YMO数学竞赛2025春季九年级复赛真题试卷含答案解析可打印

第1页共六页第2页共六页第5页共六页第6页共六页第3页共六页第4页共六页赛区：学校：赛区：学校：姓名：年级班联系方式：∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕∕密〇封〇装〇订〇线∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕密封线内不要答题YMO青少年数学思维研学交流活动复赛试卷注意事项：考生按要求用黑色.蓝色圆珠笔或钢笔在密封线内填好考生的相关信息。考试时间90分钟。总分阅卷人本试卷共6页，满分100分。不得在答卷做任何标记。考生超出答题区域答题将不得分。考生在考试期间不得作弊，否则试卷记零分处理。初中九年级试题选择题（每题3分，共计30分）1．若a使得关于x的分式方程2x−2−2=a2x−4有正整数解，且方程axA．2B．3C．4 D．12．设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是6－42，则ab的值为A．1B．16C．116D．-13．有两个一元二次方程：①ax2+bx+c=0；②cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，下列四个结论中，错误的是（）。A．如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根B．如果方程①的两根符号相同，那么方程②的两根符号也相同C．如果9999是方程①的一个根，那么-9999是方程②的一个根D．如果方程①和②有一个相同的根，那么这个根可能是x=-14．平面直角坐标系xOy中，P点坐标为(m,2n2−10)，且实数m，n满足2m−3n2+9=0，则点P到原点A．3510 B．125 C．65．已知两个多项式A=x2+x+1，B=x2−x+1，①若A+B=10，则x=−2或②A−B−4+A−B+6=③A×B=0，则关于x的方程无实数根；④若x为正整数(x≠4)，且A−7B−13为整数，则x=2，3，上面说法正确的有（）。A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．满足x2+y2=1的所有实数对(x,y)，使yA．3−22 B．12 C．33 D．7．若x1，x2，x3，x2005−x12005−x22005−xA．1 B．3 C．5 D．78．如图，已知AB=12，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点。当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（）。A．36 B．33 C．4D．39．如图，将平行四边形ABCD绕点D逆时针旋转150°，得到平行四边形DEFG，这时点C，E，G恰好在同一直线上，延长AD交CG于点H．若AD＝4，∠A＝75°，则HG的长是（）。83 B．63 C．6+4310．如图，在△BCP中，BP=2，PC=4，现以BC为边在BC的下方作正方形ABCD并连接AP，则AP的最大值为（）。

A．25 B．6C．4+22D．填空题（每题3分，共计30分）1.关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=2（a、b、m均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣8）2+b+1=1的解是（

）。2．已知x=6−25为一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，且a，b为有理数，则a+b=（

3．关于x的方程x2−(m−2)x−m24=0的两个实根x1,x2满足4．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1，且过点(①abc<0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c<0；⑤a﹣b≥m（am+b）；其中所有正确的结论是（

）。（填写正确结论的序号）5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ADC=90°，∠ADB=2∠ABC，若CD=6，AD−BD=47，则AC的长为（

）6．如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=19−62，BC=2，则BD的长为（

）7．一个六位数a1991b能被15整除，这样的六位数共有（

）个。8．若一个三位正整数m=abc（各个数位上的数字均不为0）满足a+b+c=9，则称这个三位正整数为“和谐数”。对于一个“和谐数”m，将它的十位数字和个位数字交换以后得到新数n，记F(m)=m+n9，如：m=126满足1+2+6=9，则126为“和谐数”，那么n=162，所以F(126)=126+1629=32，对于任意一个“和谐数”m，若F(m)都能被8整除，那么满足条件的“和谐数”是（9．如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA=43，则阴影部分的面积为（

10．如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA=EB，则∠DOE的度数是（

）度。三、解答题（每题8分，共计40分）1．如图，A为y轴负半轴上一点，M、N是函数y=−34x+3的图像上的两个动点，且AM⊥AN，若MN2．如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的圆交AD于点M，交BD于点O，延长AO至点C，使OC=AO，连结CD，BC。（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AM=3，BO=5，求cos∠DAB3．当三个非负实数x，y，z满足关系式x+3y+2z=3与3x+3y+z=4时，M=3x−2y+4z的最小值和最大值分别是多少？4．已知点M为抛物线y=−x2+2mx+2m+1的顶点，点N为直线l：(1)求点M的坐标（用含m的代数式表示）(2)若MN⊥l①当MN最小时，求直线MN的解析式；②y轴上是否存在一点P，使得△PMN为等腰直角三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。5．若一个各数位上数字均不为0的四位数M的千位数字大于百位数字，且千位数字与百位数字和的平方等于十位数字与个位数字组成的两位数，则称这个四位数M为“完全平方和数”。例如：M=3116，∵3>1且（3+1）又如：M=7295，∵7>2但（7+2）2(1)判断5481，9185是否是“完全平方和数”，并说明理由。(2)一个“完全平方和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）=c2+d2，Q（M）=（a+b）2

YMO青少年数学思维研学交流活动复赛试卷九年级答案一、选择1-5ABCBD6-10CABCB二，填空题1.6或102.-23.5或−1.4.③④⑤5.2466.22-17.68.117，126，135，144，153，162，1719.43+4π10.120三，解答题1.0,−132.（1）证明：∵AB是直径，∴∠AOB=90