2026-2027学年内蒙古赤峰市三校高二（上）联考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年内蒙古赤峰市三校高二（上）联考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层随机抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检(

)A.20家 B.10家 C.15家 D.25家2.在如图给出的频率分布直示图三种分布形态中，关于平均数，众数和中位数的说法正确的是(

)

A.图1中，中位数>平均数=众数

B.图2中，众数<中位数<平均数

C.图3中，中位数<平均数<众数

D.三个图中，中位数与平均数和众数都大致相等3.若1z=2−i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.样本数据为9，9，9，10，10，11，12，12，13，15的第55百分位数为(

)A.9.5 B.10 C.10.5 D.115.已知圆锥的底面半径为2，母线长6，则该圆锥的侧面积为(

)A.12π B.4π C.16π D.166.设一组样本数据x1，x2，⋯，xn的平均数为3，方差为4，则数据3x1+1，3x2A.12 B.33 C.6 7.甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为x，y，A表示事件“x>4”，B表示事件“y为奇数”，C表示事件“x+y>8”，D表示事件“x+y=7”，则相互独立的事件是(

)A.A与C B.B与C C.C与D D.B与D8.元宵活动中有个游戏为掷骰子，规则是“一局游戏有6次投掷机会，只要能投掷出6点便视为游戏成功，否则，游戏失败”.假设骰子质地均匀，则随机玩一局游戏，比较游戏成功与失败的可能性，下列说法正确的是(

)A.游戏成功的可能性更大 B.游戏失败的可能性更大

C.游戏成功与游戏失败的可能性一样大 D.游戏成功与游戏失败的可能性无法比较二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，下列事件是随机事件的是(

)A.3件都是红色 B.3件都是白色 C.至少有1件红色 D.有1件白色10.对于两个相互独立的事件A，B，已知P(A)，P(B)均大于0.(

)A.若P(A)=P(B)=13，则P(AB)=19

B.若P(A)+P(B)=1，则P(AB)的最大值是14

C.A，B可能是对立事件

11.已知x1，x2，x3，x4，x5都是互不相同的自然数，且这组数据的平均数为A.这组数据最多有4个数据大于7

B.这组数据最多有4个数据小于7

C.若这组数据的标准差为2，则x12+x22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设事件A，B，已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，A，B相互独立，则P(A∪B)=

．13.如图所示，在棱长均为2的平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，∠A′AB=∠A′AD=∠BAD=60°，点M为BC′与B′C的交点，则AM的长为

．

14.如图在三棱锥P−ABC中，G为△ABC的重心，PD=λPA,PE=μPB,PF=12PC,λ,μ∈(0,1)，若PG交平面

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为x，黄色骰子与地面接触的面上的数字为y.(先列出样本空间和随机事件再求)

(1)记事件A为“xy≠4”，求事件A的概率；

(2)记事件M为“x+y能被2整除”，事件N为“x>y”，求事件M∪N的概率．16.(本小题15分)

如图，在空间四边形OABC中，2BD=DC，点E为AD的中点，设OA=a，OB=b，OC=c．

(1)试用向量a，b，c表示向量OE；

(2)17.(本小题15分)

随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图(分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]).已知样本中评分在[70,80)内的快递车比评分在[60,70)内的快递车多40辆．

(1)求a，b的值；

(2)现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前20%的车为A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线；

(3)为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分不低于80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均低于90分的概率．18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB=AD=1，BC=CD=3，PA=AC=2，N为PC上一点．

(Ⅰ)求证：BD⊥PC；

(Ⅱ)若N为PC的中点，求三棱锥N−PBD的体积；

(Ⅲ)若BN/​/平面PAD，求PN的长．19.(本小题17分)

在某比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首轮由四人抽签两两对阵，两场比赛胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；第二轮，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到最后的决赛，败者淘汰出局并获得第三名；最后一场比赛在剩下的两人间进行，胜者获得冠军，败者获得第二名.已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(0<p<1)，且不同对阵结果相互独立．

(1)若p=12．

①求甲获得第四名的概率；

②设甲总共进行了3场比赛为事件M，甲获得冠军为事件N，证明：事件M，N相互独立；

(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人抽签两两对阵，两场比赛的胜者晋级到决赛(争夺冠军)，败者参加三、四名排位赛，哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】AD

10.【答案】ABD

11.【答案】BCD

12.【答案】0.7

13.【答案】1114.【答案】1

15.【答案】解：(1)由题意可知，所有样本点可表示为(x,y)，其中x，y都是1，2，3，4中的数，

则样本空间Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，

(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，

(4,2)，(4,3)，(4,4)}且n(Ω)=16，

事件A：“xy≠4”，则对立事件A−：“xy=4”，

对立事件A−={(1,4),(2,2),(4,1)}，

符合条件的基本事件数n(A−)=3，

所以P(A−)=n(A−)n(Ω)=316，因此P(A)=1−P(A−)=1316；

(2)由(1)可知，n(Ω)=16，

事件M∪N表示“x+y能被2整除或x>y”，

则事件M∪N包含样本点为：(1,1)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)16.【答案】解：(1)∵2BD=DC，所以BD=13BC=13(OC−OB)，

∴OD=OB+BD=OB+117.【答案】解：(1)根据题意可得10(a+b+0.04+0.01)=1，200×10×b−200×10×a=40，

所以a+b=0.05，b−a=0.02，

解得a=0.015，b=0.035；

(2)达到前20%时的分数线，等价于求第80百分位数．

从低分段累计频率：0.50<0.80，0.50+0.40=0.90>0.80，

第80百分位数落在[80,90)区间，且为80+0.8−0.50.04=87.5，

估计A等车的分数线为87.5分；

(3)分层抽样：评分在[80,90)有80辆，评分在[90,100]有20辆，

按比例抽取5辆：[80,90)组：80100×5=4辆，[90,100]组：20100×5=1辆．

编号：在[80,90)组的4辆车记为1，2，3，4；[90,100]组的1辆车记为5．

样本空间Ω={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}

找出“两车评分均低于90分”的事件(即两车都来自[80,90)组，不含5)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，18.【答案】解：(Ⅰ)证明：因为AB=AD=1，BC=CD=3，又AC=2，

所以AC为线段BD的垂直平分线，

所以BD⊥AC，

又PA⊥底面ABCD，又BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD，又AC∩PA=A，

所以BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，

所以BD⊥PC；

(Ⅱ)根据题意可得△ABC≌△ADC，且AB2+BC2=AC2，

所以AB⊥BC，CD⊥AD，且sin∠BAC=32，

所以∠BAC=60°，∠BCA=30°，

所以三角形BCD为等边三角形，

又N为PC的中点，PA⊥底面ABCD，

所以三棱锥N−PBD的体积为：

VN−PBD=VP−BDN=VC−BDN=VN−BCD

=13×12×3×3×32×1=34；

(Ⅲ)取CD中点E，PC中点N，

则NE/​/PD，

又三角形BCD为正三角形，E为CD中点，

所以CD⊥BE19.【答案】解：(1)①记“甲获得第四名”为事件A，即甲双败，

则甲获得第四名的概率为P(A)=(1−12)2=14．

②甲总共进行了3场比赛，有四种可能性分别为：

第一轮胜进入“胜区”，第二轮胜进入决赛，决赛胜获得冠军；

第一轮胜进入“胜区”，第二轮胜进入决赛，决赛败获得第二名；

第一轮胜进入“胜区”，第二轮败，第三轮败获得第三名；

第一轮败进入“败区”，第二轮胜，第三轮败获得第三名；