湖北黄冈市2025-2026学年高二年级4月份阶段性练习数学试卷（B卷）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北黄冈市2025-2026学年高二年级4月份阶段性练习数学试卷（B卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有（）A.2个 B.4个 C.6个 D.8个【答案】C【解析】在第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数，由题意得点的横坐标有，两种选择，点的纵坐标有三种选择．由分步乘法计数原理，可得在第二象限的点有个．2.已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极值点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】由的图象可知，当时，，当时，，且，所以函数有3个极值点.3.在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则，因为，，成等差数列，所以，又，所以，所以，故，故选：B．4.在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（）A.2012 B.2013 C.2014 D.2015【答案】A【解析】因为等差数列的前项和是关于的二次函数，所以由二次函数图象的对称性及，,可得，解得.5.从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的种数为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】根据题意，取出的2个球的编号之和为奇数，则取出的2个球的编号必须为一个奇数一个偶数，且至少有一个为黑球，所以，一个白球（奇数）一个黑球（偶数）有种，一个白球（偶数）一个黑球（奇数）有种，两个黑球（一奇一偶）共有种，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的种数为6.若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（）A. B. C.0 D.1【答案】C【解析】由题意得，则，所以的图象在点处的切线方程为，即．设直线与的图象相切于点，又，则，解得，所以，即，则．故选：C．7.已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，令，解得，当时，由得，即，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，由，即恒成立，令，则，而，所以，即数列单调递减，故，所以，所以的最小值为.故选：C.8.若函数在内不单调，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，当时，，则函数在内单调递减，不满足条件，当时，令,则．所以在内单调递增，要使函数在内不单调，∴在上有变号零点，又，故只需．∴.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】对于A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先正后负，符合要求，故A正确；对于B，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故B正确；对于C，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故C正确；对于D，无论谁作导函数，谁作原函数，都无法同步，故D错误.故选：ABC.10.下面正确的是（）A.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法；B.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有53种不同的放法；C.将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，恰好有一个空盒子，有18种不同的放法；D.将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有3种不同的放法．【答案】AD【解析】对于A：将个不同小球放入个不同盒子，且没有空盒子，相当于求从个元素到个元素的满射个数.先不受限制地放，共有种放法，减去恰有一个盒子空着的情况，再加上两个盒子都空着的情况，所以总数为故A正确.对于B：将个不同小球放入个不同盒子，盒子可空，则每个小球都有种选择，所以共有种放法，并不是种，故B错误.对于C：将个不同小球放入个不同盒子中，恰有一个空盒子,先选出空盒子，有种选法,然后把个不同小球放入剩下个不同盒子中，且都不能空，不受限制时共有种放法，去掉全部放入其中一个盒子的两种情况，得种.所以总数为并不是种，故C错误.对于D：将个相同小球放入个不同盒子中，没有空盒子，由隔板法可得解数为，故D正确.11.已知函数，，则（）A.当时，函数有两个零点B.当时，函数有唯一零点C.对于任意的，函数与零点个数相同D.当时，函数与都有唯一的零点【答案】ACD【解析】对A，令，，，所以曲线在处的切线方程为，当切线经过原点时，，所以切线斜率为，此时曲线与直线只有一个交点，所以当时，曲线与直线有两个交点，即函数有两个零点；故正确；对B，，令，，，所以曲线在处的切线方程为，当切线经过原点时，，所以切线斜率为，此时曲线与直线只有一个交点，所以当时，曲线与直线有两个交点，即函数有两个零点；故错误；对C，当时，由A、B选项可知函数与均没有零点；当时，由A、B选项可知函数与均有一个零点；当时，由A、B选项可知函数与均有两个零点；所以对于任意的，函数与零点个数相同，故正确；对D，当时，，所以在上单调递增，由于，，所以在上存在唯一零点，当时，，所以在上单调递减，由于，，所以在上存在唯一零点，故D正确；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等比数列的前n项和为，若，，则________．【答案】42【解析】等比数列的前n项和为,成等比数列，，，，，.13.某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，则丙不是第一个出场，安排顺序的情况数是________．【答案】18【解析】由题意可知，丙不是第一个出场，安排顺序的情况数是.14.设函数，若是的极大值点，则取值范围为________．【答案】【解析】函数的定义域为，求导得，由，得，则，当时，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，因此；当时，，若，则，函数在上单调递增，函数无极值，不符合题意；若，由，得，由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，是的极小值点，不符合题意；若，由，得，由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，符合题意，此时，则，所以取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，（1）求n的值．（2）求展开式所有项系数和．解：（1）已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数为，，，依题意成等差数列，故，得到：，化简得，即：，解得：或（舍去）（2）令，展开式所有项系数和．16.已知函数．（1）当时，求的极值；（2）求的单调区间．解：（1）当时，的定义域为．，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，因此的极大值为，没有极小值．（2），∴当时，，函数的单调增区间为；当时，由，得，由，得，则函数的单调增区间为，单调递区间为．17.已知等比数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式．（2）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列．解：（1）因为，所以，，，两式相减得，，即，所以等比数列的公比，所以，得.所以等比数列的通项公式.因此，数列的通项公式.（2）由（1）知数列的通项公式，所以.假设存在正整数使成等差数列，不妨设．所以，，即.由，所以，所以，且，所以，即.故不存在互不相等的正整数，使成等差数列．．18.已知等差数列的公差为，前项和为，等差数列的公差为，且，，．（1）求数列，的通项公式；（2）若，对任意恒成立，求范围．（3）设，求数列的前项和．解：（1）因为数列，都是等差数列，且，，由等差数列的通项公式及前项和公式，所以，，解得，所以，综上，数列，的通项公式为，．（2）由（1）知，，所以，因为，对任意恒成立，所以.因此范围为.（3）由（1）得，，所以所以．所以数列的前项和.19.记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“好点”．（1）判断函数与是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；