北师大版数学 专题1.3 丰富的图形世界（章节复习）（知识梳理+18个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 同步练习 含答案

专题1.3丰富的图形世界（章节复习）（知识梳理+18个考点讲练+中考真题演练+难度分层练共51题）TOC\o"1-2"\h\u知识梳理技巧点拨 2知识点梳理01：常见的几何体及分类 2知识点梳理02：柱体的相关概念及特征 3知识点梳理03：图形的构成及其关系 4知识点梳理04：正方体的展开与折叠 4知识点梳理05：棱柱的展开与折叠 5知识点梳理06：圆柱、圆锥的展开与折叠 5知识点梳理07：几何体的截面 6知识点梳理08：从三个方向看几何体 7知识点梳理09：画从三个方向看到的几何体的形状图 8优选题型考点讲练 8考点1：常见的几何体 8考点2：组合几何体的构成 9考点3：立体图形的分类 10考点4：几何体中的点、棱、面 10考点5：点、线、面、体四者之间的关系 11考点6：平面图形旋转后所得的立体图形 11考点7：从不同方向看几何体 12考点8：几何体展开图的认识 13考点9：由展开图计算几何体的表面积 14考点10：由展开图计算几何体的体积 15考点11：正方体几种展开图的识别 16考点12：正方体相对两面上的字 18考点13：含图案的正方体的展开图 19考点14：求展开图上两点折叠后的距离 19考点15：补一个面使图形围成正方体 20考点16：截一个几何体 21考点17：平面图形形状的识别 21考点18：用七巧板拼图形 22中考真题实战演练 22难度分层拔尖冲刺 24基础夯实 24培优拔高 26知识点梳理01：常见的几何体及分类1.立体图形各部分不都在同一平面内的几何图形叫作立体图形，也叫作几何体，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球都是常见的几何体..2.常见的几何体分为三类(1)按形状分为三类(柱体、锥体、球)名称

图示

特征

联系或区别柱体圆柱上、下底面是平行且相同的圆，侧面是曲面有两个面(底面)是互相平行的且它们的形状、大小都相同棱柱

底面侧面棱顶点上、

下

底

面

是平行且相同的多

边

形，

侧

面是平行四边形锥体圆锥只有一个底面且底面是一个圆，侧面是曲面

圆锥：有一个顶点；棱锥：各个侧面有一个公共顶点棱锥底面侧面棱顶点只有一个底面且底面是多边形，

侧

面

是

三角形球表面是曲面(2)按围成几何体的面分类几何体有曲的面：圆柱、圆锥、球、

圆台等

(3)按有无顶点分类几何体有顶点：圆锥、棱锥、棱柱、棱台等

知识点梳理02：柱体的相关概念及特征柱体的相关概念：在柱体中，相邻的两个面的交线叫做邻，相邻的两侧面的交线叫做侧棱.棱柱的特征棱柱所有的侧棱长都相等；棱柱上，下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；侧面的形状都是平行四边形.特别解读只有平的面与平的面的交线才叫作棱，直棱柱和斜棱柱的区分是直棱柱的侧棱与底面垂直，斜棱柱的侧棱与底面不垂直.棱柱的分类人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱(如图1.1-2)...,长方体、正方体都是棱柱.棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面都是长方形.知识点梳理03：图形的构成及其关系1.点、线、面、体的概念体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体.面：包围着体的是面，面有平面和曲面两种.线：面和面相交得到线，线有直线和曲线.点：线和线相交得到点.2.点、线、面、体的关系点动成线：笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时，就形成线.线动成面：汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面.面动成体：长方形硬纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成一个圆柱特别解读几何图形中的点只有位置，没有大小；线只有长短，没有粗细；面只有大小，没有薄厚.将一个平面图形旋转成立体图形需要明确旋转轴和旋转角度两个条件.知识点梳理04：正方体的展开与折叠正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图.类型

图示

口诀

数量一四一型中间四方连，两侧各一个

6

种二三一型(或一三二型)

中间三方连，两

侧

各

有

两个、一个3

种二二二型

中间二方连，两侧各两个

1

种三三型两排各三个，中间成一“日”

1

种知识点梳理05：棱柱的展开与折叠直棱柱的展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的.几种常见棱柱的展开图：名称

三棱柱

长方体五棱柱

六棱柱立体图形展开图(举例)知识点梳理06：圆柱、圆锥的展开与折叠1.圆柱的表面展开图 由两个大小相同的圆(底面)和一个长方形(侧面)组成，其中长方形的一边的长是底面圆的周长，与这条边相邻的另一边的长是圆柱的高.侧面展开图如图①所示，表面展开图如图②所示.2.圆锥的表面展开图 由一个扇形(侧面)和一个圆(底面)组成，其中扇形的半径长是圆锥的母线(即圆锥底面圆周上任一点与顶点的连线)长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长.侧面展开图如图①所示，表面展开图如图②所示.特别解读几何体与其表面展开图的联系：(1)一个几何体可以有多种表面展开图，如正方体，根据剪开的方式不同其表面展开图也不同；(2)不是所有几何体都可以展开，如球就不能展开.知识点梳理07：几何体的截面正方体的几种截面形状圆柱的几种截面形状圆锥的几种截面形状三棱柱的几种截面形状球的截面形状截面 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面.知识点梳理08：从三个方向看几何体1.从不同方向看几何体，往往会看到不同的形状图，一般从三个方向看：从正面看，从左面看，从上面看.2.常见的几何体从不同方向看到的形状图从不同方向看几何体从正面看从左面看从上面看知识点梳理09：画从三个方向看到的几何体的形状图从不同方向看

特点

图例从正面看能

看

到

几

何体的长和高看到的图形有上、下两

层，

排

成

左、

中、右三列，如右图所示从左面看能

看

到

几

何体的高和宽看到的图形有上、下两层，排成左、右两列，如右图所示从上面看能

看

到

几

何体的长和宽看到的图形有三列、两行，如右图所示哎考点1：常见的几何体【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是一个六棱柱，它的底面边长都是6cm，高是4(1)这个棱柱共有________顶点；(2)这个棱柱共有________条棱，所有棱长的和________cm；(3)这个棱柱的侧面积是________cm2【变式训练】（21-22七年级上·全国·课前预习）立体图形和平面图形的区别：①所含平面数量不同．是存在于一个平面上的图形是由一个或者多个平面形成的图形，各部分不在同一平面内，且不同的立体图形所含的平面数量不一定相同．②性质不同．平面图形是由的点组成的，而立体图形是由不同的构成的．由构成原理可知平面图形是构成立体图形的基础．③观察角度不同．平面图形只能从角度观察，而立体图形可从不同的角度观察，如左视图，正视图、俯视图等，且观察结果不同．④具有属性不同．平面图形只有长宽属性，没有高度；而立体图形具有长宽高的属性．考点2：组合几何体的构成【典例精讲】（21-22七年级上·全国·单元测试）如图，把一个棱长8厘米的正方体的六个面都涂上红色，再将它的棱四等分，然后从等分点把正方体锯开．(1)能得到多少个棱长为2厘米的小正方体？(2)三个面有红色的小正方体有多少个？(3)两个面有红色的小正方体有多少个？(4)一个面有红色的小正方体有多少个？(5)有没有各面都没有红色的小正方体？如果有，那么有多少个？【变式训练】（22-23七年级上·广东·单元测试）下列说法中错误的是（

）A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形C．圆柱的侧面可能是长方形D．正方体是四棱柱，也是六面体考点3：立体图形的分类【典例精讲】（2022七年级上·全国·专题练习）物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（

）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则V=πrA．6 B．5 C．4 D．3【变式训练】（21-22七年级上·全国·单元测试）在①球体；②柱体；③锥体；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面体的是()A．①～⑤ B．②③ C．④ D．④⑤考点4：几何体中的点、棱、面【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列几何体：①正方体；②长方体；③圆柱；④圆锥；⑤三棱锥；⑥球．回答下面的问题：（用序号填空）(1)表面都是平面的是，表面没有平面的是，表面既有平面又有曲面的是；(2)只有一个表面的是，有两个表面的是，有三个表面的是，有四个表面的是，有六个表面的是；(3)面与面相交都是直线的是，面与面相交都是曲线的是．【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的几何体中，面与面相交形成几条线？（

）A．5 B．6 C．7 D．8考点5：点、线、面、体四者之间的关系【典例精讲】（2023六年级下·上海·专题练习）如图，在长方体ABCD−EFGH中，可以把面DCGH与面BCGF组成的图形看作直立于面ABCD上的合页型折纸，从而说明棱⊥面ABCD．

【变式训练】（20-21七年级上·湖北咸宁·期末）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（

）A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转考点6：平面图形旋转后所得的立体图形【典例精讲】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图是一张长方形纸片，AB的长为4cm，BC的长为6cm．(1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是；（填名称）(2)若将这个长方形纸片绕AD边所在的直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留π）【变式训练】（22-23七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图是一张长方形纸片，长方形的长为8cm，宽为4(1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是什么？(2)求将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体的体积．（结果保留π）考点7：从不同方向看几何体【典例精讲】（24-25七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，是一个小正方体所搭几何体从上面看得到的平面图形，正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数．(1)请你画出它从正面和从左面看得到的平面图形．(2)若每个小正方体的棱长为1，求搭建几何体的体积，【变式训练】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）由8个棱长都为1的小正方体搭成的几何体如图1．(1)请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图．（一个网格为小立方体的一个面）(2)若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与你在图2方格中所画的形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需要___________个小立方体．考点8：几何体展开图的认识【典例精讲】（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）如图1，这个长方体的高为9cm，底面是一个边长为5(1)该长方体有___________个面，___________条棱．(2)如图2是该长方体表面展开图的一部分，请将它补充完整．(3)该长方体的侧面积是多少平方厘米？【变式训练】（24-25七年级上·福建厦门·期末）学习了“展开与折叠”后，同学们了解了一些简单几何体的展开图，小明在家用剪刀剪一个如图（1）的长方体纸盒，但不小心多剪开了一条棱，得到图（2）中的纸片①和②，请解答下列问题：(1)小明共剪开条棱．(2)现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在图（3）上补全．（画出所有可能的情况）(3)若长方体纸盒的长，宽，高分别为m，m，n（单位：cm,m>n考点9：由展开图计算几何体的表面积【典例精讲】（24-25七年级上·全国·期中）如图是由棱长为1cm的6(1)请在方格中画出该几何体从三个不同方向看到的形状图；(2)如果在这个几何体上再添加一些小立方块，并且从正面和左面看到的形状图不变，最多可以再添加_________块小立方块，此时该几何体的表面积为_________cm2【变式训练】（24-25七年级上·全国·期末）如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图．(1)这个几何体的名称是；(2)若从正面看到的长方形的宽为4cm，长为9cm，从左面看到的宽为3cm，从上面看到的直角三角形的斜边为5cm，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？考点10：由展开图计算几何体的体积【典例精讲】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，把一个边长为24cm的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从4cm变为5cmA．减少了44cm3 B．减少了60cm3 C．增加了【变式训练】（24-25七年级上·广东东莞·期末）综合与实践问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．操作探究：(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒；(2)如图，是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______；(3)如图，有一张边长为30cm的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒：①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；②若四角各剪去了一个边长为4cm考点11：正方体几种展开图的识别【典例精讲】（24-25七年级上·广东清远·期中）综合与实践【问题情境】某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作长方体纸盒．【操作探究】(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．(2)图2是嘉嘉的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是字．(3)如图3，有一张边长为40cm的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒，折成的纸盒高为5①四角应各剪去边长为cm的小正方形；②计算此长方体纸盒的容积．(4)根据如图4方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在边长为12cm的正方形纸板四角剪去两个边长为2【变式训练】（24-25七年级上·重庆·期末）【问题情境】元旦节，班级需要进行文化布置，各个学习小组分工制作装饰品：(1)小颖所在的综合实践小组准备制作一些无盖正方体纸盒收纳班级讲台上的小物件．图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）．(2)小志组准备制作一个有盖的大正方体盒子，他们先用5个大小一样的正方形制成如图2，3所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图2，图3中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．

(3)小亮组制作了若干个小正方体盒子，搭成几何体的形状，它从正面和上面看到的图形如图4所示，则这样的几何体有______种？它最多需要______个小立方块？最少需要______个小立方块？请分别画出需要小立方块最少时，从左面看到的几何体的形状图．（画出所有可能的情况）考点12：正方体相对两面上的字【典例精讲】（24-25七年级上·广东深圳·期末）小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图1），该“骰子”的六个面分别写着1，2，3，4，5，6，小明用自己做的正方体“骰子”进行了3次投掷，他看到的情形如图2所示，那么“1”对面的数字是（）A．3 B．4 C．6 D．2【变式训练】（22-23七年级上·四川达州·期末）有一个正方体，在它的各个面上分别标上字母A、B、C、D、E、F，甲、乙、丙三位同学从不同方向去观察其正方体，观察结果如图所示．问：F的对面是．考点13：含图案的正方体的展开图【典例精讲】（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）若将如图所示的平面图形围成正方体，则这个正方体可以是（

）

A．

B．

C．

D．

【变式训练】（2021·河北邢台·一模）把如图所示的正方形展开，得到的平面展开图可以是（

）A． B．C． D．考点14：求展开图上两点折叠后的距离【典例精讲】（23-24九年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是3cm，1cm，6cm的长方体的顶点A爬到顶点B，它从顶点A沿着棱AB直接爬到点B所走的路程，比它从点A开始经过4个侧面到达点B所走的最短路程少【变式训练】（20-21七年级上·山东青岛·单元测试）某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线．解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线．问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线．考点15：补一个面使图形围成正方体【典例精讲】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，在5×5的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有种．【变式训练】（22-23七年级上·山东济宁·期末）小强有6个大小一样的正方形，他已用5个正方形拼成了如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，他的第6个正方形可放在的位置（填写序号）．考点16：截一个几何体【典例精讲】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）将下列几何体进行分类：（在横线处写明序号即可）（1）有顶点的几何体是．（2）截面可能为四边形的是．（3）能由平的面旋转形成的是．（4）截面不可能是圆形的是．【变式训练】[教材尝试·思考变式]如图，用一个平面去截一个正方体，截面相同的是（

）A．①与② B．③与④ C．①与③④ D．①与②，③与④考点17：平面图形形状的识别【典例精讲】（24-25七年级上·陕西西安·期末）若将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角度数比为3:5:7，则最小的扇形的圆心角为（

）A．72° B．120° C．168° D．30°【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）下列几何图形中，是平面图形的有，是立体图形的有．（填序号）考点18：用七巧板拼图形【典例精讲】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）数学活动课上，小明用一张边长为10cm的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（

A．754cm2 B．75cm2 【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）文化情境•传统文化七巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具．如图是由一副七巧板组成的一个“狐狸”，组成这个图案的平面图形有．1．（2023·湖北宜昌·中考真题）“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（

）．

A．文 B．明 C．典 D．范2．（2022·山东淄博·中考真题）经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图形是（

）A．B．C． D．3．（2023·山东青岛·中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（）

A．31 B．32 C．33 D．344．（2023·山东枣庄·中考真题）有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同．现把它们摆放成不同的位置（如图）,请你根据图形判断涂成绿色一面的对面涂的颜色是(

)A．白 B．红 C．黄 D．黑5．（2023·浙江杭州·中考真题）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图（实线部分），经折叠后发现还少一个面．请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．基础夯实1．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，从前面看到的图是（）A． B． C． D．2．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”（金箍棒看成一条线）飞速旋转，形成一圆面，这说明了（

）A．点动成线 B．线动成面C．面动成体 D．两点确定一条直线3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，边长为5cm的正方形以它的一边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体是；从前面看这个几何体，所得图形的形状是，它的面积是．4．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体．(1)请在方格内分别画出从正面、左面、上面观察该几何体看到的形状图；(2)若这些小正方体的棱长为2cm5．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）（一）实践准备李老师带领七一班综合实践小组进行废物再利用的数学制作活动，他们准备用废弃的宣传单制作纸盒（有盖或无盖）．（二）操作探究（1）如图是“乐研组”制作的一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面分别标有“南，阳，值，得，三，顾”六个字，则“阳”相对面的文字是_________（2）“爱数组”准备制作一个无盖的正方体纸盒，则下列_________（填字母）图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．A．

B．C．

D．（三）尝试应用（3）如图2，这是一张长为23cm、宽为18cm的长方形包装纸，现要制成牛奶盒子．上下各留宽度均为4cm的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身．如图3，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多1cm．把图3中的包装纸折成图4中的牛奶盒子，想要装下280cm2培优拔高6．（24-25七年级上·重庆·期末）在正方体的六个面上，分别标上“我、的、愉、快、初、一”六个字，如图是正方体的三种不同摆法，则从左到右三种摆法的左侧面上三个字分别是（

）A．的、初、愉 B．中、的、愉 C．愉、初、一 D．的、初、一7．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·期末）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体相对面上的两数之积相等，则a+b的值是．8．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，正方体的平面展开图，每个正方形中都标注了一个汉字．反向思考，正方体中，标注“学”的面的对面标注的汉字是．9．（24-25七年级上·广东佛山·期中）综合与实践【主题】展开与折叠【素材】无盖的长方体盒子、剪刀【实践操作】沿着图1中边沿线剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记好四个面；【实践探索】(1)写出盒子底面相邻两边的长分别为、；（用含a的式子表示）(2)若①，②，③，④四个面上分别标有整式−x+1，8，3x−5，−6，且该盒子相对两个面上的整式和相等，求x的值；(3)请在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖．10．（24-25七年级上·陕西西安·期末）（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称．图①：__________，图②：_________，图③：__________；（2）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．

专题1.3丰富的图形世界（章节复习）（知识梳理+18个考点讲练+中考真题演练+难度分层练共51题）TOC\o"1-2"\h\u知识梳理技巧点拨 2知识点梳理01：常见的几何体及分类 2知识点梳理02：柱体的相关概念及特征 3知识点梳理03：图形的构成及其关系 4知识点梳理04：正方体的展开与折叠 4知识点梳理05：棱柱的展开与折叠 5知识点梳理06：圆柱、圆锥的展开与折叠 5知识点梳理07：几何体的截面 6知识点梳理08：从三个方向看几何体 7知识点梳理09：画从三个方向看到的几何体的形状图 8优选题型考点讲练 8考点1：常见的几何体 8考点2：组合几何体的构成 10考点3：立体图形的分类 12考点4：几何体中的点、棱、面 13考点5：点、线、面、体四者之间的关系 14考点6：平面图形旋转后所得的立体图形 15考点7：从不同方向看几何体 17考点8：几何体展开图的认识 18考点9：由展开图计算几何体的表面积 20考点10：由展开图计算几何体的体积 22考点11：正方体几种展开图的识别 24考点12：正方体相对两面上的字 28考点13：含图案的正方体的展开图 29考点14：求展开图上两点折叠后的距离 30考点15：补一个面使图形围成正方体 32考点16：截一个几何体 33考点17：平面图形形状的识别 35考点18：用七巧板拼图形 35中考真题实战演练 36难度分层拔尖冲刺 39基础夯实 39培优拔高 43知识点梳理01：常见的几何体及分类1.立体图形各部分不都在同一平面内的几何图形叫作立体图形，也叫作几何体，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球都是常见的几何体..2.常见的几何体分为三类(1)按形状分为三类(柱体、锥体、球)名称

图示

特征

联系或区别柱体圆柱上、下底面是平行且相同的圆，侧面是曲面有两个面(底面)是互相平行的且它们的形状、大小都相同棱柱

底面侧面棱顶点上、

下

底

面

是平行且相同的多

边

形，

侧

面是平行四边形锥体圆锥只有一个底面且底面是一个圆，侧面是曲面

圆锥：有一个顶点；棱锥：各个侧面有一个公共顶点棱锥底面侧面棱顶点只有一个底面且底面是多边形，

侧

面

是

三角形球表面是曲面(2)按围成几何体的面分类几何体有曲的面：圆柱、圆锥、球、

圆台等

(3)按有无顶点分类几何体有顶点：圆锥、棱锥、棱柱、棱台等

知识点梳理02：柱体的相关概念及特征柱体的相关概念：在柱体中，相邻的两个面的交线叫做邻，相邻的两侧面的交线叫做侧棱.棱柱的特征棱柱所有的侧棱长都相等；棱柱上，下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；侧面的形状都是平行四边形.特别解读只有平的面与平的面的交线才叫作棱，直棱柱和斜棱柱的区分是直棱柱的侧棱与底面垂直，斜棱柱的侧棱与底面不垂直.棱柱的分类人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱(如图1.1-2)...,长方体、正方体都是棱柱.棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面都是长方形.知识点梳理03：图形的构成及其关系1.点、线、面、体的概念体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体.面：包围着体的是面，面有平面和曲面两种.线：面和面相交得到线，线有直线和曲线.点：线和线相交得到点.2.点、线、面、体的关系点动成线：笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时，就形成线.线动成面：汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面.面动成体：长方形硬纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成一个圆柱特别解读几何图形中的点只有位置，没有大小；线只有长短，没有粗细；面只有大小，没有薄厚.将一个平面图形旋转成立体图形需要明确旋转轴和旋转角度两个条件.知识点梳理04：正方体的展开与折叠正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图.类型

图示

口诀

数量一四一型中间四方连，两侧各一个

6

种二三一型(或一三二型)

中间三方连，两

侧

各

有

两个、一个3

种二二二型

中间二方连，两侧各两个

1

种三三型两排各三个，中间成一“日”

1

种知识点梳理05：棱柱的展开与折叠直棱柱的展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的.几种常见棱柱的展开图：名称

三棱柱

长方体五棱柱

六棱柱立体图形展开图(举例)知识点梳理06：圆柱、圆锥的展开与折叠1.圆柱的表面展开图 由两个大小相同的圆(底面)和一个长方形(侧面)组成，其中长方形的一边的长是底面圆的周长，与这条边相邻的另一边的长是圆柱的高.侧面展开图如图①所示，表面展开图如图②所示.2.圆锥的表面展开图 由一个扇形(侧面)和一个圆(底面)组成，其中扇形的半径长是圆锥的母线(即圆锥底面圆周上任一点与顶点的连线)长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长.侧面展开图如图①所示，表面展开图如图②所示.特别解读几何体与其表面展开图的联系：(1)一个几何体可以有多种表面展开图，如正方体，根据剪开的方式不同其表面展开图也不同；(2)不是所有几何体都可以展开，如球就不能展开.知识点梳理07：几何体的截面正方体的几种截面形状圆柱的几种截面形状圆锥的几种截面形状三棱柱的几种截面形状球的截面形状截面 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面.知识点梳理08：从三个方向看几何体1.从不同方向看几何体，往往会看到不同的形状图，一般从三个方向看：从正面看，从左面看，从上面看.2.常见的几何体从不同方向看到的形状图从不同方向看几何体从正面看从左面看从上面看知识点梳理09：画从三个方向看到的几何体的形状图从不同方向看

特点

图例从正面看能

看

到

几

何体的长和高看到的图形有上、下两

层，

排

成

左、

中、右三列，如右图所示从左面看能

看

到

几

何体的高和宽看到的图形有上、下两层，排成左、右两列，如右图所示从上面看能

看

到

几

何体的长和宽看到的图形有三列、两行，如右图所示哎考点1：常见的几何体【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是一个六棱柱，它的底面边长都是6cm，高是4(1)这个棱柱共有________顶点；(2)这个棱柱共有________条棱，所有棱长的和________cm；(3)这个棱柱的侧面积是________cm2【答案】(1)12(2)18，96(3)144【思路引导】本题考查了认识立体图形．n棱柱的面是(n+2)个，侧面是n个，棱是3n条，顶点是2n个，熟练掌握是解决问题的关键．（1）根据三条棱交于一点，可得棱柱的顶点；（2）根据六棱柱的特点，可得棱的条数，然后根据底面边长侧棱长可得棱长的和；（3）运用底面周长乘以高即可得到侧面积．【规范解答】（1）∵上下两个底面各有6个顶点，∴6×2=12（个），∴这个棱柱共有12个顶点，故答案为：12个；（2）∵上下两个底面各有6条棱，侧面6条棱，∴6×3=18（条），∴6×6×2+4×6=72+24=96（∴这个棱柱共有18条棱，所有棱长的和是96cm，故答案为：18，96；（3）∵侧面积等于底面周长乘高∴6×6×4=144（cm2∴这个棱柱的侧面积是144cm2故答案为：144．【变式训练】（21-22七年级上·全国·课前预习）立体图形和平面图形的区别：①所含平面数量不同．是存在于一个平面上的图形是由一个或者多个平面形成的图形，各部分不在同一平面内，且不同的立体图形所含的平面数量不一定相同．②性质不同．平面图形是由的点组成的，而立体图形是由不同的构成的．由构成原理可知平面图形是构成立体图形的基础．③观察角度不同．平面图形只能从角度观察，而立体图形可从不同的角度观察，如左视图，正视图、俯视图等，且观察结果不同．④具有属性不同．平面图形只有长宽属性，没有高度；而立体图形具有长宽高的属性．【答案】平面图形立体图形不同平面图形一个考点2：组合几何体的构成【典例精讲】（21-22七年级上·全国·单元测试）如图，把一个棱长8厘米的正方体的六个面都涂上红色，再将它的棱四等分，然后从等分点把正方体锯开．(1)能得到多少个棱长为2厘米的小正方体？(2)三个面有红色的小正方体有多少个？(3)两个面有红色的小正方体有多少个？(4)一个面有红色的小正方体有多少个？(5)有没有各面都没有红色的小正方体？如果有，那么有多少个？【答案】(1)64个(2)8个(3)24个(4)24个(5)有，8个【思路引导】（1）棱长是8cm的立方体体积512cm3，棱长为2cm的小正方体体积为8cm3，由此能求出共得到多少个棱长为2cm的小正方体；（2）三面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的顶点处的小正方体，由此能求出三面涂色的小正方体有多少个；（3）二面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的各边上的正方体，由此能求出二面涂色的小正方体有多少个；（4）一个面有红色的小正方体位于棱长是8cm的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体，由此能求出二面涂色的小正方体有多少个；（5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是8cm的立方体中心的正方体，由此能求出六个面均没有涂色的小正方体有多少个．【规范解答】（1）棱长是8cm的立方体体积为：8×8×8=512（cm3），棱长为2cm的小正方体体积为8cm3，∴共得到512÷8=64个小正方体．（2）三面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的顶点处的小正方体，∵立方体共有8个顶点，∴三面涂色的小正方体有8个，（3）二面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的各边上的正方体，∵立方体共有12条边，每边有2个正方体，∴二面涂色的小正方体有24个，（4）一面涂色的小正方体在棱长是8cm的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体，∵立方体共有6个面，每个面有4个正方体，∴一面涂色的小正方体有24个，（5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是8cm的立方体中心的正方体，共有64-8-24-24=8个，【考点剖析】本题考查大正方体分割成小正方体的计算，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握正方体的结构特征．【变式训练】（22-23七年级上·广东·单元测试）下列说法中错误的是（

）A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形C．圆柱的侧面可能是长方形D．正方体是四棱柱，也是六面体【答案】C【思路引导】根据棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念选择即可．【规范解答】解：A．棱柱有两个完全相同且相互平行的面，故选项正确，符合题意；B．棱锥的底面是多边形，侧面是三角形，故选项正确，符合题意；C．圆柱的侧面是曲面，侧面展开图是长方形，故选项不正确，不符合题意；．D．正方体是四棱柱，棱柱都是多面体，正方体有六个面，所以是六面体，故选项正确，符合题意；故选：C．【考点剖析】此题考查了棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念，解题的关键是熟悉相关概念．考点3：立体图形的分类【典例精讲】（2022七年级上·全国·专题练习）物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（

）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则V=πrA．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【思路引导】3分钟后可以注满容器A，可以算出水的流速，从而可以得出6分钟内水龙头的出水量，然后得出答案．【规范解答】解：3分钟后可以注满容器A，A容器的体积为V=πr则6分钟的注入水量为80πcm设6分钟后容器A中水的高度是xcm当x<5时，π×22×5=20π当x=5时，π×22×5+π×当5<x≤10时，π×22故选：B．【考点剖析】本题考查了认识立体图形，解题关键是要读懂题目的意思，也考查了同学们的物理知识和分类讨论的思想．【变式训练】（21-22七年级上·全国·单元测试）在①球体；②柱体；③锥体；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面体的是()A．①～⑤ B．②③ C．④ D．④⑤【答案】D【规范解答】解：①球体只有一个曲面，故球体不是多面体；②柱体，圆柱有三个面，故柱体不一定是多面体；③锥体，圆锥有两个面，故锥体不一定是多面体；④棱柱至少有两个底面，三个侧面，故棱柱是多面体；⑤棱锥至少有一个底面，三个侧面，故棱锥是多面体．故选D．考点4：几何体中的点、棱、面【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列几何体：①正方体；②长方体；③圆柱；④圆锥；⑤三棱锥；⑥球．回答下面的问题：（用序号填空）(1)表面都是平面的是，表面没有平面的是，表面既有平面又有曲面的是；(2)只有一个表面的是，有两个表面的是，有三个表面的是，有四个表面的是，有六个表面的是；(3)面与面相交都是直线的是，面与面相交都是曲线的是．【答案】(1)①②⑤，⑥，③④(2)⑥，④，③，⑤，①②(3)①②⑤，③④【思路引导】本题主要考查了常见的立体图形的特征，（1）通过对每个几何体的面的特征进行观察和分析，即可确定它们的分类和交线情况；（2）通过对每个几何体的面的特征进行观察和分析，即可确定它们的分类和交线情况；（3）通过对每个几何体的面的特征进行观察和分析，即可确定它们的分类和交线情况；熟练掌握它们的特征是解决此题的关键．【规范解答】（1）解：∵正方体①由六个完全相同的正方形平面组成，长方体②由六个矩形平面组成，三棱锥⑤由多个三角形平面组成，∴表面都是平面的是①②⑤，∵球体⑥的表面是完全弯曲的，没有平的面，∴表面没有平面的是⑥，∵圆柱③由两个圆形平面和一个弯曲的侧面组成，圆锥④由一个圆形平面和一个弯曲的侧面组成，∴表面既有平面又有曲面的是③④，故答案为：①②⑤，⑥，③④；（2）∵球体⑥整个外表面是一个连续的曲面，只有一个表面，∴只有一个表面的是⑥，∵圆锥④由一个底面圆形平面和一个弯曲的侧面组成，共两个面，∴有两个表面的是④，∵圆柱③由两个圆形底面和一个弯曲的侧面组成，共三个面，∴有三个表面的是③，∵三棱锥⑤由三个三角形侧面和一个三角形底面组成，共四个面，∴有四个表面的是⑤，∵正方体①由六个正方形平面组成，长方体②由六个矩形平面组成，∴有六个表面的是①②；故答案为：⑥，④，③，⑤，①②；（3）∵正方体①、长方体②、三棱锥⑤的面与面相交的线都是直线，∴面与面相交都是直线的是①②⑤，∵圆柱③和圆锥④的面与面相交的线都是曲线，∴面与面相交都是曲线的是③④，故答案为：①②⑤，③④．【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的几何体中，面与面相交形成几条线？（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【思路引导】本题考查简单几何体，熟练掌握简单几何体的特征是解题的关键；根据面与面相交成线即可求解；【规范解答】解：面与面相交成条线；即侧面与上面相交的一条曲的和一条直的线，侧面与下面相交的一条曲的和一条直的线，侧面上的曲面与平面相交成两条直的线，共6条线；故选：B考点5：点、线、面、体四者之间的关系【典例精讲】（2023六年级下·上海·专题练习）如图，在长方体ABCD−EFGH中，可以把面DCGH与面BCGF组成的图形看作直立于面ABCD上的合页型折纸，从而说明棱⊥面ABCD．

【答案】CG【思路引导】根据直线与平面垂直的定义进行判断即可．【规范解答】解：∵面DCGH与面BCGF组成的图形看作直立于面ABCD上的合页型折纸，∴棱CG⊥面ABCD，故答案为：CG．【考点剖析】本题考查认识立体图形，理解直线垂直平面的定义是正确判断的前提．【变式训练】（20-21七年级上·湖北咸宁·期末）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（

）A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转【答案】A【思路引导】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解．【规范解答】A、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意；B、打开折扇是“线动成面”，故本选项不合题意；C、汽车雨刷的转动是“线动成面”，故本选项不合题意；D、旋转门的旋转是“面动成体”，故本选项不合题意；故选：A．【考点剖析】本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．考点6：平面图形旋转后所得的立体图形【典例精讲】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图是一张长方形纸片，AB的长为4cm，BC的长为6cm．(1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是；（填名称）(2)若将这个长方形纸片绕AD边所在的直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留π）【答案】(1)圆柱(2)96π【思路引导】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握圆柱的特征，以及圆柱的体积计算公式是解题的关键．（1）根据面动成体的原理，将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；据此即可求解．（2）根据题意可得，圆柱的底面半径为4cm，高为6【规范解答】（1）解：若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱，故答案为：圆柱；（2）∵长方形纸片绕AD边所在的直线旋转一周，AD=BC=6cm，AB=4∴AD为圆柱体的高ℎ=6cm，AB为圆柱体底面圆的半径r=4∴V=π×4【变式训练】（22-23七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图是一张长方形纸片，长方形的长为8cm，宽为4(1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是什么？(2)求将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体的体积．（结果保留π）【答案】(1)圆柱；(2)128πcm3或【思路引导】（1）若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；据此即可求解；（2）根据题意可得，圆柱的底面半径为4cm，高为8cm或底面半径为8cm本题考查了点、线、面、体，熟练掌握圆柱的特征，以及圆柱的体积计算公式是解题的关键．【规范解答】（1）将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是圆柱；（2）将此长方形纸片绕它的长所在直线旋转一周形成的几何体是底面半径为4cm，高为8cm的圆柱，体积为将此长方形纸片绕它的宽所在直线旋转一周形成的几何体是底面半径为8cm，高为4cm的圆柱，体积为所以将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体的体积是128πcm3或考点7：从不同方向看几何体【典例精讲】（24-25七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，是一个小正方体所搭几何体从上面看得到的平面图形，正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数．(1)请你画出它从正面和从左面看得到的平面图形．(2)若每个小正方体的棱长为1，求搭建几何体的体积，【答案】(1)见解析(2)12【思路引导】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．（1）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，3．据此可画出图形；（2）根据小正方体的个数可得体积．【规范解答】（1）解：如图所示：（2）解：由题意得，搭建几何体的体积为3+3+1+2+3×【变式训练】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）由8个棱长都为1的小正方体搭成的几何体如图1．(1)请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图．（一个网格为小立方体的一个面）(2)若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与你在图2方格中所画的形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需要___________个小立方体．【答案】(1)见解析(2)9【思路引导】此题考查了从不同方向看几何体等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．（1）根据从正面、从左面和从上面看到的形状画出图形即可；（2）由题意知，第一列最多需要2个小立方体，第二列最多需要3个小立方体，第三列最多需要4个小立方体，即可得出答案．【规范解答】（1）解：这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图如下：（2）解：若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与图2方格中所画的形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需要2+3+4=9（个）小立方体．故答案为：9．考点8：几何体展开图的认识【典例精讲】（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）如图1，这个长方体的高为9cm，底面是一个边长为5(1)该长方体有___________个面，___________条棱．(2)如图2是该长方体表面展开图的一部分，请将它补充完整．(3)该长方体的侧面积是多少平方厘米？【答案】(1)6,12(2)图见解析(3)该长方体的侧面积是180平方厘米【思路引导】本题考查长方体及其展开图：（1）根据长方体的特点，作答即可；（2）根据长方体的展开图，补全图形即可；（3）根据长方体的侧面积为底面周长乘以高进行计算即可．【规范解答】（1）解：长方体有6个面，12条棱；故答案为：6,12；（2）由图，补全表面展开图如图：（3）4×5×9=180cm答：该长方体的侧面积是180平方厘米．【变式训练】（24-25七年级上·福建厦门·期末）学习了“展开与折叠”后，同学们了解了一些简单几何体的展开图，小明在家用剪刀剪一个如图（1）的长方体纸盒，但不小心多剪开了一条棱，得到图（2）中的纸片①和②，请解答下列问题：(1)小明共剪开条棱．(2)现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在图（3）上补全．（画出所有可能的情况）(3)若长方体纸盒的长，宽，高分别为m，m，n（单位：cm,m>n【答案】(1)8(2)有四种情况；图见详解(3)对于展开图①，周长为6m+8n，对于展开图②，周长为8m+6n，对于展开图③，周长为6m+8n，对于展开图④，周长为8m+6n【思路引导】本题考查了几何体展开图，熟练掌握长方体的展开图是解此题的关键．（1）根据图形结合长方体的立体图形即可得出答案；（2）根据图形结合长方体的立体图形即可得出答案；（3）根据图形展开图即可得出答案．【规范解答】（1）解：由图可得：小明总共剪开了8条棱；（2）解：补全图形如图：（3）解：对于展开图①，周长为6m+8n，对于展开图②，周长为8m+6n，对于展开图③，周长为6m+8n，对于展开图④，周长为8m+6n．考点9：由展开图计算几何体的表面积【典例精讲】（24-25七年级上·全国·期中）如图是由棱长为1cm的6(1)请在方格中画出该几何体从三个不同方向看到的形状图；(2)如果在这个几何体上再添加一些小立方块，并且从正面和左面看到的形状图不变，最多可以再添加_________块小立方块，此时该几何体的表面积为_________cm2【答案】(1)作图见解析(2)2；28【思路引导】本题考查从不同方向观察简单组合体并画出图形，（1）先从三个不同方向观察几何体，然后画出相应的图形即可；（2）在从上面看的图形上相应位置备注出相应摆放的数目即可，然后再计算出该几何体的表面积即可；解题的关键是掌握从不同方向（从正面，从上面，从左面）观察几何体，能看到的部分的轮廓线画成实线，不能看到的部分的轮廓线画成虚线．【规范解答】（1）解：作图如下：（2）在备注数字的位置加摆相应数量的小正方体，∴最多可以再添加2块小正方体，∵如图是由棱长为1cm的6∴6×1×1×2＋此时该几何体的表面积为28cm故答案为：2；28．【变式训练】（24-25七年级上·全国·期末）如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图．(1)这个几何体的名称是；(2)若从正面看到的长方形的宽为4cm，长为9cm，从左面看到的宽为3cm，从上面看到的直角三角形的斜边为5cm，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？【答案】(1)三棱柱(2)这个几何体中所有棱长的和是51cm，表面积是120cm2【思路引导】此题考查判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键．（1）只有棱柱从左面看和从正面看才能出现长方形，根据从上面看是三角形，可得到此几何体为三棱柱；（2）3条长9cm的高，加上两个三角形的周长就是几何体的所有棱长和；三个长为9cm，宽分别为3cm、4【规范解答】（1）解：这个几何体是三棱柱．故答案为：三棱柱；（2）解：这个几何体的所有棱长的和=9×3+2×(3+4+5)=51(cm表面积=2×1考点10：由展开图计算几何体的体积【典例精讲】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，把一个边长为24cm的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从4cm变为5cmA．减少了44cm3 B．减少了60cm3 C．增加了【答案】A【思路引导】本题考查了展开图折叠成几何体，分别求得剪去的正方形边长从4cm变为5【规范解答】解：当剪去的正方形边长从4cm变为5cm后，长方体的纸盒容积从24−2×42故长方体的纸盒容积变小了1024−980=44cm即长方体纸盒的容积减少了44cm故选：A．【变式训练】（24-25七年级上·广东东莞·期末）综合与实践问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．操作探究：(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒；(2)如图，是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______；(3)如图，有一张边长为30cm的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒：①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；②若四角各剪去了一个边长为4cm【答案】(1)C(2)卫(3)①画图见解析；②这个纸盒的体积为1936cm【思路引导】本题考查正方体的表面展开图、正方体相对两面上的字．（1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案；（2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案；（3）①画出相应的图形即可；②直接根据体积公式计算即可．【规范解答】（1）解：∵制作一个无盖的正方体纸盒，∴展开图有5个面，选项B不符合题意；再根据正方形的展开图的特征，可得选项A和选项D不符合题意，选项C符合题意；故选C；（2）解：正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形，所以“保”字相对的字是“卫”故答案为：卫；（3）解：①所画出的图形如图所示：②当小正方形的边长为为4cm纸盒的底面积为30−2×4纸盒的体积为4×484=1936答：这个纸盒的体积为1936cm考点11：正方体几种展开图的识别【典例精讲】（24-25七年级上·广东清远·期中）综合与实践【问题情境】某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作长方体纸盒．【操作探究】(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．(2)图2是嘉嘉的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是字．(3)如图3，有一张边长为40cm的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒，折成的纸盒高为5①四角应各剪去边长为cm的小正方形；②计算此长方体纸盒的容积．(4)根据如图4方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在边长为12cm的正方形纸板四角剪去两个边长为2【答案】(1)C(2)卫(3)①5；②4500(4)这个长方体的体积为64cm【思路引导】（1）根据正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”进行判断即可；（2）根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可得答案；（3）①高就是小正方形的边长5cm（4）根据棱柱的展开与折叠，求出长方体的长、宽、高，再根据体积公式进行计算即可．【规范解答】（1）解：由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、选项D不符合题意，而选项B只有4个面，不符合题意；而选项C可以折叠成无盖的正方体的盒子，故答案为：C；（2）由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“保”的对面是“卫”，故答案为：卫；（3）①若折成的纸盒高为5cm，四角应各减去边长为5故答案为：5；②当小正方形的边长为5cm时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为40−5×2=30（cm）的正方形，高是5所以体积为30×30×5=4500（cm3（4）由裁剪、折叠可知，所折叠的长方体的长为1212−2−2=4cm，宽为2cm所以长方体的体积为4×2×8=64（cm3答：这个长方体的体积为64cm【变式训练】（24-25七年级上·重庆·期末）【问题情境】元旦节，班级需要进行文化布置，各个学习小组分工制作装饰品：(1)小颖所在的综合实践小组准备制作一些无盖正方体纸盒收纳班级讲台上的小物件．图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）．(2)小志组准备制作一个有盖的大正方体盒子，他们先用5个大小一样的正方形制成如图2，3所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图2，图3中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．

(3)小亮组制作了若干个小正方体盒子，搭成几何体的形状，它从正面和上面看到的图形如图4所示，则这样的几何体有______种？它最多需要______个小立方块？最少需要______个小立方块？请分别画出需要小立方块最少时，从左面看到的几何体的形状图．（画出所有可能的情况）【答案】(1)①③④(2)作图见解析：（答案不唯一）(3)3，7，8，作图见解析【思路引导】本题考查了正方体的表面展开图，从不同方向看立体图形，掌握正方体的表面展开图的模型以空间想象力是解题的关键．（1）根据正方体的展开图，逐个分析即可求解；（2）根据正方体的展开图每个面都有对面即可解答；（3）根据从正面看和上面看得到的图形，分析第2列小正方体的个数解答，根据左视图的定义即可画出最少和最多的情况即可．【规范解答】（1）解：图①有5个面，可以经过折叠能围成无盖正方体形纸盒，图②经折叠后有两个面重复，因此折叠不能围成无盖正方体形纸盒；图③④有5个面，均可以折叠为无盖的正方体纸盒，∴经过折叠能围成无盖正方体纸盒的有：①③④；故答案为：①③④．（2）解：如图所示：（答案不唯一）（3）解：第2列小立方块前面1个，后面2个；第2列小立方块前面2个，后面1个；第2列小立方块前面2个，后面2个；故这样的几何体有3种；它最多需要3+2+2+1=8个小立方块；最少需要3+2+1+1=7个小立方块；如图所示∶，故答案为：3，7，8．考点12：正方体相对两面上的字【典例精讲】（24-25七年级上·广东深圳·期末）小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图1），该“骰子”的六个面分别写着1，2，3，4，5，6，小明用自己做的正方体“骰子”进行了3次投掷，他看到的情形如图2所示，那么“1”对面的数字是（）A．3 B．4 C．6 D．2【答案】A【思路引导】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形是解题的关键；根据题干可得“5”和“2”的对面，据此可得“1”的对面．【规范解答】解：由题意可知，“5”的邻面有1、2、3、6，故“5”的对面是“4”；“2”的邻面是1、5、3、4，故“2”的对面是“6”，故“1”的对面是“3”．故选：A【变式训练】（22-23七年级上·四川达州·期末）有一个正方体，在它的各个面上分别标上字母A、B、C、D、E、F，甲、乙、丙三位同学从不同方向去观察其正方体，观察结果如图所示．问：F的对面是．【答案】C【思路引导】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体，根据题意在各个面上标上字母，再确定对面上的字母，可以培养动手操作能力和空间想象能力．从第2个图形和最后1个图形看，和C相邻的有A、B、D、E，那么和C相对的就是F．【规范解答】解：根据三个图形的字母，可推断出来，A对面是E；C对面是F；B对面是D．则F的对面是C．故答案为：C．考点13：含图案的正方体的展开图【典例精讲】（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）若将如图所示的平面图形围成正方体，则这个正方体可以是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【思路引导】根据正方体的平面展开图的特点求解即可．【规范解答】解：连接BC，如图，

由展开图可知，当该平面图形围成正方体时，B点和C点一定在同一平面上，故排除B，C选项，∵AB、CD两条线段所在平面被一个平面隔开，∴AB、CD两条线的在平面不可能相邻，则D选择排除，故答案为A，故选：A．【考点剖析】本题主要考查学生对立体图形以及平面展开图之间的关系，培养空间想象力是关键．【变式训练】（2021·河北邢台·一模）把如图所示的正方形展开，得到的平面展开图可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【思路引导】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．【规范解答】解：将正方形展开并标上顶点可得如下图所示：其中C1与C相接，B1与B相接，D1与D相接，A1与A相接，B1′与故和选项B符合故选：B．【考点剖析】本题考查了正方体的表面展开图及空间想象能力，易错易混点：学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．考点14：求展开图上两点折叠后的距离【典例精讲】（23-24九年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是3cm，1cm，6cm的长方体的顶点A爬到顶点B，它从顶点A沿着棱AB直接爬到点B所走的路程，比它从点A开始经过4个侧面到达点B所走的最短路程少【答案】4【思路引导】本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，先展开，三角形的一条直角边为3+1+3+1=8cm，另一边为6【规范解答】如图，根据题意，得AC=3+1+3+1=8cm，BC=6则AB=A10−6=4故答案为：4．【变式训练】（20-21七年级上·山东青岛·单元测试）某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线．解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线．问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线．【答案】最短路线有2条，作图见解析．【思路引导】要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是把正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【规范解答】解：将正方体的面展开，作出线段AM，经过测量比较可知，最短路线有2条，如图所示：【考点剖析】此题主要考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．考点15：补一个面使图形围成正方体【典例精讲】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，在5×5的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有种．【答案】4【思路引导】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题关键．根据正方体的展开图求解即可．【规范解答】解：如图所示：故答案为：4．【变式训练】（22-23七年级上·山东济宁·期末）小强有6个大小一样的正方形，他已用5个正方形拼成了如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，他的第6个正方形可放在的位置（填写序号）．【答案】③【思路引导】根据正方体的表面展开图分析即可求解．【规范解答】解：如图所示，故答案为：③．【考点剖析】本题考查了正方体的表面展开图，理正方体的表面展开图的模型是解题的关键．正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知．考点16：截一个几何体【典例精讲】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）将下列几何体进行分类：（在横线处写明序号即可）（1）有顶点的几何体是．（2）截面可能为四边形的是．（3）能由平的面旋转形成的是．（4）截面不可能是圆形的是．【答案】①②⑤⑥⑦①②④⑥⑦③④⑤①②⑥⑦【思路引导】此题考查了平面图形和立体图形，解题的关键是正确理解它们之间的联系和区别．（1）根据所给的图形的特点即可得出答案；（2）根据所给的图形的特点和用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，即可得出答案；（3）根据平面旋转形特点，即可得出答案；（4）根据所给的图形的特点和用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，即可得出答案；【规范解答】解：（1）有顶点的几何体有①②⑤⑥⑦；（2）截面可能为四边形的有①②④⑥⑦；（3）能由平面旋转形成的有③④⑤；（4）截面不可能是圆形的有

①②⑥⑦．【变式训练】[教材尝试·思考变式]如图，用一个平面去截一个正方体，截面相同的是（

）A．①与② B．③与④ C．①与③④ D．①与②，③与④【答案】D【思路引导】本题主要考查几何体，熟练掌握正方体的特征是解题的关键；因此此题可根据正方体的特征进行求解即可．【规范解答】解：由题意可知：截面相同的是①和②，③和④；故选D．考点17：平面图形形状的识别【典例精讲】（24-25七年级上·陕西西安·期末）若将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角度数比为3:5:7，则最小的扇形的圆心角为（

）A．72° B．120° C．168° D．30°【答案】A【思路引导】本题考查了平面图形的认识．用360°乘以33+5+7【规范解答】解：根据题意得：360°×3故选：A．【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）下列几何图形中，是平面图形的有，是立体图形的有．（填序号）【答案】②④⑤⑧⑨①③⑥⑦【思路引导】本题考查了平面图形与立体图形的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．各个部分在同一平面内的为平面图形；各个部分都不在同一平面内的为立体图形．【规范解答】解：因为各个部分在同一平面内的为平面图形，所以②④⑤⑧⑨为平面图形，因为各个部分都不在同一平面内的为立体图形，所以①③⑥⑦为立体图形．故答案为：②④⑤⑧⑨；①③⑥⑦．考点18：用七巧板拼图形【典例精讲】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）数学活动课上，小明用一张边长为10cm的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（

A．754cm2 B．75cm2 【答案】C【思路引导】本题主要考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各图形边长之间的关系是解题的关键．根据七巧板的特征求解即可．【规范解答】解：根据七巧板的特征可知，图2中小正方形的面积=1图2中阴影三角形的面积=1∴阴影部分的面积为=25故选：C．【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）文化情境•传统文化七巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具．如图是由一副七巧板组成的一个“狐狸”，组成这个图案的平面图形有．【答案】等腰直角三角形、正方形、平行四边形【思路引导】本题考查简单的平面图形的特征，熟悉常见的平面图形的特点是解题的关键．根据等腰直角三角形，正方形、平行四边形特征判断．【规范解答】解：图形由等腰直角三角形，正方形，平行四边形组成，故答案为：等腰直角三角形、正方形、平行四边形．1．（2023·湖北宜昌·中考真题）“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（

）．

A．文 B．明 C．典 D．范【答案】B【思路引导】根