温州大学《线性代数》课件-第七章

线性代数

第七章

温州大学10/28/2026E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410应用举例平行四边形的面积平行六面体的体积E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410

在本节中我们将阐述二阶、三阶行列式的几何解释，即用二阶行列式求平面图形的面积，用三阶行列式求平行六面体的体积．

E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410一、平行四边形的面积

设有二阶行列式，令则向量组

，

称为二阶行列式D的列向量组．如图1–3所示，向量

，

确定一个平行四边形．关于二阶行列式与其列向量组有以下定理．E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410定理5

二阶行列式D的列向量组所确定的平行四边形的面积等于｜D｜．例17

计算由点（–2,–2）,（4,–1）,（6,4）,和（0,3）定的平行四边形的面积．见图1–6a．实验一E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410解例17

计算由点（–2,–2）,（4,–1）,（6,4）,和（0,3）确定的平行四边形的面积．见图1–6a．（0,0）,（6,1）,（8,6）和（2,5）．先将此平行四边形平移到使原点作为其一点的情形．例如，将每个顶点坐标减去顶点（–2,–2）,这样，新的平行四边形面积与原平行四边形面积相同，其顶点为见图1–6b．E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410构造行列式则所求平行四边形的面积为28．E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410例18

如图1–7所示的四边形的四个顶点的坐标分别为（0,0）,（5,1）,（5,3）和（2,5）,求其面积．用该例中的方法可求多边行的面积，进而可求任意不规则平面图形面积的近似值．xyE6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410例18

如图1–7所示的四边形的四个顶点的坐标分别为（0,0）,（5,1）,（5,3）和（2,5）,解以（0,

0）为起点作三个向量求其面积．则四边形的面积等于由

、

所确定的三角形的面积与由

、

所确定的三角形的面积之和．xyE6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410而由

、

所确定的三角形的面积为由

、

所确定的三角形的面积为所以所求四边形的面积为5+9.5=14.5．E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410例b1判别下列各题中给出的三个点是否共线，(1)

(-1,-1),(1,3),(2,5);若不共线，求由它们确定的三角形的面积．(2)

(1,2),(-1,2),(2,-1).E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410(1)

(-1,-1),(1,3),(2,5);解(1)以(-1,-1)为起点作两个向量构造二阶行列式由于二阶行列式D

=0,所以以为邻边的平行四边形的面积等于零，故三点共线.几何意义如图所示.(-1,-1)(1,3)(2,5)xyOE6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410(2)

(1,2),(-1,2),(2,-1)以(1,2)为起点作两个向量构造二阶行列式由于二阶行列式D

=6,的平行四边形的面积等于6，三角形的面积等于3，几何意义如图所示.所以以(-1,2)(2,-1)(1,2)xyO为邻边于是这三点所确定的E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410二、平行六面体的体积

对于三阶行列式令则向量组

，

，

称为三阶行列式D的列向量组．关于三阶行列式与其列向量组，我们有以下定理．E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410定理6

三阶行列式D的列向量组所确定的平行六面体的体积等于｜D｜．例19

求一个顶点在（1,1,1），相邻顶点在（1,0,2），（1,3,2），（–2,1,1）的平行六面体的体积．E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410例19

求一个顶点在（1,1,1），相邻顶点在（1,0,2），（1,3,2），（–2,1,1）的平行六面体的体积．解以（1,1,1）为起点作三个向量并以它们为列构造三阶行列式故所求平行六面体的体积为9．E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410顶点（1,1,1）移到原点后的平行六面体E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410例20

设有四点：O(0,0,0)，P(a,0,0)，Q(0,b,0)，R(0,0,c)，求由这四点所确定的四面体和平行六面体的体积，如图1–10所示．

E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410例b2判别下列各题中给出的四个点是否共面，(1)

(-1,1,3),(1,-1,1),(-1,1,1),(1,2,1)，若不共面，求由它们确定的四面体的体积．(2)

(1,-1,1),(-1,3,-1),(-2,2,1),(1,-2,2).E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410释疑解难

1.计算n

元排列的逆序数常用的方法有哪些?

答常用的方法有:

1）分别算出排在1,2,…,n-1,n

前面比它大的数码个数之和,即分别算出1,2,…,n-1,n

这n

个元素的逆序数,这n

个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A654102）分别算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,它们之和即为所求排列的逆序数.E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410

3）如果在不要求计算排列的逆序数而只要求讨论排列的奇偶性时，则可以利用对换，将所给排列

p1p2…pn

变成标准排列

12…n,根据对换次数的奇偶性来确定所给排列的奇偶性.如排列

523146879,对换1与

5,得

123546879,再对换

4与

5,得123456879,再对换

7与8,得

123456789.共对换

3次,故所给排列为奇排列.E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410

2.行列式有哪些常用公式?

答

常用公式有:

1)

范德蒙德行列式,即E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410

2)

三角行列式,即(上三角)(下三角)E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410

3.计算行列式的方法有哪些?

答

计算行列式的方法通常有:

1)

依定义计算行列式.

2)

用对角线法计算行列式,它只适用于二阶和三阶行列式.

3)

利用一些简单的、已知的行列式来计算行列式．例如，利用三角形行列式；一行（列）全为零的行列式；两行（列）成比例的行列式；范德蒙德行列式等等．E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410

４）利用行列式的性质对行列式进行变形，变成已知的或容易计算的行列式．

５）利用按行（列）展开的性质对行列式进行降阶来计算行列式．

６）用数学归纳法计算行列式．

７）综合运用上述各法来计算行列式．其中３），４），５），６），７）最常用．E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410

４．二阶和三阶行列式的计算可按对角线法进行，为什么n

阶（n＞３）行列式没有类似的法则？

答对于四阶行列式，如果按对角线法则，那么只能写出八项，然而依定义，四阶行列式共有４！＝２４项，另外，这样写出的项的符号也不一定正确．因此，在计算n

（n＞３）阶行列式时，再不能用对角线法则．E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410

５．计算行列式时利用行列式的性质很重要，试进一步加以说明．

答

计算行列式应根据具体情况具体分析，但总的原则是利用行列式的性质将所给行列式化成简单的，已知的或容易计算的行列式．下面列举几个常用到的情况．

１）将行列式各行（列）分别乘以一个数统统加到某一行（列）上去．比如爪型行列式：

E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410那么将第i

列的(-bi/ai)倍(i=2,3,…,n)统统加到第１列，得爪型行列式(ai

0,i=2,3,…,n)E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410其中所以

Dn=c1a2…an.已化为三角行列式E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410

2）逐行（列）相加减.比如计算从第n-1行直到第一行,每一行乘以-1加到下一行,得E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410副对角线以下的元素全为零E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410

3）加边法.此法大多适用于某一列（行）有一个相同的字母.比如计算E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410添加一行一列,得E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410用第一行的-1倍加到其它各行,得爪型行列式:E6636B02012BD195C019CE06C16E3014CE3D01E32711A616D0819A163DE988F38FC10C03BC41BA965B47D8F0472B73A72FC0F2BE2AA535FE6A09217157F1371DBF2DB6715F2B3FB870C24A65410

由爪型行列式的结果知,