上海市长宁区2026届高三下学期教学质量调研数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市长宁区2026届高三下学期教学质量调研试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合，，则______.【答案】2.已知正实数a、b满足，则的最小值等于____________．【答案】43.已知向量，，若，则实数________.【答案】4.在的展开式中，含项的系数为______．【答案】5.函数，的值域为________.【答案】6.已知随机变量的分布为则的期望为________.【答案】7.设等比数列的前项和为，若，，则_______.【答案】638.在中，是的中点，，，则_________.【答案】79.将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）.【答案】10.已知复数满足：，且，则的最小值为________.【答案】11.如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为50cm，宽均为10cm.点、、、在同一条直线上，点在边上，点在边上，测得、两点间距离为.为了使，则、两点间距离为_________cm.（精确到）【答案】12.等腰的三个顶点均在椭圆上，且、、中有且仅有两个点是椭圆的顶点，则满足条件的共有________个.【答案】20二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B14.对于随机事件、，，“”是“、互相独立”的（）条件.A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分非必要【答案】C15.将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（）.A. B.C. D.【答案】B16.已知.①存在，使得函数在上严格增；②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点.对于以上两个结论，下列判断正确的是（）A.①正确，②错误； B.①错误，②正确；C.①正确，②正确； D.①错误，②错误.【答案】C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：kg）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86.（1）求该组数据的极差和第25百分位数；（2）依据体检数据，求得这10名学生体重（单位：kg）关于身高（单位：cm）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：cm）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1）；（3）体重（kg）与身高（m）平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下列联表.男生女生总计观察值预期值观察值预期值不肥胖99168肥胖总计120200求表中的值.已知零假设为：肥胖与性别无关，计算男生肥胖人数的预期值（精确到0.1）.解：（1）将数据从小到大排列：52，54，55，56，58，62，68，74，86，88，故极差，因不为整数，故第25百分位数是第三个数为55.（2），因回归方程为过样本中心点，故，得.（3）由列联表的性质，女生不肥胖人数为，女生人数总计，所以，男生肥胖的预期值.18.如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，.（1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；（2）若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值.解：（1）设圆锥的底面半径为，母线为，，圆锥的侧面积，所以，则圆锥的高，则圆锥的体积.（2）因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面，则与平面所成角为，所以，又因为，所以，取的中点，连结，，因为，，所以，，为二面角的平面角,因为，，所以，，所以二面角的平面角的正切值为.19.已知（其中，）.（1）若函数的图象过点，求不等式的解集；（2）若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围.解：（1）将代入，可得，得，故，该对数函数为定义在上的减函数，故由可得，解得，故不等式的解集为.（2）由已知可得，即，故，整理可得，故，得，由题意可知方程有两个不同的实数根，且两根都大于，设，当时，，即函数在区间上有两个零点，故，解得，当时，，即函数在区间上有两个零点，故，不等式无解，综上可得实数的取值范围为.20.双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、.（1）求的离心率；（2）设直线与轴交于点，且，求点的横坐标；（3）若、关于原点对称，证明：直线经过定点.（1）解：将代入双曲线方程可得：，因为双曲线中，所以，即离心率：.（2）解：设，直线方程为，令，得，即可知，令，得，即可知，由，可得：，则由纵坐标对应相等可得

，由（1）知双曲线化简为，代入得，解得或（因为此时与点重合故舍去），即.（3）证明：设，由关于原点对称得，计算得直线的斜率可得所以有，设直线，联立，可得：，设，由韦达定理得，由可得：，整理得：，所以，所以，代入韦达定理可得：，所以，所以，所以，所以，则或，当时，直线恒过点，不符合题意，故，此时直线恒过点.21.设连续函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为.（1）设，，若，求实数的值；（2）设，，若，且，求的值；（3）已知，，且对任意闭区间，与均存在.求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.”（1）解：由题意知函数，在区间上的最小值为，由题意得，①当时，恒成立，在区间上单调递增，无最小值，不满足题意；②当时，当时，，在区间上单调递减，当时，，此时在区间上单调递增，此时，满足题意；③当时，恒成立，在区间上单调递减，无最小值，不满足题意；综上所述，.（2）解：由题意得,当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，又，①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，此时，因为，所以，又在区间上单调递减，即，所以，故；②当时，在区间上单调递减，此时，满足；③当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时，因为，在区间上单调递减，所以，则，得到，解得，综上所述：或或.（3）证明：必要性：若在区间上严格增，设，因为在区间上严格增，所以，又，，所以，又在区间上严格增，所以，必要性成立；充分性：假设在上不严格增，则存在，使得，令，设，，由函数在区间连续，所以必存在，使得，令，则，，由于，