辽宁省辽阳市2026届高三下学期第一次模拟数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省辽阳市2026届高三下学期第一次模拟数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，故.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，所以3.是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，当，，不能满足，充分性不成立；与同号，当，一定有，必要性成立；故是的必要不充分条件.故选：B.4.的展开式中常数项为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的展开式通项为，令，可得，故展开式中的常数项为.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对任意的，，故函数的定义域为，因为，故函数为偶函数，排除AC选项，当时，，则，此时，排除B选项.6.已知抛物线的焦点为F，点A在C上，若，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】，设，则，，则，化简得，则，则.7.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积为，则的最小值为（）A.3 B. C.6 D.【答案】C【解析】由，根据正弦定理得，，则，在中，，则，即，又，则，又，则，所以，当且仅当时等号成立，则的最小值为6.8.已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出图象如下：由，且，则，即有，，且，则，故，则.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）9.下列说法正确的是（）A.若随机变量X服从正态分布，则B.若随机变量X服从二项分布，则，C.线性回归直线不一定过样本中心点D.设两个随机变量的线性相关系数为r，若越接近于1，则这两个随机变量的线性相关性越强【答案】ABD【解析】对于A，对于，根据正态分布的图像知对称轴为，所以可得，故A正确；对于B，的期望和方差公式就是，，故B正确；对于C，线性回归直线一定过样本中心点，故C错误；对于D，若越接近，两个随机变量的线性相关性越强，越接近，线性相关性越弱，故D正确.10.已知函数，则下列结论正确的有（）A.B.在上单调递增C.若，则的最小值为D.若，则的最小值为【答案】AD【解析】对于A，函数的最小正周期为，故对，，A对；对于B，当时，，故函数在上不单调，B错；对于C选项，若，则或，若，则，将两式相减，得，可得，此时的最小值为；若，则，将两式相减，得，可得，此时的最小值为，综上所述，的最小值为，C错；对于D，若，则，，所以，将两式相减，得，所以，故的最小值为，D对.11.双曲线可由以坐标原点为中心的曲线绕其中心旋转一定角度得到．现将曲线绕原点旋转一定角度可得到双曲线，其左右焦点分别为和，点P为曲线C上一点，则下列说法正确的是（）A.直线是曲线E的一条渐近线B.双曲线C的离心率为2C.若与双曲线C有四个交点，则D.以为直径的圆与圆相切【答案】ABD【解析】A选项，中，当趋向于或时，曲线趋向于，当从左边趋向于0时，趋向于，从右边趋向于0时，趋向于，由双刀函数性质可知曲线的渐近线分别为和，A正确；B选项，两条渐近线夹角为，结合图象可知曲线的对称轴为和（如图），故将绕原点逆时针旋转得到，故的两渐近线方程分别为，联立与得，当时，，当时，，故曲线的两个顶点为，，故，易得中，由渐近线方程为得，故，，故离心率为，B正确；C选项，由B可知，双曲线方程为，当时，联立与得，解得，当时，，交点坐标为，当时，，交点坐标为，共3个交点，不合要求，C错误；D选项，，设，故，以为直径的圆方程为，即，与圆联立可得，此为两圆的交点弦方程或公切线方程，圆的圆心到直线的距离，以为直径的圆与圆相切，D正确三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知，，且，则实数______________．【答案】3【解析】因为，所以，即，解得．13.已知，，则________．【答案】【解析】因为，，则，所以，故.14.一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为，将几何体放入半径为的半球内，使得最下层正方体底面中心在半球球心处，则该塔形几何体中正方体的个数最多为________．【答案】【解析】从下到上设第个正方体的棱长记为，设第个正方体上底面的中心记为，设球心为，则为第一个正方体下表面的中心，设半径为的半球内能放进该塔形几何体中正方体的个数为，由题意可知，，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，，根据题意可知，即，令，上述不等式可化为，化简可得，构造函数，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故二次函数在上单调递减，当时，，且，当时，，则，当时，，则，当时，，则，故当时，，则，故满足不等式的正整数的取值构成的集合为.因此该塔形几何体中正方体的个数最多为.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.某高中使用AI学情诊断系统对学生数学薄弱知识点进行检测．根据前期学业数据，将学生分为基础扎实与基础一般两类：基础扎实的学生，每道题答对的概率为；基础一般的学生，每道题答对的概率为．现从这两类学生中各随机抽取1人，每人连续独立完成3道同类型试题，规定：至少答对2道题，则判定为“该知识点达标”．（1）分别求基础扎实学生与基础一般学生单独检测一次达标的概率；（2）求这两名学生中恰有1人达标的概率；（3）若从该校基础一般的学生中随机抽取3人，记达标人数为X，求X的数学期望．解：（1）由题意，基础扎实的学生，每道题答对的概率为，基础一般的学生，每道题答对的概率为，则基础扎实学生单独检测一次达标的概率为，基础一般学生单独检测一次达标的概率为.（2）由（1）知，基础扎实学生单独检测一次达标的概率为，基础一般学生单独检测一次达标的概率为，则这两名学生中恰有1人达标的概率为.（3）由题意，，则.16.在三棱锥中，和均为等边三角形，，点为线段的中点．（1）证明：平面平面；（2）若直线与所成角的余弦值为时，求二面角的余弦值．（1）证明：连接、，如图所示：因为和均为等边三角形，所以，因为为的中点，所以，，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）解：取的中点，连接、，如图所示，因为，为的中点，则，，所以二面角的平面角为，设，因为，、平面，所以平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，则、、、，，，由题意可得，解得（舍去）或，故二面角的余弦值为.17.在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列．（1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；（2）已知二阶等差数列满足，，．①求数列的通项公式；②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围．解：（1）因为，所以，所以，故数列为等差数列，故数列为二阶等差数列.（2）①根据题意可得，，因为数列为等差数列，故数列的公差为,所以等差数列的首项为，故，所以，当时，，，，，上述等式相加得，故，也满足，故对任意的，；②由题意可知，，即，可得，令，则，当且时，，可得；当时，；当且时，，可得，所以数列的最大项为，故，所以实数的取值范围是.18.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点，点是椭圆长轴上一个动点（不与椭圆中心O和顶点重合），过点作轴的垂线交椭圆于P，Q两点，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点．①求面积的最大值；②直线是否过定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由．解：（1）因为椭圆过点，所以，即，因为椭圆的离心率为，所以，因为，所以解得，所以，故椭圆方程为.（2）①设：，，，由，得到，，由韦达定理可得，，，设原点到直线距离为，则，所以，令，则，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.②，所以：，，可得，所以，所以，同理可得，，所以：，整理可得，所以直线MN过定点，定点为.19.已知函数．（1）当时，求在点处的切线方程；（2）当时，证明：对任意，都有；（3）证明：，.（1）解：当时，，则，所以，，故当时，在点处的切线方程为.