湖北孝感市楚天协作体2026届高三下学期开学考试数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北孝感市楚天协作体2026届高三下学期开学考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.已知为虚数单位，则的虚部为（）A. B.1 C. D.3.已知，则（）A. B. C. D.4.若平面向量两两的夹角相等，且，则（）A.3 B.4 C.3或0 D.4或15.若函数是奇函数，则的值为（）A.2 B. C. D.16.已知圆与直线相交于两点，当最小时，的值为（）A. B. C. D.7.已知四面体满足均为等腰三角形，若，则该四面体外接球的表面积为（）A. B. C. D.8.若，则下列不等关系一定不成立的是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.下列说法中正确的有（）A.一组数据48，49，53，54，55，55，55，57的下四分位数为51B.在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系C.经验回归方程为时的观测值为34，则残差为0.009D.将总体划分为两层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差11.已知双曲线为坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线位于第一象限上的点，分别是的内心、重心，则下列说法正确的是（）A.的横坐标为B.直线与双曲线相切C.的最大值是D.若轴，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____．13.已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，满足，则椭圆的离心率_____．14.已知，则_____；_____．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知分别为的内角所对的边，且．（1）求；（2）已知是边的中点，求的最大值．16.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点．（1）求证：平面；（2）试问在线段上是否存在一点，使得平面与底面所成夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由．

17.2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立．（1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率；（2）从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；（3）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望．18.已知函数为无理数且.（1）求在区间的最值；（2）若对恒成立，求的取值范围；（3）对于，证明：．

19.已知点是抛物线的焦点，是抛物线上的一点且有．（1）求抛物线的方程；（2）已知点，连接、并延长交抛物线于另外一点．（i）若抛物线上有且仅