黑龙江省牡丹江市名校协作体2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省牡丹江市名校协作体2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数在其定义域上单调递增，，，．根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，故选：B．2.下列说法正确的是（）A.向量与向量是相等向量B.若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合C.与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系D.向量的模是一个非负实数【答案】D【解析】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确；对于B，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，若两个共线向量中含有零向量时，零向量所在直线不确定，故B错误；对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此C不正确；对于D，向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，因此D正确.故选：D.3.“”是“函数的图象关于点对称”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】正切函数的对称中心为，，令，解得，所以函数的对称中心为.所以“”是“函数的图象关于点对称”的充要条件.故选：C．4.下列命题中正确的是（）A.函数的定义域是B.第一象限的角必是锐角C.若，则与的终边相同D.不是周期函数．【答案】D【解析】由正切函数的定义可知函数的定义域为，时正切函数是有意义的，，故A错误；380°是第一象限角，但不是锐角，故B错误；60°和120°的正弦值相等，但终边不相同，故C错误；假若函数是周期函数，存在，使得对于任意实数恒成立，当时,由正弦函数的周期性得，，但,,，所以函数不是周期函数，故D正确.故选：D.5.已知,则的值为（）A.2 B. C.-2 D.【答案】B【解析】由题意可知，，故选：B.6.一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过8后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（）.A.24 B.26 C.8 D.16【答案】D【解析】依题意有，即，两边取对数得，当容器中只有开始时的八分之一，则有，两边取对数得，所以再经过的时间为．故选：D．7.关于函数，下列命题正确的是（）A.由可得是的整数倍B.函数的表达式可改写成C.函数的图象关于点对称D.函数的图象关于直线对称【答案】D【解析】函数，最小正周期为．对于A：当，时，满足，但是不满足是的整数倍，故A错误；对于B：由诱导公式可得，故B错误；对于C：令，可得，故C错误；对于D：当时，可得，所以的图象关于直线对称，故D正确．故选：D．8.定义在上的偶函数，当时，则的所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】是上的偶函数，当时，，得到可以作出及大致图像，又零点转化图像交点横坐标问题，如上图可以求出交点横坐标分别，选择A.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列式子结果为的是（）①；②；③；④．A.① B.② C.③ D.④【答案】ABC【解析】对于①，由于，所以；对于②，由于，所以；对于③，因为，；对于④，因为，；故选：ABC.10.（多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.的图象的最小正周期为B.C.将的图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，再向上移动3个单位长度后得到的函数图象的解析式为D.不等式的解集为【答案】BCD【解析】A选项，的最小正周期，A错误；B选项，，则，即，由可得，，即，B正确；C选项，将的图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，得到，再向上移动3个单位长度后得到的解析式为，C正确；D选项，由可得，，即，所以，解得，即不等式的解集为，D正确．故选：BCD.11.欧拉公式：（是虚数单位，…，）非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等．令可得，它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起．下列关于欧拉公式的结论正确的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，因为，，所以，所以B正确，对于C，因为，所以C错误，对于D，因为，所以D正确.故选：ABD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若1弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所在的扇形面积等于________【答案】2【解析】设扇形所在的圆的半径为，则（），故圆心角所在的扇形面积等于.故答案为：2.13.已知锐角的终边经过点，则________.【答案】【解析】由三角函数的定义可得，.由两角差的余弦公式可得.故答案为：.14.已知函数，若存在实数使得方程在上恰好有三个实数解，，，则______.【答案】【解析】，最小正周期为，因为在上恰好有三个实数解，，，所以，由对称性可得，所以.故答案为：.四、解答题（本题共5小题共77分，其中15题13分、16、17题15分、18、19题17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.化简并求值（1）化简：；（2）求值：.解：（1）.（2）.16.计算与求值（1）已知，，，，求的值.（2）已知，，且，，求的值；解：（1）因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以.（2）因为，，且，，所以，，所以，又，即，，所以两式相加可得，所以.17.已知函数．（1）求在上的值域，（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．解：（1）.当时，，∴，∴.（2）由（1）可知，，令，则，当时，∵，∴，令，∵函数，在上均单调递增，∴函数在上单调递增，∴，∴；当时，不等式恒成立，当时，∵，∴.令，∵函数，在上均单调递增，∴函数在上单调递增，∴，∴.综上，.18.如图，单位圆上有一点，点P以点为起点按逆时针方向以每秒弧度做圆周运动，点的纵坐标y是关于时间x的函数，记作.（1）当时，求；（2）若将函数向左平移个单位长度后，得到的曲线关于y轴对称，求的最小正值.解：（1）点是单位圆上一点，它从初始位置开始，按逆时针方向以每秒弧度做圆周运动，设初相为，∴，∴．所以，当时，.（2）图象关于轴对称，则是偶函数，则，，得，，最小值为3.19.已知函数，.（1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；（2）如果对任意，总存在，使成立，则称与是友好函数.已知当时，在区间上，与是友