2026-2027学年山西省太原市现代双语学校等校高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年山西省太原市现代双语学校等校高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(1+5i)i的虚部为(

)A.−1 B.0 C.1 D.62.已知集合A={x|x+12−x≥0}，B={y|y=x−1A.[1,2) B.[0,2) C.[−1,2) D.(2,+∞)3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为直角的扇形，则该圆锥的母线长为(

)A.2 B.22 C.4 4.已知x，y∈R，且2x+y=4，则4x+2yA.8 B.6 C.4 D.25.已知a=3−0.1,b=logA.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<b<a6.将函数f(x)=3sin2x+cos2x的图象向左平移π6个单位长度得到g(x)，则A.是奇函数，最小正周期为π2 B.是偶函数，最小正周期为π

C.是奇函数，最小正周期为π D.是偶函数，最小正周期为7.已知函数f(x)=4cos(π2−ωx)⋅cos(ωx−π6)−1(ω>0)在区间[−π3A.[0,38] B.[13,8.已知对于∀x，y∈R，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0.对于∀t∈R，不等式f(et)+f(at)<0恒成立，则实数a的取值范围为A.(1e,0] B.(−e,0] C.(−∞,−e)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=tan(2x+π4A.f(x)的最小正周期为π2

B.f(x)的定义域为{x|x≠kπ2+π8,k∈Z}

C.y=|f(x)|10.定义域为R的函数y=f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，且f(x+2)=f(x−2)，当x∈[0,2)时，f(x)=2x−1，则下列结论正确的是A.当x∈(−2,0]时，f(x)=2−x−1

B.函数g(x)=f(x)−|log2(x−1)|有3个零点

C.f(2025)=111.数学中有许多美丽的曲线，如图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线C1：x23+y24=1，上顶点为E，右顶点为G，曲线C2上的点满足到F(0,−1)和直线y=1的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过F作斜率小于0的直线l与两曲线从左到右依次交于A，B，A.曲线C2由两条抛物线的一部分组成

B.线段AF的长度与A点到直线y=5的距离相等

C.若线段AB的长度为56，则直线l的斜率为−34

D.若S△AFE三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a=

13.已知sin(α+π6)=310，则14.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为2α，用一个平面Γ去截该圆锥面，随着圆锥的轴和Γ所成角β的变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的离心率为e=cosβcosα，比如，当α=β时，e=1，此时截得的曲线是抛物线.如图2，在底面半径为1，高为22的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，SE=2EC，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=−x3+x2+ax．

(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；

(2)若x=−1是函数f(x)的一个极值点，求16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥CD，AD//BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD=1，M为线段PD的中点．

(1)求证：CM//平面PAB；

(2)若PA=2，求PC17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1,acosA=2b−ccosC．

(1)求角A；

(2)若D是线段BC的中点，且AD=32，求△ABC的面积；

18.(本小题17分)

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn=3an−3，n∈N+．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足bn=log319.(本小题17分)

已知函数f(x)=xlnx−ax2．

(1)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；

(2)若a=1，求证：f(x)≥−ex−1；

(3)若a=3，m≠−3，关于x的不等式f(x)x≤−(m+2)lnx−n+21.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】ABD

10.【答案】BCD

11.【答案】ABD

12.【答案】4

13.【答案】415014.【答案】315.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=−x3+x2+x，

求导得f′(x)=−3x2+2x+1，

令f′(x)=0，即−3x2+2x+1=0，解得x=−13或x=1，

当x∈(−∞,−13)时，f′(x)<0；当x∈(−13,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0．

所以f(x)的单调递减区间为(−∞,−13)和(1,+∞)，单调递增区间为(−13,1)；

(2)因为x=−1是函数f(x)的一个极值点，所以f′(−1)=0，

由f′(x)=−3x2+2x+a，得f′(−1)=−3(−1)2+2(−1)+a=−5+a=0，解得a=5，

此时f(x)=−x3+x2+5x，f′(x)=−3x2+2x+5，

令f′(x)=0，即−3x2+2x+5=0，解得x=53或x=−1，

16.【答案】解：(1)证明：取PA的中点N，连接NM，NB，

由M，N分别是PD，PA的中点，可得MN/​/AD，且MN=12AD，

而BC/​/AD，且BC=12AD，则MN/​/BC，且MN=BC，

则四边形MNBC为平行四边形，可得CM//BN，

而CM⊄平面PAB，BN⊂平面PAB，则CM/​/平面PAB；

(2)由PA⊥CD，PA⊥AB，AB，CD为相交直线，可得PA⊥平面ABCD，

以A为坐标原点O，AD，AP所在直线分别为x，z轴，

过A与直线DC平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系A−xyz，

可得A(0,0,0)，P(0,0,2)，D(2,0,0)，C(2,1,0)，B(1,1,0)，

则PC=(2,1,−2)，PB=(1,1,−2)，PD=(2,0,−2)，

设平面PBD的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅PB=x+y−2z=0，n⋅PD=2x−2z=0，

可取x=1，则z=1，y=1，即n=(1,1,1)17.【答案】解：(1)由正弦定理可知sinAcosA=2sinB−sinCcosC，即sinAcosC=2sinBcosA−sinCcosA，

所以sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=2sinBcosA，

又A+B+C=π，sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，所以sinB=2sinBcosA，

因为sinB>0，因此cosA=12，因为A∈(0,π)，所以A=π3．

(2)根据第一问及余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，即1=b2+c2−bc，①

又因为AD=12AB+12AC，则AD2=(12AB+12AC)2，

那么AD2=14AB2+14AC2+12AB⋅18.【答案】an=3n，

Tn=(n−1)⋅3n+1+3

由(1)可知，cn+2cn⋅cn+1=(n+2)⋅219.【答案】(0,1e)

证明：因为a=1，所以f(x)=xlnx−x2，

故要证f(x)≥−ex−1，需证xlnx−x2≥−ex−1，即证lnx−x+