苏科版数学七年级下册 第12章 定义 命题 证明·提升卷 试卷 含答案

2025-2026学年七年级下册数学单元自测第十二章定义命题证明·能力提升建议用时：60分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下面各个命题中，定义为（

）A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．在正数前加上符号“”的数叫作负数 D．今天的天气很好2．下列语句是命题的是（

）A．作一个角等于已知角 B．负数小于正数吗？C．连接，两点 D．是一个负数3．下列命题中，是真命题的是（

）A．如果两个角相等，那么它们是对顶角B．在同一平面内，如果，，那么C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等D．如果，那么4．要说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（

）A． B．C． D．5．定理“等腰直角三角形的两个锐角都是”的逆定理是(

)A．两个锐角都是的三角形是等腰直角三角形B．等腰直角三角形的角都是C．两个角不是的三角形不是等腰直角三角形D．有一个角是的三角形是等腰直角三角形6．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（）A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|7．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（

）A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角8．下列说法中，错误的是（

）A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实B．定义是命题，并且是真命题C．“两点之间，线段最短”是基本事实D．“两点之间，线段最短”是定理9．下列可以作为定理的有（

）①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．一个命题是由______两部分组成．12．写出一个你学过的数学学科的真命题：________________．13．“如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角”的逆命题是_______命题（选填“真”“假”）．14．把命题“负数的绝对值是正数”写成“如果……，那么……”的形式：_____．15．命题“如果一个数能被3整除，那么它一定能被6整除”是_____命题．（填“真”“假”）16．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为______，______．17．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中_________．18．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为_______个，请同学们写出一个真命题_______．三、解答题（共7小题，共66分）19．（本题8分）下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论．(1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上．(2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上．(3)当时，有．(4)当时，有．20．（本题8分）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．(1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等．(2)如果，那么．(3)两个钝角的和一定大于180°．(4)异号两数相加和为零．21．（本题10分）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：．证明：∵，，又∵（已知），∴ （ ），∴（ ），∴ （ ），又∵（已知），∴ （ ），∴（ ）．写出本题所用到的互逆命题： ．22．（本题8分）证明：等角的补角相等．23．（本题10分）已知是正整数，求证：能被4整除．24．（本题10分）（1）已知：如图，直线被直线所截，．求证：．（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来．25．（本题12分）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题：(1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明．(2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题．

2025-2026学年七年级下册数学单元自测第十二章定义命题证明·能力提升建议用时：60分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下面各个命题中，定义为（

）A．两点之间，线段最短B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．在正数前加上符号“”的数叫作负数D．今天的天气很好【答案】C【分析】本题主要考查了命题的概念理解，分清定义与性质的区别是解题的关键．根据线段的性质，垂线的性质，负数的定义，逐一判断即可得到答案．【详解】解：A、两点之间，线段最短，是性质不是定义，不符合题意；B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是性质不是定义，不符合题意；C、在正数前加上符号“”的数叫作负数，是定义，符合题意；D、今天的天气很好，不是定义，不符合题意；故选：C．2．下列语句是命题的是（

）A．作一个角等于已知角 B．负数小于正数吗？C．连接，两点 D．是一个负数【答案】D【分析】根据命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题，只需判断各选项语句是否对一件事情作出明确判断即可得到结果。【详解】解：∵命题的定义是：判断一件事情的语句叫做命题。A选项作一个角等于已知角是作图指令，没有对一件事情作出判断，不是命题；B选项负数小于正数吗？是疑问句，没有对一件事情作出判断，不是命题；C选项连接，两点是作图指令，没有对一件事情作出判断，不是命题；D选项是一个负数对的属性作出了明确判断，符合命题的定义．3．下列命题中，是真命题的是（

）A．如果两个角相等，那么它们是对顶角B．在同一平面内，如果，，那么C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等D．如果，那么【答案】D【分析】根据对顶角定义，同一平面内直线的位置关系，平行线的性质，平行公理的推论逐一判断选项．【详解】解：A选项：相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行形成的同位角相等但不是对顶角，因此A是假命题；B选项：∵在同一平面内，，，∴，因此B是假命题；C选项：只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，选项未说明两条直线平行，因此C是假命题；D选项：根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，∵，∴，因此D是真命题．4．要说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了假命题和反例，解题的关键是掌握反例的定义．假命题的反例需满足命题的题设，但不满足命题的结论，据此分析选项即可．【详解】解：∵当，时，∴，，即成立，又∵，即不成立，∴此例可作为原命题的反例，故选：B．5．定理“等腰直角三角形的两个锐角都是”的逆定理是(

)A．两个锐角都是的三角形是等腰直角三角形B．等腰直角三角形的角都是C．两个角不是的三角形不是等腰直角三角形D．有一个角是的三角形是等腰直角三角形【答案】A【分析】本题考查了逆定理．原定理的条件是“等腰直角三角形”，结论是“两个锐角都是”，逆定理需将条件和结论互换．逆定理是原命题的条件与结论互换，需严格对应．【详解】解：∵原定理：若三角形是等腰直角三角形，则两个锐角都是．∴逆定理：若两个锐角都是，则三角形是等腰直角三角形．故选：A．6．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（）A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|【答案】C【分析】交换题设和结论，即可得到答案．【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|，故选：C．【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论．7．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（

）A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角【答案】D【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面．命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设．【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角”写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角，∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角．故选：D．8．下列说法中，错误的是（

）A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实B．定义是命题，并且是真命题C．“两点之间，线段最短”是基本事实D．“两点之间，线段最短”是定理【答案】C【分析】本题考查基本事实、定理、命题与定义的概念辨析，关键是明确基本事实是无需证明的公认真命题，定理是经过逻辑推理证明的真命题，定义是对概念的准确描述且属于真命题．【详解】解：选项A：基本事实是经过长期实践公认的真命题，而真命题包含基本事实、定理等，该说法正确；选项B：定义是对概念的明确表述，是能够判断真假的陈述句，且表述内容正确，该说法正确；选项C：“两点之间，线段最短”是初中几何中的基本事实，该说法正确；选项D：“两点之间，线段最短”是无需证明的基本事实，并非经过推理证明的定理，该说法错误．故选：C．9．下列可以作为定理的有（

）①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证；经过判断可以得到①、②、③是假命题，④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题．【详解】解：能被2整除的数未必能被4整除，所以①是假命题，不能作为定理；相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理；25与x的平均值是，所以③是假命题，不能作为定理；三角形的内角和为，经过证明是正确的，所以④可以作为定理．故选：A．10．用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查命题的判定和不等式的性质，在等式的两边同时加上或者减去同一个数，不等号的方向不变．根据题意得出6个命题，由不等式的性质和举反例判断真假即可．【详解】解：根据题意，一共有6种命题组合，①若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题；②若，，则，∵，，∴，∴，即，故该命题是真命题；③若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题；④若，，则，∵，∴，即，∵，∴，∴，故该命题是真命题；⑤若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题；⑥若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题，故真命题一共有2个，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．一个命题是由______两部分组成．【答案】题设（或条件）和结论【分析】此题考查了命题的组成．命题有两部分组成，即题设（或条件）和结论．据此回答即可．【详解】解：一个命题由题设（或条件）和结论两部分组成．故答案为：题设（或条件）和结论12．写出一个你学过的数学学科的真命题：________________．【答案】对顶角相等（答案不唯一）【分析】本题考查了真命题：正确的命题即为真命题，举例一个例子即可作答．【详解】解：依题意，写出一个你=学过的数学学科的真命题：对顶角相等，故答案为：对顶角相等（答案不唯一）．13．“如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角”的逆命题是_______命题（选填“真”“假”）．【答案】假【分析】首先得出命题的逆命题，进而得出是否是真命题．【详解】逆命题是：如果一个三角形有两个角是锐角，那么三角形另一个角是钝角，是假命题．故答案为：假．14．把命题“负数的绝对值是正数”写成“如果……，那么……”的形式：_____．【答案】如果一个数是负数，那么这个数的绝对值是正数【详解】解：如果一个数是负数，那么这个数的绝对值是正数．15．命题“如果一个数能被3整除，那么它一定能被6整除”是_____命题．（填“真”“假”）【答案】假【分析】根据命题真假的判定方法，若存在满足命题题设，不满足命题结论的例子，即可判定命题为假命题，只需找出反例即可判断．【详解】解：举反例，例如，能被整除，即，不能被整除，即，该数满足命题的题设，不满足命题的结论，因此原命题是假命题．16．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为______，______．【答案】（答案不唯一）（答案不唯一）【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可．【详解】解：当，时，满足条件，此时，，且，故不满足，故可以说明该命题是假命题．17．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中_________．【答案】每一个内角都大于或等于45°【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．【详解】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于或等于45°故答案为：每一个内角都大于或等于45°．18．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为_______个，请同学们写出一个真命题_______．【答案】3如果，，那么或如果，，那么或如果，，那么【分析】本题主要考查了判断命题真假，不等式的性质，写出命题的题设和结论当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时除以一个正数不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件为结论时，据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明．【详解】解：当选取，作为条件，为结论时，∵，，∴，即，∴此时命题是真命题；当选取，作为条件，为结论时，∵，∴当时，则，即，符合题意；当时，则，即，不符合题意；∴此时命题是真命题；当选取，作为条件为结论时，∵，，∴，即，∴此时命题是真命题；综上所述，可以组成真命题的个数为3个，命题为：如果，，那么；如果，，那么；如果，，那么．故答案为：3；如果，，那．么或如果，，那么或如果，，那么．三、解答题（共7小题，共66分）19．（本题8分）下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论．(1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上．(2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上．(3)当时，有．(4)当时，有．【答案】(1)是命题，是真命题；改写：如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上；条件：；结论：点P在线段上；(2)是命题，假命题(3)是命题，真命题，改写：如果，那么；条件：；结论：(4)是命题，假命题【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握命题及真假命题的定义是解题的关键；（1）根据命题及真假命题的定义可进行求解；（2）根据命题及真假命题的定义可进行求解；（3）根据命题及真假命题的定义可进行求解；（4）根据命题及真假命题的定义可进行求解．【详解】（1）解：是命题，且是真命题，改写成“如果…..那么….”的形式为如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上；条件是；结论是点P在线段上；（2）解：是命题；当点P在直线外时，也可以满足点P到两点的距离之和大于线段的长，所以原命题是假命题；（3）解：是命题，且是真命题；改写成“如果…..那么….”的形式为如果，那么；条件：；结论：；（4）解：是命题，因为当时，则有，所以原命题是假命题．20．（本题8分）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．(1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等．(2)如果，那么．(3)两个钝角的和一定大于180°．(4)异号两数相加和为零．【答案】(1)是假命题，反例见解析（答案不唯一）(2)是假命题，反例见解析（答案不唯一）(3)是真命题(4)是假命题，反例见解析（答案不唯一）【分析】本题考查了平行线的性质，绝对值的意义，钝角的定义以及有理数的加法法则，分析题目是否为真命题，需要分别分析各题是否能推出结论，从而作出判断．（1）缺少“两直线平行”的前提条件；（2）绝对值表示一个数到原点的距离，当两个数绝对值相等时，它们可能相等，也可能互为相反数；（3）通过“钝角是大于小于的角”即可判断为真命题；（4）举出绝对值不等的异号两数相加的例子即可判断．【详解】（1）是假命题，两条相交直线被第三条直线所截，形成的内错角不一定相等．（2）是假命题，如，但．（3）是真命题．每一个钝角都大于，故两个钝角的和一定大于．（4）是假命题，如和2异号，但．21．（本题10分）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：．证明：∵，，又∵（已知），∴（），∴（），∴（），又∵（已知），∴（），∴（）．写出本题所用到的互逆命题：．【答案】见详解【分析】利用平行线的性质和等量代换可得出结论．【详解】证明：∵，，又∵（已知），∴（等角的补角相等），∴（内错角相等，两直线平行），∴（两直线平行，同旁内角互补），又∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等），∴（等量代换）．写出本题所用到的互逆命题：内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．22．（本题8分）证明：等角的补角相等．【答案】见解析【分析】本题考查了补角性