意的，有.（ii）解：由（i）知，，，所以费用的期望是（元）.18.已知抛物线：的焦点为F，顶点为，点在上.（1）求的方程；（2）已知点在上，过M且斜率为2的直线交于点Q，令.（i）求点P的坐标（用t表示）；（ii）设直线与的另一个交点为N，焦点F到直线的距离是否存在最大值?若存在求其最大值.若不存在，请说明理由.解：（1）将点代入得，所以：.（2）（i）过M点斜率为2的直线，直线方程，由得，可得，设，由得，即，解得，所以.（ii）因为，所以直线方程为，解方程组，得，所以，直线：，整理得，因此直线过定点.又，所以，所以点F到直线的最大距离为.19.（1）已知，证明：；（2）设，若恒成立，求