湖南衡阳市衡阳县第四中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南衡阳市衡阳县第四中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.复数，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A3.向量，化简后等于（）A. B.0 C. D.【答案】C4.若函数，则（）A. B.2 C.3 D.4【答案】D5.设函数是定义在上的奇函数，且，则（）A. B. C. D.【答案】D6.在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.5【答案】D7.为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到与的线性回归方程，则（）346722.54.5A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C8.人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：），其中为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为，当训练个单位的数据量所需的时间为时，（）A.10000 B.15000 C.20000 D.30000【答案】A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知集合，，若，则a的取值可以是（）A. B.0 C.2 D.【答案】BC10.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.一共有5项B.第3项为C.所有项的系数和为0D.所有项的二项式系数和为32【答案】CD11.已知函数，则下列结论正确的是（

）A.函数的最小正周期为B.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象C.函数的图象关于点对称D.函数在区间上单调【答案】ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，满足，，，则________.【答案】113.若函数在区间上不是单调函数，那么实数的取值范围是__________.【答案】（2，5）14.某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有_________种.（用数字作答）【答案】288四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知角θ的终边与单位圆相交于点．（1）的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）角θ的终边与单位圆相交于点，，．（2），，．（3）．16.在中，角，，所对的边分别是，，．已知，，．求：（1）的值；（2）的值；（3）边上的高．解：（1）由正弦定理，得，解得．（2）由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍去），所以．（3）由（2）知．三角形面积．又边即边，设边上的高为，则．故边上的高为．17.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.（1）将y表示为x的函数；（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．解：（1）如图，设矩形的另一边长为am，则y=45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360，由已知xa=360,得，所以y=225x+.（2），∴y=225x+当且仅当225x=时，等号成立.即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.18.如图在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是，，的中点．（1）求直线与所成角的余弦值．（2）求证：⊥平面．（3）求三棱锥的体积．（1）解：以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，已知正方体棱长为1，E，F，G分别是，，的中点，则，，设直线与所成角为，则.（2）证明：在正方体中，底面，底面，，为中点，是等腰直角三角形，，又，平面，平面．（3）解：．19.甲盒中有3个黑球，3个白球，乙盒中有4个黑球，2个白球，丙盒中有4个黑球，2个白球，三个盒中的球只有颜色不同，其他均相同，从这三个盒中各取一球.（1）求“三球中至少有一个为白球”的概率；（2）设表示所取白球的个数，求的分布