北师大版数学 2.3.2 二次根式的四则运算（7题型+针对训练） 同步练习 含答案

第二章实数2.3.2二次根式的四则运算命题1：二次根式的乘法运算……………………1命题2：二次根式的除法运算……………………1命题3：二次根式的乘除混合运算………………2命题4：最简二次根式【常考点】………………2命题5：同类二次根式【易错点】………………3命题6：二次根式的加减运算……………………4命题7：二次根式的混合运算……………………5针对训练………………………5命题1：二次根式的乘法运算1．2×2=A．2 B．4 C．22 2．计算2×6所得结果是（A．6 B．8 C．23 D．3．计算12×3的结果是4．计算：(3−5．计算：8+命题2：二次根式的除法运算6．22的倒数是（

A．22 B．−22 C．27．计算：18÷   =3A．6 B．6 C．2 D．28．方程6x=3的解为（A．x=33 B．x=22 C．9．计算：−46÷210．化简：112÷11．计算：(1)182(2)15÷命题3：二次根式的乘除混合运算12．计算15÷4A．1 B．354 C．1413．计算：67×1A．−4 B．−23 C．40 14．计算：6÷315．计算：8÷216．计算：36计算：ab(命题4：最简二次根式【常考点】18．下列各式是最简二次根式的是（）A．12 B．0.2 C．2 D．19．下列式子中，不是最简二次根式的是（

）A．4 B．5 C．6 D．720．在下列根式中，最简二次根式是（）A．24 B．15 C．13 D．21．已知a是一个正整数，20a也是正整数，则a的最小值为（）A．4 B．5 C．10 D．2022．若二次根式3m+9是最简二次根式，则m可取的最小整数为（

）A．1 B．0 C．−1 D．−223．写出一个大于2的最简二次根式．（写出一个即可）24．若3m−6是最简二次根式，则整数m的最小值为．25．把下列二次根式化为最简二次根式：(1)32；(2)14(3)1.5；(4)43命题5：同类二次根式【易错点】26．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（

）A．18 B．9 C．27 D．0.327．下列各根式中，是同类二次根式的是（

）A．3和9 B．2和1C．a2b和ab2 28．请写出一个23的同类二次根式29．若36与最简二次根式a−1可以合并，则a=30．若最简二次根式1−2a与7可以合并，则a的值为．31．已知最简二次根式3x−4与5可以合并，则x的值是．32．判断下列二次根式是否为同类二次根式．(1)138和(2)a和a2(3)2a和2a(4)m+nm−n和m−n命题6：二次根式的加减运算33．计算32+2A．22 B．−2 C．434．计算53A．3 B．3 C．33 D．4335．下列计算正确的是（

）A．3+2=C．3−2=136．计算：33−37．计算：32−38．计算：(1)2522计算：31命题6：二次根式的混合运算40．下列计算正确的是（）A．3+2=5 B．3×241．下列各式计算正确的是（

）A．53−23C．2×3=42．12×43．计算：71744．计算345．计算：(1)(6(2)24−(3)(针对训练：1．下列二次根式中可以与2进行合并的是（

）A．12 B．18 C．23 D．2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A．32 B．23 C．433．下列运算正确的是（

）A．−22=−2 B．2+3=54．下列各式计算正确的是（

）A．3+5=C．27÷3=35．若12和最简二次根式6a−3是同类二次根式，则a的值为（

）A．52 B．32 C．1 6．下列运算中错误的是（

）A．2⋅3=C．2+3=7．若a=1+2−1，b=A．6 B．62 C．3 D．8．计算：5+69．计算：(8−10．计算：212−4111．若最简二次根式a−1与1−b可以合并，则a+b的值是．12．若最简二次根式m−1与3是同类二次根式，则m的值是．13．若最简二次根式a+2a+3与2a+b相等，则a=，b=14．计算(1)33+5315．化简：(1)200．(2)2740.8．(4)−116．化简：(1)−(−81)×(−144)(2)122217．计算：(1)5−(2)3+18．计算：(1)18(2)4819．小颖计算54÷解：原式=54÷4=32=−3228小娜说小颖的计算是有问题的，你觉得第几步有问题？请写出小颖出错的原因，并写出正确的过程．20．已知最简二次根式4a−5与13−2a是同类二次根式．(1)求a的值；(2)若a≤x≤2a，化简：3−x+

第二章实数2.3.2二次根式的四则运算命题1：二次根式的乘法运算……………………1命题2：二次根式的除法运算……………………2命题3：二次根式的乘除混合运算………………4命题4：最简二次根式【常考点】………………5命题5：同类二次根式【易错点】………………9命题6：二次根式的加减运算…………………12命题7：二次根式的混合运算…………………14针对训练……………………16命题1：二次根式的乘法运算1．2×2=A．2 B．4 C．22 【答案】A【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．解题的关键是掌握二次根式的乘法法则：a×b=【详解】解：根据二次根式乘法法则a×可得2×故选：A．2．计算2×6所得结果是（A．6 B．8 C．23 D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式乘法，根据二次根式的乘法法则，先将根号内的数相乘，再化简为最简二次根式．【详解】解：2×故选C．3．计算12×3的结果是【答案】6【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可．【详解】解：12×故答案为：6．4．计算：(3−【答案】−2【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式直接计算即可得到答案．【详解】解：3−故答案为：−2．5．计算：8+【答案】5【分析】按照分配律进行二次根式的乘法运算，再合并即可．【详解】解：8==4+1=5；【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，熟记二次根式的乘法的运算法则是解本题的关键．命题2：二次根式的除法运算6．22的倒数是（

A．22 B．−22 C．2【答案】C【分析】本题主要考查二次根式的化简及倒数，直接根据求一个数的倒数的方法及二次根式的化简即可．【详解】解：22的倒数是2故选：C．7．计算：18÷   =3A．6 B．6 C．2 D．2【答案】D【分析】由18÷   =3【详解】解：∵18∴   ＝32＝2故答案为：D【点睛】本题考查二次根式的运算，根据相关知识点解题是重点.8．方程6x=3的解为（A．x=33 B．x=22 C．【答案】B【分析】通过等式变形，将x的系数化为1，再对根式进行化简计算．本题主要考查二次根式的运算及一元一次方程的求解，熟练掌握二次根式的化简与运算，通过系数化为1求解方程是解题的关键．【详解】解：由6x=3，两边同时除以得x=3∴x=3故选：B．9．计算：−46÷2【答案】−2【分析】本题考查二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据二次根式的除法法则进行计算即可．【详解】解：−4==−2×=−2故答案为：−210．化简：112÷【答案】12/【分析】本题考查了二次根式的除法，算术平方根．根据二次根式的除法运算法则计算，再求算术平方根，即可求解．【详解】解：112故答案为：1211．计算：(1)182(2)15÷【答案】(1)3(2)1【分析】本题考查了二次根式的除法运算．（1）先根据二次根式的性质化简，再计算二次根式的除法即可；（2）根据二次根式的除法运算法则计算即可．【详解】（1）解：18==3（2）解：15==1．命题3：二次根式的乘除混合运算12．计算15÷4A．1 B．354 C．14【答案】C【分析】根据二次根式的乘除混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可．【详解】解：原式==1故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合与运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除混合运算法则和运算顺序．13．计算：67×1A．−4 B．−23 C．40 【答案】D【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断．【详解】解：6=14=7．故选：D．14．计算：6÷3【答案】2【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，按顺序计算即可，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：6÷故答案为：2．15．计算：8÷2【答案】2【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．同级运算从左向右进行计算即可．【详解】解：8÷故答案为：2．16．计算：36【答案】310【分析】先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．【详解】解：原式=6×30=65=310【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键．17．计算：ab(【答案】a【分析】由二次根式有意义的条件可得c＞0，则a≥0，b≥0，再利用二次根式的乘除法的法则a⋅【详解】解：由题意得c＞0，a≥0，b≥0，∴ab＝ab＝a⋅＝a【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，解答的关键是明确c＞0，a≥0，b≥0和熟练运用二次根式的乘除法的法则．命题4：最简二次根式【常考点】18．下列各式是最简二次根式的是（）A．12 B．0.2 C．2 D．【答案】C【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可．【详解】A、12B、0.2=C、2，是最简二次根式，符合题意；D、20=2故选：C．19．下列式子中，不是最简二次根式的是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】本题考查最简二次根式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据最简二次根式的定义逐项判定即可．【详解】A、4=2B、5是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、6是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、7是最简二次根式，故本选项不符合题意．故选：A．20．在下列根式中，最简二次根式是（）A．24 B．15 C．13 D．【答案】C【分析】本题考查了最简二次根式，对选项依次判断即可．【详解】A、24=2B、15C、13，是最简二次根式，符合题意；D、32故选：C．21．已知a是一个正整数，20a也是正整数，则a的最小值为（）A．4 B．5 C．10 D．20【答案】B【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由20a是正整数且20a=25a，得到5a是完全平方数，即可求出【详解】解：∵20a是正整数，20a∴5a是完全平方数，∴a的最小值为5．故选：B．22．若二次根式3m+9是最简二次根式，则m可取的最小整数为（

）A．1 B．0 C．−1 D．−2【答案】D【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可．【详解】解：∵3m+9≥0，∴m≥−3，当m=−3时，3m+9=0当m=−2时，3m+9=故m可取的最小整数为−2，故选：D．23．写出一个大于2的最简二次根式．（写出一个即可）【答案】5（答案不唯一）【分析】本题考查实数的大小比较，根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可．【详解】解：∵2=4∴大于2的最简二次根式可以为5，故答案为：5（答案不唯一）24．若3m−6是最简二次根式，则整数m的最小值为．【答案】3【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，进行求解即可．【详解】解：∵3m−6≥0，∴m≥2，∵3m−6是最简二次根式，且m为整数，∴当m=2时，3m−6=当m=3时，3m−6=故答案为：3．25．把下列二次根式化为最简二次根式：(1)32；(2)14(3)1.5；(4)43【答案】(1)4(2)2(3)6(4)2【分析】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．（1）把32写成16×2，然后化简；（2）分子分母都乘以7，然后化简．（3）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，然后化简；（4）分子分母都乘以3，然后化简．【详解】（1）解：32=（2）解：147（3）解：1.5=（4）解：43命题5：同类二次根式【易错点】26．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（

）A．18 B．9 C．27 D．0.3【答案】C【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及同类二次根式的定义，正确对二次根式化简是关键．要判断与是同类二次根式的选项，需将各选项化简为最简二次根式，若被开方数为3，则为同类二次根式．【详解】A、18=3B、9=3C、27=3D、0.3=故选：C．27．下列各根式中，是同类二次根式的是（

）A．3和9 B．2和1C．a2b和ab2 【答案】B【分析】本题考查同类二次根式的概念，判断同类二次根式需化简为最简二次根式后比较被开方数，对各选项逐一判断即可．【详解】A、3已是最简，9=3B、2已是最简，12C、a2b=ab，abD、a+1和a−1被开方数不同，所以D选项不是同类二次根式；故选：B．28．请写出一个23的同类二次根式【答案】3（答案不唯一）【分析】本题考查同类二次根式的知识，比较简单，注意掌握同类二次根式指化为最简二次根式后，被开方数相同．根据同类二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同可写出3的同类二次根式．【详解】解：由题意得：23是3故答案为：3（答案不唯一）．29．若36与最简二次根式a−1可以合并，则a=【答案】7【分析】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，根据题意得a−1=6，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解：依题意得：a−1=6，解得：a=7，故答案为：7．30．若最简二次根式1−2a与7可以合并，则a的值为．【答案】−3【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，若两个最简二次根式能够合并，那么这两个最简二次根式的被开方数相同；根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得1−2a=7，求解即可．【详解】解：由题意得，1−2a=7，解得a=−3，故答案为：a=−3．31．已知最简二次根式3x−4与5可以合并，则x的值是．【答案】3【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式可以合并的条件是化简后被开方数相同．根据二次根式可以合并的条件进行计算即可．【详解】∵最简二次根式3x−4与5可以合并，∴3x−4=5，解得x=3，故答案为：3．32．判断下列二次根式是否为同类二次根式．(1)138和(2)a和a2(3)2a和2a(4)m+nm−n和m−n【答案】(1)不是；(2)不是；(3)不是；(4)是．【分析】本题主要考查二次根属性及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键．（1）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案；（2）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案；（3）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案；（4）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案．【详解】（1）解：∵138=∴138和（2）解：∵a2∴a和a2（3）解：∵2a∴2a和2a（4）解：∵m+nm−n=m∴m+nm−n和m−n命题6：二次根式的加减运算33．计算32+2A．22 B．−2 C．4【答案】C【分析】本题考查二次根式的加法，掌握算法是解决问题的关键．合并同类二次根式即可．【详解】解：32故选：C．34．计算53A．3 B．3 C．33 D．43【答案】C【分析】本题考查了二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的运算即可．根据二次根式的运算，进行合并同类二次根式即可．【详解】解：53故选：C．35．下列计算正确的是（

）A．3+2=C．3−2=1【答案】B【分析】本题考查了二次根式的加减运算．根据二次根式的加减运算法则逐一进行判断即可．【详解】解：A．2与3不能合并，原选项计算错误，不符合题意B．32C．3与−2D．3+故选：B．36．计算：33−【答案】3−22【分析】本题考查了二次根式的加减运算．先去括号，再计算减法即可．【详解】解：33故答案为：3−237．计算：32−【答案】3【分析】本题考查了二次根式的加减运算，先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】解：32故答案为：3638．计算：(1)25(2)22【答案】(1)4(2)4【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的加减运算；（1）直接合并同类二次根式即可；（2）先计算乘方，计算算术平方根，再合并即可.【详解】（1）解：25（2）解：2239．计算：31【答案】3【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，正确化简二次根式是解题的关键．先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】解：3=3×==3命题6：二次根式的混合运算40．下列计算正确的是（）A．3+2=5 B．3×2【答案】B【分析】本题主要考查了二次根式的加法，乘法，除法的运算以及二次根式的性质，根据二次根式的加法，乘法，除法的运算法则逐项计算判断即可．【详解】解：A．3和2不是同类二次根式，不能相加，故该选项不符合题意；B．3×C．12=2D．8÷故选：B．41．下列各式计算正确的是（

）A．53−23C．2×3=【答案】C【详解】本题考查二次根式的运算，正确运算是解决本题的关键．根据二次根式的运算法则，逐一验证各选项的正确性即可．【分析】解：选项A：53选项B：二次根式加法需满足同类根式才能合并，而2与3非同类根式，无法直接相加，故错误．选项C：2×选项D：10÷故选：C．42．12×【答案】7【分析】本题考查的知识点是二次根式的混合运算、二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的混合运算．结合二次根式的混合运算法则、二次根式的性质与化简进行运算即可．【详解】解：12×=2×6=62=72故答案为：7243．计算：717【答案】−6【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是注意运算顺序和运算法则．先利用分配律计算，再计算减法即可得；【详解】解：原式=1−7=−6，故答案为：−6．44．计算3【答案】−2【分析】本题运用平方差公式及完全平方公式,二次根式的运算等进行计算即可．【详解】解：(==3−1−(2+2=2−2−2=−245．计算：(1)(6(2)24−(3)(【答案】(1)−2(2)11(3)−12【分析】本题考查了实数的计算，熟练掌握实数的计算法则是解题的关键.（1）先进行去括号，然后合并同类项即可求解；（2）首先去括号，然后合并同类项即可求解；（3）先计算平方，然后去括号合并同类项即可求解.【详解】（1）解：原式=32（2）解：原式===11（3）解：原式=6−12=18−12=−122针对训练：1．下列二次根式中可以与2进行合并的是（

）A．12 B．18 C．23 D．【答案】B【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的性质与化简，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义进行解题即可．【详解】A、12=4×3=B、18=9×2=C、23=2D、32=3故选：B2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A．32 B．23 C．43【答案】A【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义逐一判断即可．【详解】解：A、32B、23C、43D、3x故选：A．3．下列运算正确的是（

）A．−22=−2 B．2+3=5【答案】D【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，直接根据二次根式的四则运算法则求解即可．【详解】解：A、−22B、2与3不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；C、33D、8÷故选；D．4．下列各式计算正确的是（

）A．3+5=C．27÷3=3【答案】C【分析】本题考查的是二次根式的运算，根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐项排查即可；掌握二次根式的相关运算法则是解答本题的关键．【详解】解：A.3和5不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误；B.32C.27÷D.23故选：C．5．若12和最简二次根式6a−3是同类二次根式，则a的值为（

）A．52 B．32 C．1 【答案】C【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，根据同类二次根式的定义，化简后根号内的数相同，由此建立方程求解．【详解】∵12=23和最简二次根式∴6a−3=3∴a=1．故选：C．6．下列运算中错误的是（

）A．2⋅3=C．2+3=【答案】C【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式相关的运算法则可进行排除选项．【详解】解：A、2×B、8÷C、2与3不是同类二次根式，所以计算错误，故符合题意；D、(−3故选：C．7．若a=1+2−1，b=A．6 B．62 C．3 D．【答案】A【分析】本题考查负指数幂的运算法则以及完全平方公式．先根据负指数幂的运算法则将a、b化简，再利用完全平方公式a2+b【详解】解：∵a=1+b=1−∴a+b=2ab=2∴a故选：A．8．计算：5+6【答案】−1【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，根据平方差公式计算即可．【详解】解：5==5−6=−1，故答案为：−1．9．计算：(8−【答案】2【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟记运算法则是解题的关键．利用完全平方公式进行计算即可．【详解】解：原式=8+2−2=10−8=2故答案为：210．计算：212−41【答案】20【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则化简运算即可，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．【详解】解：原式=2×2=4=4=20故答案为：20311．若最简二次根式a−1与1−b可以合并，则a+b的值是．【答案】2【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．掌握同类二次根式的概念是解本题的关键．根据同类二次根式的概念列出方程，求出a+b．【详解】解：∵最简二次根式a−1与1−b可以合并，∴a−1=1−b，∴a+b=2．故答案为2．12．若最简二次根式m−1与3是同类二次根式，则m的值是．【答案】4【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式的定义得出m−1=3，即可求出m的值，熟练掌握这两个定义是解题的关键．【详解】解：根据题意得m−1=3，解得m=4，故答案为：4．13．若最简二次根式a+2a+3与2a+b相等，则a=，b=【答案】03【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式，根据同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，可得方程组，根据解方程组，可得答案．【详解】解：由最简二次根式a+2a+3与2a+b相等，得a+3=2a+b解得：a=0b=3

故答案为：0，3．14．计算(1)3(2)16【答案】(1)8(2)−2【分析】本题主要考查了二次根式加法运算，实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．（1）根据二次根式加法运算法则，进行计算即可；（2）根据算术平方根定义，立方根定义，二次根式性质，进行计算即可．【详解】（1）解：33（2）解：16=4+=4−3−3=−2．15．化简：(1)200．(2)274(3)0.8．(