内蒙古包头市2026届高三下学期二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古包头市2026届高三下学期二模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则m的值为（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】因为，，，所以，可得，解得.2.若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（）A.5 B. C.3 D.【答案】B【解析】由复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，得，所以.故选：B.3.设函数，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】当时，，即，无解；当时，，解得，所以.4.已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】由题意可知，得，因双曲线的渐近线方程为，即​，代入得，所以（为半焦距），即，故焦距为.5.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，已知角的终边在第一象限，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，得到角的终边，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为是第一象限角，所以，所以，又由题意可知，所以，故选：C.6.已知，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由可得对于A，由于，函数为单调递增函数，故，故A错误，对于B，，由于，故，故，则，故B错误，对于C，由于故，故C错误，对于D，，由于得，故.7.如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得.由是的中点知，，且，得，所以.则.故选：B.8.已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设点，已知，且，所以，化简得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，因为圆上总存在点满足，即圆与圆有公共点，所以两圆的圆心距满足（，为两圆的半径），即，化简得，解得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则【答案】BD【解析】对A：若，，则或与相交或与异面，故选项A错误；对B：若，，则，故选项B正确；对C：若，，则或与相交，故选项C错误；对D：若，，，则，故选项D正确.故选：BD.10.已知是等比数列的前项和，满足成等差数列，则（）A.成等比数列B.成等差数列C.成等比数列D.成等差数列【答案】ABD【解析】对A：因为数列为等比数列，可设首项为（），公比为（），则，所以，，成等比数列，故A正确；对B：若等比数列的公比，则，，，根据，，成等差数列，则，即，这与矛盾，故不成立；当时，由.所以，两边同乘以得：，即，所以，，成等差数列，故B正确；对C：若，，成等比数列，则，因为，所以：，又，所以，所以，所以，这与矛盾，故，，不可能成等比数列，故C错误；对D：因为，，两边同乘以，得，可得，即，所以，，成等差数列，故D正确.故选：ABD.11.现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（）A.B.C.D.且【答案】BCD【解析】对于A，若数字9被选到，有两种情况：第一次选数时，从1到10中选到9，概率为，第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概率为，所以，选项A错误；对于B，若数字8被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为；发生后，下一次从1到8中选到8，概率为，发生后，下一次从1到9中选到8，概率为，这几种情况彼此互斥，所以，选项B正确；对于C，根据条件概率公式，，若发生，即数字9被选到，那么在选到9的情况下，下一次从1到8中选到8的概率为，即，若发生，即数字10被选到，那么在选到10的情况下，可以下一次从1到9中选到8，也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8，即，所以，选项C正确；对于D，对于即选中的情况，设为选中数当中不小于的最小整数，则，当时，有，，，结合知，，所以最大数选取是任意的，始终有，对于同时选中情况，不妨设，可理解为从中按规则取数，选中的概率，则有，可得，选项D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，含的项的系数是__________.【答案】16【解析】易知含的项为，因此其系数为16.13.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为___________．【答案】【解析】由焦点，得，，所以抛物线的方程为，准线为.又由，得，所以，设椭圆的左焦点为，有，故，则，可得离心率为.14.在中，内角的对边分别为，若成等差数列，则的最小值为__________.【答案】【解析】因为成等差数列，即，则，，所以，即，且，所以，当且仅当时，等号成立.即的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为了了解学生的基本情况，某学校对一次高三质量预测数学考试成绩进行汇总（所有学生的数学成绩都不低于30分），整理后得到如下图所示的频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校学生数学成绩的第70百分位数；（2）若该校高三学生共有1200人，从中依据按比例分配分层抽样的方法从等级分数介于80至100之间的学生中抽出8人，再从这8人中选出3人，记为3人中分数在的人数，求的分布列和数学期望.解：（1）由题意得，解得.因为，，所以该校学生数学成绩的第70百分位数位于内，设其为，则，解得.故估计该校学生数学成绩的第70百分位数为75.（2）因为两组数据的频率之比为，所以8人中等级分数位于内的人数分别为6，2.由题意知的所有可能取值为1，2，3，，，；所以的分布列为123所以.16.在中，角的对边分别为，若．（1）求的大小；（2）如图所示，为外一点，，，，求外接圆的半径．解：（1）由和正弦定理，得，因，则，代入化简得，即，则，，解得.（2）令，，在中，由正弦定理得，，因，则①.在中，由正弦定理得，,因,则②,由①②得，,即，因为，则得，解得，，设外接圆的半径，由正弦定理，.17.如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，棱，且．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：在平行六面体中，令，由正方形边长为2，得，而，，则，，因，则，则，即，又，平面，所以平面.（2）解：由（1）得，设平面的法向量，则，不妨取，得，则，由（1）知平面的法向量，又，，，故，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2．（1）求点的轨迹的方程；（2）已知上存在三点，且关于直线对称．①求的取值范围；②若为等边三角形，求．解：（1）设点．因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以，，化简得：．（2）①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2．设直线的方程为，联立消去可得．所以所以中点坐标．因为点在直线上，所以．因为，所以，因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点，即直线不能经过点，若直线过点，则，若直线过点，则．综上所述：的取值范围是．②因为为等边三角形，所以点在直线上．设，则，．所以，即，化简得，①．因为点在直线上，所以②．由①②消得，．因为，所以，所以．19.已知函数.（1）讨论在上的单调性；（2）已知为的导数，若两个不相等的实数满足，求证：.（1）解：求导可得，（a）当时，