辽宁省辽南协作校2026届高三下学期4月考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省辽南协作校2026届高三下学期4月考试数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】已知集合，，∴A∪B=x2.已知复数，则（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】由，得，所以．所以D正确．3.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】A，若且，则可平行于，或者在内，或者与相交，错误；B，若，，则可平行于，或者与相交，错误；C，若，则可与平行，或者与相交，或者与异面，错误；D，若，，可知的法向量都与平行，也即的法向量平行，可得，正确．4.已知函数是周期为的奇函数，且当时，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为函数是周期为的奇函数，所以，又当时，，所以，则.故选：A.5.若，且是第四象限角，则等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，且是第四象限角，则，所以.6.直线与圆的交点为，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，圆的半径为4，所以圆心到直线的距离为，由点线距离公式得，所以，解得．7.若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】C【解析】的展开式中第3项与第6项的二项式系数分别为，，由题意得，所以.8.甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】事件表示甲乙两人都不去A景点，，事件表示甲乙两人都去A景点，，所以．二、多选题（本题共3小题，每小题6分、共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.记是等差数列的前项和，的公差为，已知，且与的等差中项为，则（）A. B.C.最小 D.【答案】BC【解析】因为是等差数列的前项和，的公差为，则，故，所以，故数列是公差为的等差数列．对于A选项，由题意可得，故，所以，A错；对于B选项，，解得，B对；对于C选项，由题意可得，解得，所以，故当时，取最小值，即最小，C对；对于D选项，，所以，D错．10.如图所示，一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计），圆台的上下底面半径分别为3和1，母线长为4，则（）A.圆台容器的容积为B.圆台的外接球的半径为C.容器中可放入一个半径为1.7球体D.圆台容器内放入一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值为2【答案】ACD【解析】圆台截面为等腰梯形､如图，可得圆台的高为，由台体体积公式可得，故A选项正确.圆台外接球的球心在圆台的轴上，作轴截面，则轴截面等腰梯形的外接圆的半径即为外接球的半径，等价于的外接圆的半径.由上图可得，由正弦定理得.B选项错误.考虑该圆台是否有内切球.圆台的轴截面为等腰梯形，如图，与两底面相切（如图所示）时，球心在两底面圆心连线们中点，半径为；接下来验证点到距离，由题意，则，即为直角三角形，所以，解得，故圆台存在内切球，且半径为，故C选项正确.正方体可以任意转动，则最大正方体应是圆台容器内最大球的内接正方体，由（3）可知，最大正方体对角线为，所以，最大边长的值为2，故D选项正确.故选：ACD.11.曲线左、右焦点分别为，，直线与曲线的左、右两支分别交于，两点，则（）A.且B.C.若直线与圆相切，则D.若，则的内切圆半径为【答案】ACD【解析】对于A，由可得，因为直线与双曲线的左右支各交一点，故，故，故A正确；对于B，设，而，故，故，而，故，同理，故，取，由A的分析可得为方程的两个不同的解，故，而，故，故B错误；对于C，因为直线与圆相切，故，故，由A的分析可得联立直线方程和双曲线方程消元后的方程为：，故，故，故，故C正确；对于D，，故，故，而，故，所以，故，故，故，故且，故，其中为内切圆半径，故，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知是偶函数，则__________.【答案】4【解析】因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.故答案为：4.13.已知随机变量X服从正态分布，且，则的最小值为_______.【答案】9【解析】因为，且，则由对称性得，又，所以，故，又因为，所以，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为9.故答案为：9.14.已知数列的前n项和，则的最大值为___________.【答案】【解析】已知，令，则，解得，当时，，两式相减，得，即，数列是首项为，公比为的等比数列，，则，，当n为偶数时，；当n为奇数时，.，即的最大值为.故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．（1）求；（2）若，，求的面积．解：（1）由，结合正弦定理，得，即，即，因为，所以，即．（2）．利用正弦定理得．而，故的面积．16.如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．（1）求证：平面；（2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：在三棱柱中，，，，则.又四边形是正方形，则，，所以.又，平面，因此平面.又平面，所以.在等边中，为中点，则，又，平面，所以平面.（2）解：取中点为，中点为，则，.由（1）知，平面，平面，则.又，故.又，平面，则平面.即两两垂直.以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，因为为线段中点，所以.，，.设平面的法向量为，则，即，故可取.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围.解：（1）由题知：若，，在上单调递增；若，令解得：.当时，，单调递减；当时，，单调递增，综上，当，的递增区间是，没有单调递减区间，若，的递增区间是，递减区间是；（2）依题意，时，恒成立，即在上恒成立，令，则=，令，由（1）知函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，则有，即，即当时，则，当时，则，即在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取最小值，于是得，所以的取值范围为.18.已知椭圆的离心率，且过点，圆M的圆心为，半径为，O为坐标原点．（1）求椭圆C和圆M的标准方程；（2）设斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足，求直线l的斜率．解：（1）由椭圆的离心率，得，则，由点在椭圆C上，得，联立解得，，所以椭圆C的标准方程为；圆M的标准方程为.（2）设，中点，由在椭圆上，得，则，又，于是，而，由，得，由在圆M上，得，联立解得，，由，得点在椭圆内，即存在满足条件的点N，当点时，，不符合题意，当点时，，符合题意，所以.19.某公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B.附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为和，已知居民第一天选择路线A的概率为，选择路线B的概率为.（1）若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望；（2）若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为.（i）请写出与的递推关系；（ii）设，求证：.（1）解：记附近居民第天选择路线分别为事件，依题意，，，，则由全概率公