苏科版数学七年级下册 期末考试必考题型（三）- 平行线、图形变换与命题证明综合压轴 试卷 含答案

期末考试必考题型（三）——平行线、图形变换与命题证明综合压轴（4大考点5类题型）目录TOC\o"1-2"\h\u一.必考点知识回顾 1【考点一】平行线的判定与性质 1【考点二】图形的变换（折叠、平移、旋转） 1【考点三】定义、命题与证明 1【考点四】综合应用——几何推理与角度计算（压轴题） 2二.必考题型精析 2【题型1】平移与平行线拐点模型综合题（6题） 2【题型2】折叠（轴对称）与平行线综合压轴题（6题） 4【题型3】旋转与平行线动态综合题（6题） 6【题型4】命题证明与几何推理综合题（6题） 8【题型5】图形变换中的线段或角度最值问题（6题） 9一.必考点知识回顾【考点一】平行线的判定与性质性质定理：（1）同位角（内错角）相等，两直线平行；（2）同旁内角互补，两直线平行。判定定理：（1）两直线平行，同位角（内错角）相等；（2）两直线平行，同旁内角互补。主要模型：铅笔头模型、拐点模型、锯齿模型、双平行线模型。【考点二】图形的变换（折叠、平移、旋转）平移：平移前后图形全等，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等；平移距离的计算。折叠（轴对称）：折叠前后对应边、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线；利用折叠构造等腰三角形。旋转：旋转前后图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角；结合平行线的旋转动态问题。【考点三】定义、命题与证明命题结构：区分题设与结论，判断真假命题（反例法）。证明的格式规范：“∵...∴...”的推理形式。三角形与多边形定理：三角形内角和、外角定理；多边形内角和与外角和定理（辅助证明工具）。【考点四】综合应用——几何推理与角度计算（压轴题）1、平行线性质+图形变换的角度推导。2、多拐点平行线模型+角平分线的综合角度计算。3、动态变换（平移或旋转）中的不变量探究（角度、线段关系）。二.必考题型精析【题型1】平移与平行线拐点模型综合题（6题）考法：单（多）拐点平行线模型，结合角平分线、对顶角、邻补角进行角度计算或关系探究。1．（25-26七年级下·天津宝坻·期中）如图，，直线a平移后得到直线b，则的大小为（

）A． B． C． D．2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（

）A． B． C． D．3．（25-26八年级下·全国·周测）如图，直线与的一边相交，，向上平移直线得到直线，与的另一边相交，则____________．4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到，点的对应点分别是点，，，连接，若在整个平移的过程中，和的度数之间存在二倍关系，则的度数为_____．5．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）（1）作图，并保留作图痕迹，不需要写作法；（2）最短，说明理由．6．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）综合与探究问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，，，，过点作，是线段上一定点，过点作交于点．（1）知识初探：勤奋小组求出了的度数，请你直接写出______：（2）深入探究：智慧小组将线段沿射线的方向平移，得到线段（点的对应点为，点的对应点为），连接，并提出以下两个问题．请你帮忙解决，并写出解答过程．①如图2，当点在线段上时，若，求的度数；②如图3，当点在线段上时，若，求的度数．（3）拓展延伸：创新小组提出问题：在上述平移过程中，当时，请直接写出的度数为_______．【题型2】折叠（轴对称）与平行线综合压轴题（6题）考法：长方形与三角形纸片折叠，结合平行线的性质，探究折叠前后的角度关系、线段位置关系。1．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，把一张长方形的纸条沿折叠，若比多，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（25-26七年级下·福建漳州·期中）如图，现有长方形纸片，将沿对角线折叠，得到，与相交于点，将沿折叠，得到．若，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（2026·甘肃武威·三模）如图，将一张长方形纸条沿折叠，点分别折叠至点的位置，若，则的度数为__________．4．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图①，已知长方形纸带，，，，点、分别在边，上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点、分别落在、的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，则________度，_______度．5．（25-26七年级下·广西崇左·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）．（1）如果，求的度数；（2）如果，则                  ；（3）探究与的数量关系，并说明理由．6．（25-26七年级下·山东青岛·期中）今天我们来探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线．如图1，长方形纸条中，，，，，分别是长方形纸条边，上两点（）将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点．（1）①若，则_____________．②若，则____________（用含的式子表示）．（2）如图2，在图1的基础上将对折，点落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由．（3）如图3，在图1的基础上，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，，若，则的度数为_____________．【题型3】旋转与平行线动态综合题（6题）考法：将含30°、45°的三角板绕顶点旋转，结合平行线的判定与性质，探究角度变化或平行条件。1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）将一副三角板如图放置，点B，D重合，点F在上，与交于点G．，，，现将图中的绕点F按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，当的对应边所在直线与垂直时，旋转时间为（

）A．15秒 B．秒 C．10秒 D．5秒2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，线段，P为上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，同时将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，．若，则的面积为（

）A．8 B．8.5 C．10 D．10.53．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，是由绕点逆时针旋转而得，且，，平分，则________．4．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，若与的某一边平行（不共线）时，的值为___________．5．（25-26八年级下·广东茂名·期中）在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．（1）如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转度，才能使落在上；（2）如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到如图2的位置，得到，当时，为多少度？6．（25-26七年级下·广西南宁·期中）在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“平行线和直角三角尺”开展数学活动．【操作发现】如图1，将一个含角的直角三角尺的一边与直线重合，其中，．将该三角尺绕点逆时针旋转，如图2所示，过点作直线，的角平分线与直线交于点．（1）当时，求的度数；（2）当为多少度时，？请说明理由．（3）【拓展探究】如图3，延长得射线，与的角平分线交于点．在旋转过程中，的度数是否会随的变化而变化？若会，用含的代数式表示；若不会，求出的度数．【题型4】命题证明与几何推理综合题（6题）考法：以平行线、三角形为载体，考查完整的证明过程书写，或判断命题真假并说明理由。1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）下列各命题的逆命题是真命题的是（

）A．对顶角相等 B．内错角相等C．若，则 D．若，则2．（2024八年级上·全国·专题练习）用反证法证明：“若，则中至少有一个为0．”应假设（

）A．都不为0 B．只有一个为0C．至少有一个为0 D．都为03．（25-26七年级下·广东东莞·期中）下列命题中：①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补．真命题有_______个．4．（2026九年级下·北京·专题练习）能说明命题“若，，则”是假命题的一组实数、的值为______，______．5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．你选择的条件；________，结论：_____（填序号）．6．（2025·福建泉州·二模）已知实数a、b、c、m、n满足，．（1）当时，求证：；（2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数．【题型5】图形变换中的线段或角度最值问题（6题）考法：结合平移、折叠、旋转，探究线段长度的最值或角度的取值范围，常结合平行线的距离、点到直线的距离求解。1．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．92．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为14，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为（

）A．6 B．8 C．12 D．183．（24-25七年级下·河南·期末）如图，在中，，是边上一点，，，，若点和点关于对称，点和点关于对称，则点，之间的距离的最小值是______，点，之间的距离的最大值是______．4．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是边上的动点，则的最小值是_____．5．（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？【分析问题】（1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____．【解决问题】（2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____．【类比探究】（3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）②当将军走过的路程最短，且时，则_____°．6．（2025八年级上·全国·专题练习）【综合实践活动】【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小．画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求．证明：和关于直线对称直线垂直平分________，，根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时点是线段和直线的交点．【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）．【答案】【数学建模】，①，；【问题拓展】作图见分析

期末考试必考题型（三）——平行线、图形变换与命题证明综合压轴（4大考点5类题型）目录TOC\o"1-2"\h\u一.必考点知识回顾 1【考点一】平行线的判定与性质 1【考点二】图形的变换（折叠、平移、旋转） 1【考点三】定义、命题与证明 1【考点四】综合应用——几何推理与角度计算（压轴题） 2二.必考题型精析 2【题型1】平移与平行线拐点模型综合题（6题） 2【题型2】折叠（轴对称）与平行线综合压轴题（6题） 10【题型3】旋转与平行线动态综合题（6题） 17【题型4】命题证明与几何推理综合题（6题） 24【题型5】图形变换中的线段或角度最值问题（6题） 27一.必考点知识回顾【考点一】平行线的判定与性质性质定理：（1）同位角（内错角）相等，两直线平行；（2）同旁内角互补，两直线平行。判定定理：（1）两直线平行，同位角（内错角）相等；（2）两直线平行，同旁内角互补。主要模型：铅笔头模型、拐点模型、锯齿模型、双平行线模型。【考点二】图形的变换（折叠、平移、旋转）平移：平移前后图形全等，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等；平移距离的计算。折叠（轴对称）：折叠前后对应边、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线；利用折叠构造等腰三角形。旋转：旋转前后图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角；结合平行线的旋转动态问题。【考点三】定义、命题与证明命题结构：区分题设与结论，判断真假命题（反例法）。证明的格式规范：“∵...∴...”的推理形式。三角形与多边形定理：三角形内角和、外角定理；多边形内角和与外角和定理（辅助证明工具）。【考点四】综合应用——几何推理与角度计算（压轴题）1、平行线性质+图形变换的角度推导。2、多拐点平行线模型+角平分线的综合角度计算。3、动态变换（平移或旋转）中的不变量探究（角度、线段关系）。二.必考题型精析【题型1】平移与平行线拐点模型综合题（6题）考法：单（多）拐点平行线模型，结合角平分线、对顶角、邻补角进行角度计算或关系探究。1．（25-26七年级下·天津宝坻·期中）如图，，直线a平移后得到直线b，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作直线，求得，根据，求得，得到，据此求解即可．解：作直线，∴，∴，即，，∴，∴，∴．2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可．解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作，由平移得到，，，，，①当时，设，则，∵，，，，，解得：，∴，②当时，设，则，∵，，，，，解得：，∴，第二种情况：当点在外时，过点C作，由平移得到，，，，∴，①当时，设，则，∵，，，，，解得：，∴，②当时，由图可知，，故不存在这种情况，综上所述，或或，∴不可能的值为．3．（25-26八年级下·全国·周测）如图，直线与的一边相交，，向上平移直线得到直线，与的另一边相交，则____________．【答案】【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．作，利用平移的性质得到，可判断，根据平行线的性质得，，从而得到的度数．解：如图，作．∵向上平移直线得到直线，，，，．，，，．故答案为：．4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到，点的对应点分别是点，，，连接，若在整个平移的过程中，和的度数之间存在二倍关系，则的度数为_____．【答案】或或【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的外角性质，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解，且当点E在线段上，或当点E在外时，过点C作，然后进行分类讨论且作图，运用数形结合思路，结合平行线的性质进行列式计算，即可作答．解：E在线段上，过点C作，如下图：，，，，，，，∴，；，，，即；（2）点E在外时，过点C作，如下图：，，，，，，，即；，由图可知，，此情况不成立；综上，或或．故答案为：或或．5．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）（1）作图，并保留作图痕迹，不需要写作法；（2）最短，说明理由．【答案】（1）见分析；（2）见分析【分析】本题考查了最短路径问题、平移的性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接，此时最短；（2）另任意作桥，连接，，，由平移的性质可得，，，故转化为，而转化为，再结合在中，，即可得解．解：（1）解：如图所示：平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接即可，；（2）解：如图，另任意作桥，连接，，，，由平移的性质可得：，，，故转化为，而转化为，在中，，∴，故最短．6．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）综合与探究问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，，，，过点作，是线段上一定点，过点作交于点．（1）知识初探：勤奋小组求出了的度数，请你直接写出______：（2）深入探究：智慧小组将线段沿射线的方向平移，得到线段（点的对应点为，点的对应点为），连接，并提出以下两个问题．请你帮忙解决，并写出解答过程．①如图2，当点在线段上时，若，求的度数；②如图3，当点在线段上时，若，求的度数．（3）拓展延伸：创新小组提出问题：在上述平移过程中，当时，请直接写出的度数为_______．【答案】（1）60；（2）①；②；（3）或【分析】（1）利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补），结合已知的的度数，直接求出的度数．（2）①过点作，由得，利用平行线的性质将转化为，再通过与的差求解．②同理过点作，利用平行线的性质，通过与的差，得到的度数，即为的度数．（3）分两种情况（点在线段上、点在线段上），根据的关系列方程求解，得到的度数．解：（1）解：，．，，；（2）解：①过点作，则，，，，线段是由线段平移得到，，，；②过点作，则，，，，线段是由线段平移得到，，，；（3）解：如图2，当时，由（2）①知，即，∴，；如图3，当时，由（2）②知，即，∴，．【题型2】折叠（轴对称）与平行线综合压轴题（6题）考法：长方形与三角形纸片折叠，结合平行线的性质，探究折叠前后的角度关系、线段位置关系。1．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，把一张长方形的纸条沿折叠，若比多，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，设，则，然后根据邻补角与互补出方程求解即可．解：设，则，∴，∴根据折叠的性质可知：，∴邻补角互补可得：，解得，∴．2．（25-26七年级下·福建漳州·期中）如图，现有长方形纸片，将沿对角线折叠，得到，与相交于点，将沿折叠，得到．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，根据平行线的性质可得，由折叠的性质可知，．从而可利用x表示出，再根据，列出等式，解出x即可．解：设，∵，∴由翻折的性质可知，，∵，∴，∴，∵长方形纸片，∴，∴，解得：，∴．3．（2026·甘肃武威·三模）如图，将一张长方形纸条沿折叠，点分别折叠至点的位置，若，则的度数为__________．【答案】【分析】设由折叠可得，再根据列方程求解即可．解：∵长方形纸条沿折叠，∴，∵，设∴，∵，∴（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同旁内角互补），∴，解得，∴．4．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图①，已知长方形纸带，，，，点、分别在边，上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点、分别落在、的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，则________度，_______度．【答案】12045【分析】由折叠性质和平行可得，从而求得，再由与即可求解．解：由折叠可得：，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．5．（25-26七年级下·广西崇左·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）．（1）如果，求的度数；（2）如果，则                  ；（3）探究与的数量关系，并说明理由．【答案】（1）；（2）30；（3），理由见分析【分析】（1）根据折叠的性质求出，然后根据平行线的性质求解即可；（2）先求出的度数，然后利用平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，根据折叠可求出的度数，由角的和差关系求出的度数，再根据折叠求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可；（3）设，然后类似（2）的方法求解即可．解：（1）解：根据题意，得，∴，由折叠的性质得，，∴，∴；（2）解：∵，∴，由（1）知：，∴，∵，∴，由折叠的性质得，，∴，∴，由折叠的性质得，，∴.（3）解：理由：设，∴，由（1）知：，∴，∵，∴，由折叠的性质得，∵，∴，∴，由折叠的性质得，∴，∴，∴．6．（25-26七年级下·山东青岛·期中）今天我们来探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线．如图1，长方形纸条中，，，，，分别是长方形纸条边，上两点（）将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点．（1）①若，则_____________．②若，则____________（用含的式子表示）．（2）如图2，在图1的基础上将对折，点落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由．（3）如图3，在图1的基础上，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，，若，则的度数为_____________．【答案】（1）①；②；（2），理由见分析；（3）．【分析】（1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果；②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果；（2）由题意得，，由平行线的性质得，推出，即可得出；（3）先证，再证，最后根据平角可得度数，即可得解．解：（1）解：①由题意得：，，，，；故答案为：；②由题意得：，，，，，故答案为：；（2）解：，理由如下：由题意得：，，，，，；（3）解：如图，即交于点，由折叠的性质得到：，，，，，，，，，，，，在平角上，则有，，．故答案为：．【题型3】旋转与平行线动态综合题（6题）考法：将含30°、45°的三角板绕顶点旋转，结合平行线的判定与性质，探究角度变化或平行条件。1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）将一副三角板如图放置，点B，D重合，点F在上，与交于点G．，，，现将图中的绕点F按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，当的对应边所在直线与垂直时，旋转时间为（

）A．15秒 B．秒 C．10秒 D．5秒【答案】A【分析】设直线与直线交点为点H，与交点为K，求出，进而求出的度数即可得到答案．解：如图，当时，设直线与直线交点为H，与交点为K，∴，∵，（因为），∴，∴，∴旋转时间为．2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，线段，P为上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，同时将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，．若，则的面积为（

）A．8 B．8.5 C．10 D．10.5【答案】D【分析】设，，由题意可得，，由旋转的性质可得，，，，则，连接，则，利用完全平方公式求出，即可得出结果．解：设，，由题意可得：，，由旋转的性质可得：，，，，∴，如图，连接，则，∵，∴，∴，∴的面积为．3．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，是由绕点逆时针旋转而得，且，，平分，则________．【答案】【分析】由旋转的性质可得，，由平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，最后根据求解即可．解：是由绕点逆时针旋转而得，，，，，，平分，，，．4．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，若与的某一边平行（不共线）时，的值为___________．【答案】或【分析】分三种情况讨论，，，再根据平行线的性质求解即可．解：当时，如图，则，则的值为；当时，如图，则，，，的值为．当时，如图，则的值为（不符合题意）．综上，若与的某一边平行（不共线）时，的值为或．5．（25-26八年级下·广东茂名·期中）在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．（1）如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转度，才能使落在上；（2）如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到如图2的位置，得到，当时，为多少度？【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据旋转角的定义计算即可；（2）设，分别表示出和，进而求解；解：（1）解：由题意知，至少旋转的大小，∵，，∴，即至少旋转75度，才能使落在上；（2）解：由旋转的性质得，设，则，，∵，∴，∴，∴．6．（25-26七年级下·广西南宁·期中）在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“平行线和直角三角尺”开展数学活动．【操作发现】如图1，将一个含角的直角三角尺的一边与直线重合，其中，．将该三角尺绕点逆时针旋转，如图2所示，过点作直线，的角平分线与直线交于点．（1）当时，求的度数；（2）当为多少度时，？请说明理由．（3）【拓展探究】如图3，延长得射线，与的角平分线交于点．在旋转过程中，的度数是否会随的变化而变化？若会，用含的代数式表示；若不会，求出的度数．【答案】（1）；（2），理由见分析；（3）不会，【分析】（1）求得，再利用平行线的性质可得，即可解答；（2）利用平行线的性质可得，再根据角平分线的定义推出，即可解答；（3）过点作，可得，再推出，利用平行线的性质即可解答．解：（1）解：，，，

，，

；（2）解：，理由如下：当时，，，，

平分，，．.（3）解：不会，，理由如下：过点作，，

，，为的角平分线，，由对顶角相等得：，为的角平分线，，，∴∠AFC=∠CFH−∠AFH=1【题型4】命题证明与几何推理综合题（6题）考法：以平行线、三角形为载体，考查完整的证明过程书写，或判断命题真假并说明理由。1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）下列各命题的逆命题是真命题的是（

）A．对顶角相等 B．内错角相等C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】本题主要考查了逆命题、真假命题、内错角、对顶角、平方根以及等式性质等知识．依据内错角、对顶角的定义以及平方根的运算法则、等式性质逐项分析判断即可．解：A、“对顶角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这个命题是假命题，故不合题意；B、“内错角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是内错角”，这个命题是假命题，故不合题意；C、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故符合题意：D、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是假命题，故不合题意．故选：C．2．（2024八年级上·全国·专题练习）用反证法证明：“若，则中至少有一个为0．”应假设（

）A．都不为0 B．只有一个为0C．至少有一个为0 D．都为0【答案】A【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤；反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．解：反证法的第一步是假设结论的反面成立，即假设结论不成立的情况．在这个问题中，结论是“a，b中至少有一个为0”，其反面就是“a，b都不为0”．故选：A．3．（25-26七年级下·广东东莞·期中）下列命题中：①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补．真命题有_______个．【答案】3【分析】根据对顶角的性质，平行线的判定与性质，逐个判断每个命题的真假，统计真命题的个数即可．解：①对顶角相等，是真命题；②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题未说明两条直线平行，是假命题；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补，是真命题．综上，真命题共有个．4．（2026九年级下·北京·专题练习）能说明命题“若，，则”是假命题的一组实数、的值为______，______．【答案】2（答案不唯一）1（答案不唯一）【分析】由可知，、同正或同负；由可知，，若要命题是假命题，只需找到时，，此时、同正，据此取、值即可．解：当，时，，，，此时满足，，但，则命题是假命题．5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．你选择的条件；________，结论：_____（填序号）．【答案】①②③；④，证明见分析【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义；选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到．解：选择的条件：①②③，结论：④．证明如下：，，，，平分，，，，，，，．故答案为：①②③；④．6．（2025·福建泉州·二模）已知实数a、b、c、m、n满足，．（1）当时，求证：；（2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数．【答案】（1）见分析；（2）见分析【分析】本题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．（1）先得出，，求出，再根据证明结论；（2）假设m，n没有一个奇数，则，都为偶数，所以为偶数，找出矛盾进而证明结论．解：（1）解：因为，，所以，，所以，因为，，所以，所以，即．（2）解：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数，所以，都为偶数，即，都为偶数，所以为偶数，这与为奇数矛盾，所以假设不成立，所以m，n至少有一个为奇数．【题型5】图形变换中的线段或角度最值问题（6题）考法：结合平移、折叠、旋转，探究线段长度的最值或角度的取值范围，常结合平行线的距离、点到直线的距离求解。1．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值转化为．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，

∵平分，，，∴，∴，此时取最小值．∵的面积为18，，∴，∴．即的最小值为6，故选：A．2．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为14，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为（

）A．6 B．8 C．12 D．18【答案】B【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．连接，过点O作交的延长线于H，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点P与点H重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得．解：如图，连接，过点O作交的延长线于H，

∵，且，∴，∵点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，∴，，，∵，∴，∴的面积为，由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，最小值为，∴的面积的最小值为，故选：B．3．（24-25七年级下·河南·期末）如图，在中，，是边上一点，，，，若点和点关于对称，点和点关于对称，则点，之间的距离的最小值是______，点，之间的距离的最大值是______．【答案】【分析】本题考查轴对称，掌握垂线段最短是解题的关键．根据轴对称的性质，得到，，推出，，三点共线，得到，进而得到当最小时，最小，当最大时，最大，进行求解即可．解：连接，，，点和点关于对称，，，点和点关于对称，，，，，，，，三点共线，，当最小时，最小．是上一点，时，最小，此时，，，的最小值为是上一点，点与点重合时，最大，的最大值为，故点，之间的距离最小值是，点，之间的距离最大值是，故答案为：；4．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是边上的动点，则的最小值是_____．【答案】【分析】本题考查了轴对称路径最短问题，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键．解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．