辽宁省重点中学协作校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省重点中学协作校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求.）1.已知区间，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，故选：B.2.某科研院所共有科研人员人，其中具有高级职称的人，具有中级职称的人，具有初级职称的人，无职称的人．欲了解该科研院所科研人员的创新能力，决定用分层抽样的方法抽取名科研人员进行调查，无职称的科研人员抽取人数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】科研院所科研人员总计人，抽取人，抽样比为：，无职称的科研人员有人，无职称的科研人员抽取人数为：人，故A正确．故选：A．3.若，则下列运算中正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，对于A，，故错误；对于B，，故错误；对于C，，故错误；对于D，，正确.故选：D.4.已知事件相互独立，且，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵事件相互独立，，∵事件与也相互独立，，两式相除可得，解得.故选：B.5.已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，三点共线，，，，，，故选项C正确.故选：C.6.已知幂函数（）的图象与轴，轴都没有交点，且图象关于轴对称，设，则在下列区间中，包含零点的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】幂函数（）的图象与轴，轴都没有交点，，，，或，当时，，，则为偶函数，关于轴对称，满足题意；当时，，，则为奇函数，关于原点对称，不满足题意；综上可知，，，，，在上是单调递减函数，，，，在上是单调递减函数，在上有零点.故选：C.7.若定义在上的奇函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为函数是定义在上的奇函数，且在上是减函数，所以函数在也是减函数且，当时，要使，则，则或，解得或，当时，要使，则，则或，解得或，所以，综上不等式的解集为.故选：D.8.已知函数，若有四个零点，，，，且满足，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】作出函数的图象，如图，因为有四个零点，所以.因为，，所以，即，所以.所以.因为是方程的根，即的根，所以.又，所以，令，则，令，则，所以，所以.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）9.在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女））及年级（（高一）、（高二）、（高三））分类统计的人数如下表，若从这100名学生中随机选一名学生，则下列概率正确的是（）性别M142018F172110A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A，，故错误；对于B，因为从这100名学生中随机选一名学生，不是男生就是女生，故事件与互为对立事件，故，正确；对于C，，故正确；对于D，由题，所以，故错误故选：BC.10.设，，则（）A.B.C.D.当时，【答案】BCD【解析】选项A：，，所以，故A错；选项B：，故B正确；选项C：，而，所以，故C正确；选项D：令，则再令

，得为开口向上的二次函数，对称轴为，所以在区间内单调递增，最大值在（即）处取得，为，故D正确.故选：BCD.11.已知函数，则下列选项正确的是（）A.是奇函数B.既不是奇函数也不是偶函数C.值域为D.的单调减区间为和【答案】ACD【解析】已知函数，定义域为，定义域关于原点对称；计算，因此是奇函数，A正确，B错误；考虑内层函数，当时，，，可以取遍所有正实数，从而值域为，C正确；由A知是奇函数，可只研究的情况.当时，由得单调递减，而单调递增，所以单调递减；当时，由得：单调递增，而单调递增，所以单调递增；由A可知是奇函数，所以在单调递减，在上单调递增；因此的单调减区间为和，D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么__________N.（）【答案】100【解析】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，，所以，，，由题意可得，所以，即，解得，.故答案为：100.13.在了解高一年级学生每月在校图书馆平均借阅了多少本文学书籍时，甲同学在物理组合班抽取了一个容量为的样本并算得样本的平均数为5，方差为8．乙同学在历史组合班抽取了一个容量为的样本，并算得样本的平均数为8，方差为．已知甲乙两同学抽取的样本合在一起，组成一个容量为的样本，那么合在一起后的样本平均数为__________，样本方差为__________．【答案】6；【解析】设甲同学的样本量为，平均数为，方差为，乙同学的样本量为，平均数为，方差为，则，合并后样本量为：，合并后样本平均数为：，甲同学的样本平方和为：，乙同学的样本平方和为：，合并后总平方和：，合并后样本方差为：．故答案为：．14.已知定义域为的函数，满足，且当时，，则__________.【答案】【解析】令，有，即，因为当时，，所以，又，所以，即，所以，所以，令，得，所以，所以.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.为有助于形成节能减排的社会共识，促进资源节约型，环境友好型社会的建设，某市拟建立“多用者多付费”的阶梯电价机制，要求约75%的居民用电量在第一阶梯内，约20%的居民用电量在第二阶梯内，约5%的居民用电量在第三阶梯内.假设从该市抽取了200户居民的用电量（单位：）进行整理，并由此作出如图所示的频率分布直方图.根据用样本估计总体的思想确定阶梯电价的临界点a，b，并且每户的用电单价与每户用电量的关系如下表所示.记户月用电量为时应缴纳的电费为元.分档户用电量（单位：）用电单价（单位：元）第一阶梯0~a（含a）0.5第二阶梯a~b（含b）0.55第三阶梯0.8（1）求a，b的值；（2）写出的解析式；（3）小明家本月缴纳电费195元，他家本月用电量是多少？解：（1）由题a，b分别为这组数据的75%分位数、95%分位数.，解得，，解得；（2）是一个分段函数，而且：当时，有；当时，有；当时，有；.（3）若，；若，，因为，所以，解得.答：小明家本月用电量是.16.已知函数，.集合，.（1）求集合A；（2）若，求.（参考数据：，）解：（1）由题易知且，，当时，，所以，当时，，所以（2）若，有=，，在上是增函数所以又因为所以=.17.在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F.（1）若，求的值；（2）若，，求的最小值.解：（1）因为，所以①因为E，P，F三点共线，所以设，则，即②（1）因为，即设，代入①则有，因为E，P，F三点共线，所以，解得，所以.（2）由题，，代入①可知，，由②得：所以，即，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为1.18.已知函数是上的奇函数.（1）求实数a；（2）判断函数的单调性并证明；（3）对于，，求证：.解：（1）因为函数是上的奇函数，所以，所以，即，因，则有，又，所以；（2）函数是上的减函数，理由如下：因是上的奇函数，则，故只需证在上单调递减.证明：设，则，因，则，且，则，故，所以，即，即.所以在单调递减，所以函数是上的减函数.（3）由（2）知在上单调递减，所以①，设，因为，则是上的偶函数，易知当时，是增函数，又为偶函数,故在时是减函数，所以，②，综合①②，可得，即.19.设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个元素，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么称为从到的一个联动.例如：，，，，不是从到的一个联动；，，，，是从到的一个