浙江省舟山市五校联盟2025-2026学年高一下学期4月期中调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省舟山市五校联盟2025-2026学年高一下学期4月期中调研数学试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.化简后等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C.2.如图所示，观察四个几何体，其中判断错误的是（）A.不是棱台 B.不是圆台C.不是棱锥 D.是棱柱【答案】C【解析】对A，根据棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，棱台的上下底面是相似的多边形，且侧棱的延长线交于一点.选项A中的几何体上下底面不相似，所以不是棱台；对B，同理，选项B中的几何体上下也不相似，所以不是圆台；对C，选项C中的几何体符合棱锥定义（有一个多边形底面，其余各面为共顶点的三角形），因此不是棱锥的判断错误；对D，根据棱柱的定义，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.选项D中的几何体符合棱柱的定义，所以是棱柱.3.在中，角的对边分别为，若，，，则（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】在中，因为，，，且，故，由正弦定理可得，又因为，故或.故选：D.4.已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中，真命题是（）A.若，，则与必异面B.若点，点，则直线C.若，，则D.若点，点，则直线与相交【答案】D【解析】对于A，若，，则与平行或相交、或异面，故A为假命题；对于B，若点，点，则直线平面或直线与平面相交，故B为假命题；对于C，若，，则与平行或异面，故C为假命题；对于D，若点，点，则直线与平面相交，故D为真命题；故选：D.5.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，则.故选：B.6.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，，即，由题意得，侧面积，解得，，圆锥的高，圆锥的体积，故选：A．7.设是单位向量，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】是单位向量，.故选D.8.如图，在等腰直角三角形中，，是线段上的点，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则，设，则．据此有：，，则：.据此可知，当时，取得最小值；当或时，取得最大值；的取值范围是.本题选择A选项.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（）A.若是纯虚数，则B.若，则C.若，则D.若，则在复平面内对应点位于第三象限【答案】BCD【解析】A选项，由，若是纯虚数，则，可得，A错；B选项，若，即，可得，B对；C选项，若，则，，故，C对；D选项，若，则，故，对应点坐标为，在复平面内对应点在第三象限，D对.故选：BCD.10.如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（）A.圆锥的母线长为 B.圆锥与圆柱的体积比为1：3C.该几何体的表面积为 D.圆锥侧面展开图的圆心角为【答案】ABD【解析】对于A，由勾股定理得圆锥母线长，A正确；对于B，圆锥的体积为，圆柱的体积为，因此圆锥与圆柱的体积比为，B正确；对于C，该几何体的表面积为，C错误；对于D，设圆锥侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得，圆心角，D正确．故选：ABD.11.点G在所在平面内，下列说法正确的是（）A.若点G为的重心，则B.若则C.若，则为锐角三角形D.若为边长为2的正三角形，点G在线段上运动，【答案】AB【解析】如图所示，当点是的重心时，因为三角形重心为三条中线的交点，所以，同理可得，所以，即，所以A正确.若，则，得，可知，所以，所以B正确；对于C，由，可得，所以，结合正弦定理可得：，所以，则为锐角，无法判断也是锐角，所以不一定为锐角三角形.如图所示，取中点，连接，当为正三角形时，所以点在线段上运动时，在上的投影为，已知正三角形边长为2，则高，，所以D错误

.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是关于的方程的根，则________.【答案】【解析】由题意可知，关于的方程的两个虚根分别为、，由韦达定理可得，解得，，因此，.故答案为：.13.已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为___________．【答案】4【解析】设该正四棱台下底面的边长为，则，解得.故答案为：4.14.如图，在中，，与交于，求__________；设的面积为，的面积为，________【答案】；【解析】①设，，因为三点共线，所以AO=mAB又因为，所以，则，同理，因为三点共线，所以AO=nAC又因为，所以，则，根据平面向量基本定理，可得m=3-3n44-4m所以，则，所以BO=58BD=②延长与交于点，因为三点共线，所以AF=tAB+1-tAC又因为，且，所以存在实数使得，即38所以λt=38λ所以，则，所以S'S=四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设O为坐标原点，，，，（1）求中点坐标（2）求在上的投影向量的坐标（3）与夹角为锐角，求实数的取值范围.解：（1）设，则.由，则，由，则，即，联立，解得：，则，即的坐标为，由于的坐标为，所以中点坐标为.（2）由于，，所以在上的投影向量为.（2）由题可得，，因为与夹角为锐角，则，且与不同向，即，解得：且，即实数的取值范围为.16.在中，内角的对边分别为，，且．（1）求a，A；（2）求的面积及．解：（1）由及余弦定理，得，即，即．由余弦定理，得．又，所以.（2）．法1：由，得．法2：由正弦定理，得．17.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为底面圆上的点，，，是母线的中点.（1）求证：（2）求证：平面（3）求四棱锥的体积及圆锥的表面积.解：（1）连接，因为，，所以且，所以四边形是平行四边形，所以；（2）取中点，连接，因为分别是中点，所以TE//AB,TE=12AB所以，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面；（3）圆锥的高SO=SA因为是母线的中点，所以四棱锥的高为12SO=6，取中点，连接，OM=OC2-C所以SABCD四棱锥的体积为VE-ABCD=圆锥的表面积为π×5×SA+π18.已知在复平面内，复数所对应的点分别为，.为坐标原点，是虚数单位.（1）若，求与；（2）向量，对应的复数分别为，，若，求实数；（3）已知复数满足，求的最值.解：（1）若，则，由于对应向量，对应向量，所以；（2）由于，所以，，则，则，化简可得：，解得：或；（3）设，则，由，可得：，化简得：，所以或，由于，当时，，且，所以，所以时，，当时，，当时，，且，所以，所以时，，当时，，综上，的最大值为，最小值为19.如图，在中，是上的一点，是的中点，过点的直线与边，分别相交于点，.设，,（1）若，，求的值.（2）在（1）的条件下，求的最小值.（3）若是边长为的等边三角形，且点为的中点，求的最小值.解：（1）∵BD=2DC为中点，，，.（2）由（1）得：，三点共线，，∴