北师大版数学 暑假收心卷02（暑假测试） 新八年级 同步练习 含答案

暑假收心卷02（考试时间：90分钟试卷满分：120分）训练范围：新教材，北师大版八年级上册第一~六章。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（

）A． B． C． D．2．下列选项中，计算正确的是（

）A．4=±2 B． C． D．3．下列表示最能定位甘肃省博物馆准确位置的是(

)A．位于甘肃省 B．北纬，东经C．甘南州北偏东40°方向上 D．距离兰州市博物馆7千米4．某种纪念品的日购买人数与其售价呈一次函数关系，当售价为元时，日购买人数为人．设该纪念品的售价为每个x元，日购买人数为y人，则y与x可能满足的函数关系式为（

）．A． B． C．y=2x+10 D．5．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了8名本班学生每周用于课外阅读的时间x（单位：min），数据如下：106，113，96，98，100，102，104，111，则这组数据的四分位数是（

）A．99，103，108.5 B．99，102，108.5C．98.5，102，108 D．99，102，1086．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．其水面是边长为1丈的正方形（即AB=1丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面AB的部分为1尺（即EF=1尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇的长是（

）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺7．如果关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，那么k的值为（

）A．−2 B．3 C．5 D．8．如下图在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+ba≠0与yA．b<nB．y2随xC．当时，y1D．关于x，y的方程组ax−y=−bmx−y=−n的解为9．如图，矩形ABCD的一边AB在数轴上，点A对应的数为，点B对应的数为2，以矩形的对角线AC为半径画弧，交数轴于点E，若BC＝2，则点E对应的数为（

）A．2 B． C．13−1 D．10．A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发1h；②甲行驶的速度为；③3h时，甲、乙两人相距；④或时，乙比甲多行驶10km．其中正确的有哪几个（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．在平面直角坐标系中，已知点在y轴上，则a的值是_______．12．已知x=2y=−1是二元一次方程的一组解，则_______．13．已知△ABC的三边a，b，c满足，则△ABC的形状为________．14．小琳选中某通讯公司的极速流量包．已知每月的流量费用y（单位：元）与所用流量x（单位：）的函数关系如图所示，则超过套餐内流量（）后，每流量的费用____________元．15．某快递公司规定：寄到甲地的快递费，当物件质量不超过1千克时，一律按12元收取“首重”费用；当物件的质量超过1千克时，超过部分按价格2元/千克收取“续重”费用；如果某物件质量超过1千克，那么寄到甲地的快递费y（单位：元）与物件质量x（单位：千克）之间的函数表达式是______（无需写定义域）．16．已知a，b为实数，且，则的平方根是_____．三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分）17．完成下面各题：(1)计算：；(2)解方程组：．18．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=13，AB=14，高，求BC的长．19．如图，在正方形网格中，标明了学校附近的一些地方，其中每一个小正方形网格的边长代表1个单位长度．已知学校的坐标为，体育馆的坐标为6,1．(1)请在图中画出这个平面直角坐标系；(2)请直接写出超市和电影院所在位置的坐标．20．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点Am,4，一次函数图象与y轴的交点为C0,2，与x轴的交点为D．(1)求一次函数的表达式；(2)试判断点是否在一次函数图象上．21．随着2025年12月31日长征七号改运载火箭成功将实践二十九号卫星精准送入预定轨道，中国航天科技集团有限公司在2025年完成了全年73次宇航发射任务，再创历史新高．某校为了培养学生科技创新意识，开设了航模兴趣社团，计划购进甲、乙两种航模进行科创实验，据了解，2件甲航模和3件乙航模共需360元；3件甲航模和1件乙航模共需260元．(1)求甲、乙两种航模每件分别为多少元？(2)若该校计划用800元购买甲、乙这两种航模且每种航模至少购买一件，共有哪几种购买方案？请写出所有的购买方案．22．江苏盐城，中国盐文化发源地．某校举办“我为盐文化代言”演讲比赛，五位评委进行现场打分（评分取整数），将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．根据以上信息，回答下列问题：(1)完成表格；平均数/分中位数/分方差/分甲①乙9丙②8(2)根据（1）中数据分析，从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由；(3)在比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后乙的方差记为，则______．（填“<”或“>”或“=”）23．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点Px,y和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为−2,−5．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______；(2)化简：；(3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______．24．如图，直线y=−2x−4分别交x轴、y轴于A、B两点，直线y=kx+2k≠−2分别交x轴、y轴于C、D(1)直接写出A、B、D的坐标；(2)当k=−12时，直线y=k'x交直线AB于点M，交直线CD于点N(3)如图2，直线AB交直线CD于点E，当−2<k<0时，∠BED=45°，求k的值．

暑假收心卷02（考试时间：90分钟试卷满分：120分）训练范围：新教材，北师大版八年级上册第一~六章。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：A、点位于第一象限，不符合题意；B、点位于第四象限，不符合题意；C、点位于第二象限，不符合题意；D、点位于第三象限，符合题意．2．下列选项中，计算正确的是（

）A．4=±2 B． C． D．【答案】C【详解】解：A、，A错误；B：，∴B错误；C：，∴C正确；D：，∴D错误．3．下列表示最能定位甘肃省博物馆准确位置的是(

)A．位于甘肃省 B．北纬，东经C．甘南州北偏东40°方向上 D．距离兰州市博物馆7千米【答案】B【分析】本题考查平面内点的位置确定，根据“平面内确定一个点的准确位置需要两个独立数据”，逐一判断选项即可得到结果．【详解】解：A选项仅给出大范围区域，无法准确定位，C选项只有方向没有距离，D选项只有距离没有方向，都无法确定唯一位置，B选项给出北纬和东经两个确定的经纬度数据，可以唯一确定准确位置．4．某种纪念品的日购买人数与其售价呈一次函数关系，当售价为元时，日购买人数为人．设该纪念品的售价为每个x元，日购买人数为y人，则y与x可能满足的函数关系式为（

）．A． B． C．y=2x+10 D．【答案】D【分析】已知y与x为一次函数关系，且时y=20，只需将代入各选项验证，即可得到正确的函数关系式．【详解】解：选项A：，不符合条件；选项B：，不符合条件；选项C：，不符合条件；选项D：，符合条件．5．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了8名本班学生每周用于课外阅读的时间x（单位：min），数据如下：106，113，96，98，100，102，104，111，则这组数据的四分位数是（

）A．99，103，108.5 B．99，102，108.5C．98.5，102，108 D．99，102，108【答案】A【分析】先将数据从小到大排序，再根据四分位数的计算规则，分别计算25%、、75%分位数，即可得到结果．【详解】∵共有n=8个数据，先将数据从小到大排列得：96，98，100，102，104，106，111，113，按照四分位数计算规则，若i=n×p为整数，则p分位数为第项与第i+1项数据的平均数，计算得：对于25%分位数，i=8×0.25=2，∴25%分位数为98+100对于50%分位数，i=8×0.5=4，∴分位数为102+1042对于75%分位数，i=8×0.75=6，∴75%分位数为106+111∴这组数据的四分位数分别为：99，103，108.5．6．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．其水面是边长为1丈的正方形（即AB=1丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面AB的部分为1尺（即EF=1尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇的长是（

）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺【答案】C【分析】因为水池是边长为1丈的正方形，芦苇在正中央，所以可得到直角三角形一条直角边的长度为边长的一半，换算为统一单位尺．设芦苇的长度为x尺，那么根据芦苇高出水面1尺，可得到水深的表达式．利用勾股定理：因为把芦苇拉到岸边后，芦苇长度为斜边，水深和池中心到岸边的水平距离为两条直角边，所以可列出关于x的方程，求解方程即可．【详解】解：∵水池边长为10尺，芦苇长在水池正中央，∴中央到岸边的水平距离为尺；设水深为x尺，芦苇出水1尺，∴芦苇总长为尺，拉向岸边后芦苇长度就是直角三角形的斜边AG，在中，，解得，芦苇长为（尺）．7．如果关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，那么k的值为（

）A．−2 B．3 C．5 D．【答案】C【分析】由得：，从而得到，即可求解．【详解】解：，由得：，∵，∴，解得：k=5．8．如下图在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+ba≠0与yA．b<nB．y2随xC．当时，y1D．关于x，y的方程组ax−y=−bmx−y=−n的解为【答案】C【分析】由一次函数的图象和性质逐项判断即可．【详解】对于A，y1=ax+b过点0,b，y2=mx+n过点对于B，由函数图象可得，y2随x对于C，当时，由函数图象可得，y2在y1上方，故，故C错误，符合题意；对于D，方程组ax−y=−bmx−y=−n即y=ax+by=mx+n，由函数图象可得，交点坐标为239．如图，矩形ABCD的一边AB在数轴上，点A对应的数为，点B对应的数为2，以矩形的对角线AC为半径画弧，交数轴于点E，若BC＝2，则点E对应的数为（

）A．2 B． C．13−1 D．【答案】C【分析】先求出AB=3，然后由勾股定理求出AC的长，即可解决问题．【详解】解：∵点A对应的数为，点B对应的数为2，∴．，∴点E对应的数为．10．A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发1h；②甲行驶的速度为；③3h时，甲、乙两人相距；④或时，乙比甲多行驶10km．其中正确的有哪几个（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】A【分析】通过观察函数图象获取信息，利用路程、速度、时间的关系进行计算，以及列方程解决行程问题.根据图象分别求出甲、乙的速度及函数解析式，逐一判断各结论即可【详解】解：由图象可知，乙从t=0时出发，甲从t=1时出发，∴乙比甲提前出发，故①正确；甲从到行驶了，∴甲行驶的速度为，故②正确；乙从到行驶了，∴乙行驶的速度为，当时，乙行驶的路程为，此时甲行驶的路程为，∴甲、乙两人相距，故③错误；设乙离开A地的距离s与时间t的函数关系式为，当时，甲未出发，，若乙比甲多行驶，则，解得；当时，甲离开A地的距离s与时间t的函数关系式为，若乙比甲多行驶，则，解得，∴④错误；综上所述，正确的结论有①②．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．在平面直角坐标系中，已知点在y轴上，则a的值是_______．【答案】1【详解】解：∵点在y轴上，，解得：a=1．12．已知x=2y=−1是二元一次方程的一组解，则_______．【答案】2025【分析】将x，y的值代入得到，然后整体代入计算即可．【详解】解：将x=2y=−1代入原方程得：，，．13．已知△ABC的三边a，b，c满足，则△ABC的形状为________．【答案】直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．【详解】解：∵，∴，∴△ABC是直角三角形．14．小琳选中某通讯公司的极速流量包．已知每月的流量费用y（单位：元）与所用流量x（单位：）的函数关系如图所示，则超过套餐内流量（）后，每流量的费用____________元．【答案】5【分析】观察函数图象，找出超过套餐流量后的起始点和终止点坐标，利用费用变化量除以流量变化量即可求解．【详解】解：由函数图象可知，当所用流量为时，费用为30元，当所用流量为时，费用为元，则超过套餐内流量后，每流量的费用为：（元）．15．某快递公司规定：寄到甲地的快递费，当物件质量不超过1千克时，一律按12元收取“首重”费用；当物件的质量超过1千克时，超过部分按价格2元/千克收取“续重”费用；如果某物件质量超过1千克，那么寄到甲地的快递费y（单位：元）与物件质量x（单位：千克）之间的函数表达式是______（无需写定义域）．【答案】【分析】根据题意，总快递费由首重费用和续重费用两部分组成，先求出超过1千克部分的质量，再根据收费规则列出函数关系式，化简后即可得到结果．【详解】解：当物件质量千克时，快递费分为两部分：首重（1千克内）固定收费12元；超过1千克的续重部分质量为(x−1)千克，续重费用为2(x−1)元，总快递费：y=12+2(x−1)=2x+10，∴函数表达式为y=2x+10．16．已知a，b为实数，且，则的平方根是_____．【答案】【分析】设，，则原方程可整理为，通过完全平方公式变形可得，结合非负数的性质可得m=4，n=1，从而计算出，，则，最后求平方根即可．【详解】解：设，，则m≥0，，，，∴，，代入原方程可得，整理，得，变形，得，∵，，∴，，∴m=4，n=1，∴，，符合题意，∴，∵的平方根为，∴的平方根为．三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分）17．完成下面各题：(1)计算：；(2)解方程组：．【答案】(1)4(2)【详解】（1）解：=4（2）解：由①可得出，把代入②得：，解得：y=0，把y=0代入得：x=3，∴方程组的解为：x=3y=018．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=13，AB=14，高，求BC的长．【答案】【分析】由CD⊥AB，则∠ADC=∠BDC=90°，在中，通过勾股定理得，从而求得，最后由勾股定理即可求解．【详解】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，在中，，∴，∴在中，．19．如图，在正方形网格中，标明了学校附近的一些地方，其中每一个小正方形网格的边长代表1个单位长度．已知学校的坐标为，体育馆的坐标为6,1．(1)请在图中画出这个平面直角坐标系；(2)请直接写出超市和电影院所在位置的坐标．【答案】(1)(2)超市，电影院【分析】（1）根据学校和体育馆的坐标建立平面直角坐标系；（2）根据超市和电影院所在位置写出坐标．【详解】（1）略（2）解：超市所在位置的坐标为−2,6，电影院所在位置的坐标为4,4．20．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点Am,4，一次函数图象与y轴的交点为C0,2，与x轴的交点为D．(1)求一次函数的表达式；(2)试判断点是否在一次函数图象上．【答案】(1)(2)不在【分析】（1）由题意可得点，然后根据待定系数法进行求解即可；（2）把x=2代入（1）中函数解析式进行求解即可．【详解】（1）解：由题意可把点Am,4代入正比例函数得：4=2m，解得：m=2，∴，∵一次函数y=kx+bk≠0的图象经过点，，∴2k+b=4b=2，解得：k=1∴一次函数的表达式为；（2）解：由（1）可知：一次函数的表达式为，∴把x=2代入一次函数得y=2+2=4，∴点不在一次函数图象上．21．随着2025年12月31日长征七号改运载火箭成功将实践二十九号卫星精准送入预定轨道，中国航天科技集团有限公司在2025年完成了全年73次宇航发射任务，再创历史新高．某校为了培养学生科技创新意识，开设了航模兴趣社团，计划购进甲、乙两种航模进行科创实验，据了解，2件甲航模和3件乙航模共需360元；3件甲航模和1件乙航模共需260元．(1)求甲、乙两种航模每件分别为多少元？(2)若该校计划用800元购买甲、乙这两种航模且每种航模至少购买一件，共有哪几种购买方案？请写出所有的购买方案．【答案】(1)甲航模每件60元，乙航模每件80元；(2)共有3种购买方案，分别为：①买4件甲航模，7件乙航模；②买8件甲航模，4件乙航模；③买12件甲航模，1件乙航模．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．（1）设甲航模每件x元，乙航模每件y元，根据“2件甲航模和3件乙航模共需360元；3件甲航模和1件乙航模共需260元”列方程组求解即可；（2）设购买甲航模a件，购买乙航模b件，根据甲、乙两种航模的单价及“用800元购买甲、乙这两种航模”列出二元一次方程，找出符合题意解即可．【详解】（1）解：设甲航模每件x元，乙航模每件y元，根据题意，得，解得答：甲航模每件60元，乙航模每件80元；（2）解：设购买甲航模a件，购买乙航模b件，根据题意，得，整理，得，∵a、b均为正整数，∴或或∴共有3种购买方案，分别为：①买4件甲航模，7件乙航模；②买8件甲航模，4件乙航模；③买12件甲航模，1件乙航模．22．江苏盐城，中国盐文化发源地．某校举办“我为盐文化代言”演讲比赛，五位评委进行现场打分（评分取整数），将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．根据以上信息，回答下列问题：(1)完成表格；平均数/分中位数/分方差/分甲①乙9丙②8(2)根据（1）中数据分析，从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由；(3)在比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后乙的方差记为，则______．（填“<”或“>”或“=”）【答案】(1)9，(2)选甲更合适，理由见解析(3)<【分析】本题考查了中位数，平均数，方差，熟练掌握相关定义与意义是解题关键．（1）分别根据中位数、平均数的定义进行计算，即可得到答案；（2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案；（3）先计算出去掉一个最高分和一个最低分后以的平均分，再根据方差公式计算，最后比较大小即可得到答案．【详解】（1）解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8，∴甲得分的中位数为9，由丙得分的扇形统计图可知，丙得分分别为：8，8，8，10，10，∴丙的平均数为（分）故答案为：9，．（2）解：选甲更合适，理由：因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲更合适；（3）解：去掉一个最高分和一个最低分之后，乙的平均数为，乙的方差，故答案为：<．23．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点Px,y和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为−2,−5．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______；(2)化简：；(3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______．【答案】(1)；(2)(3)2，【分析】本题考查了新定义问题，完全平方公式，二次根式的性质，解题的关键是理解“横负纵变点”的概念．（1）根据“横负纵变点”的概念，求解即可；（2）将转化为完全平方式的形式，再根据二次根式的性质求解即可；（3）根据完全平方公式以及二次根式的性质求得m，再根据“横负纵变点”的概念，求解即可．【详解】（1）解：由于，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为；由，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为；（2）解：，∴；（3）解