北师大版数学 专项训练03 相似三角形基本模型（5种题型） 同步练习 含答案

专项训练03相似三角形基本模型【知识点1相似三角形的判定】一、四大判定定理AA（两角分别相等）

两组对应角相等，两三角形相似；公共角、对顶角、平行线同位/内错角、同角余补角均可推导等角；直角三角形只需一组锐角相等即可判定，考试最常用。SAS（两边对应成比例且夹角相等）

两组对应边比值相等，且相等的角是两组边的夹角；两边成比例+对角相等不能判定相似，是高频易错点。SSS（三边对应成比例）

将两个三角形三边从小到大排序，三组对应边比值全部相等，则两三角形相似，仅题干给出边长时使用。直角三角形专属HL相似

斜边与一条直角边对应成比例，两个直角三角形相似。二、解题技巧判定优先级：AA＞SAS＞SSS，做题优先寻找等角；证明等积式思路：横/竖锁定目标三角形，先证相似，再转化为比例式，交叉相乘得等积；书写规范：相似三角形顶点一一对应，防止找错对应边、角；网格题型：利用格点计算边长，再用SSS判定相似。【知识点2相似三角形的性质】一、基础性质边角：对应角相等，对应边成比例，比值称为相似比；对应线段：对应高、对应中线、对应角平分线的比均等于相似比；周长：周长之比=相似比；面积：面积之比=相似比的平方。二、拓展推论相似比为1时，两三角形全等，全等是特殊的相似；同高/等高三角形面积比等于底边长之比，等底三角形面积比等于高之比；多层嵌套相似图形，逐层计算相似比再求线段、面积。三、解题技巧线段、周长、高线计算直接套用相似比；面积计算必须平方相似比；已知面积反求边长：对面积比开平方得到相似比；综合大题流程：先判定相似，再利用性质列分式方程求解线段长度。【知识点3相似三角形的基本模型】一、五大必考模型及结论A字型（平行型）

平行于三角形底边的直线截两边，小三角形∽原三角形；侧边、底边对应成比例；斜A字型依靠公共角+一组等角证相似。8字型（X型）

平行线形成内错角，搭配对顶角构成两组等角，上下两三角形相似，交叉线段对应成比例。子母型（共角型）

两三角形共用公共角，一组等角即可证AA相似；直角子母型（射影模型）：直角三角形斜边上的高分出两个小直角三角形，三者两两相似，可直接使用等积结论。一线三等角模型

同一直线上存在三个相等角，借助平角互余推导两组等角，直线两侧三角形相似，常结合矩形、等腰三角形、直角出题。旋转相似模型

共顶点，两组边对应成比例，通过加减公共角得到相等夹角，用SAS证明相似。二、解题技巧识图方法：剥离图形多余线条，快速拆分基础模型，省去重复找等角步骤；动态几何、压轴题优先识别模型，直接套用固定比例与等角关系；多个模型叠加时，分步拆分，依次证明每组相似三角形。【题型1相似模型之“A字型”】1．已知：如图，点在三角形的边上，交于点，，点在上，且．求证：（1）；（2）．2．如图，在等腰三角形中，，点是的中点，点，分别在线段，上，连结，交于点，．（1）求证：．（2）若，，求的值．

3．如图，在△中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点．（1）求证：；（2）求证：△△；（3）若，求的值．4．如图，已知和，边，交于点，平分，平分，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【题型2相似模型之“X字型”】1．如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？

2．如图，在中，，，，，是的平分线，交于点．求的长．3．已知：如图，在中，点在边上，，与、分别相交于点、，．（1）求证：；（2）联结，求证：．4．如图，在四边形中，平分，，为的中点，连接，，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的值．

【题型3相似模型之母子型】1．如图，在中，是斜边上的高．（1）求证：；（2）、、、是成比例线段吗？为什么？2．如图，在中，，点是斜边的中点，连接，线段线段交于点，交于点，垂足为点．（1）求证：；（2）连接，若，求证：．3．如图，在中，，于点，，．（1）求证；（2）求的长．

4．如图，是斜边上的高，为的中点，的延长线交的延长线于点．求证：．【题型4相似模型之一线三等角】1．如图，，，为上一点，，连接．（1）若，求的长；（2）若平分，求证：．2．如图，等边△中，点、分别在边、上，（1）求证：△△；（2）若，，求等边△的边长．

3．已知等边，，分别在边、上，将沿折叠，点落在边上的处．（1）求证：；（2）若时，求．4．如图，在正方形中，为上一点，，交于，交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，，求的面积．【题型5相似模型之旋转模型（手拉手模型）】1．如图，已知，求证：．

2．如图，点在△下方，，将△沿翻折，点的对应点落在上．【模型建立】（1）如图1，△是等边三角形，点在上，且，求证：．【模型应用】（2）如图2，△是等腰直角三角形，，．①用等式写出线段，，之间的数量关系（直接写出结论，不必证明）；②若，，求的长．3．（1）【问题呈现】如图1，△和△都是等边三角形，连接，．请判断与的数量关系：．（2）【类比探究】如图2，△和△都是等腰直角三角形，．连接，．请写出与的数量关系：．（3）【拓展提升】如图3，△和△都是直角三角形，，且．连接，．求的值；

4．如图1，在和中，，．（1）①求证：；②若，试判断的形状，并说明理由；（2）如图2，旋转，使点落在边上，若，．求证：．1．如图，是△的中位线，若，则等于（）A．5 B．4 C．3 D．22．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，与相交点，则的值为（）A． B． C． D．3．如图，在△中，，，，过的中点作，交于点，则的长为．4．如图，在矩形中，，分别为，边的中点，分别与，交于点，．若，，则的长为．5．如图，矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当最小时，的长为．6．如图，，，为上一点，，连接．（1）若，求的长；（2）若平分，求证：．

7．如图，在四边形中，平分，，为的中点，连接，，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的值．8．已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于，是边延长线上的一点，联结，与边交于，与对角线交于点．（1）求证：；（2）联结，如果，求证：平行四边形是菱形．1．如图，在边长为的等边△中，点从点开始以每秒的速度沿射线方向运动，连结，点在线段上（不与端点重合），将射线绕点逆时针旋转得到的射线与射线交于点，设点的运动时间为秒．（1）如图①，当点在边上时，若平分，则30．（2）如图②，当点在边延长线上时，过点作交于点，若点为中点，①求证：△△；②当时，求的值．（3）若点是的三等分点，当△的面积等于，直接写出的值．2．在中，，，为上的一点（不与端点重合），过点作交于点，得到．（1）【问题发现】如图1，当时，为的中点时，与的数量关系为；（2）【类比探究】如图2，当时，绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由；（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点顺时针旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长．

3．如图，等腰直角三角形中有，，点是线段中点，点是平面内任意一点，将线段绕点逆时针旋转得线段．（1）如图1，连接、，若点与点重合，，求长度；（2）如图2，若点在右侧，取中点，连接、、，，在线段上取一点满足．①证明：；②如图3，连接、，作点分别关于，的对称点，，连接，，，若，直接写出的值．4．基础学习（1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，交于点，求证：．尝试应用（2）如图2，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和于点、和，求的值．拓展提高（3）如图3，矩形中，为常数），点是矩形边上的一个动点，延长至点，使，连接，，与相交于点，连接，求的最小值（用的代数式表示）．5．【实践探究】（1）如图1，矩形中，，，交于点，则的值是；【变式探究】（2）如图2，中，，，，为边上一点，连接，，交于点，若，求的长；【灵活应用】（3）如图3，在矩形中，，点，分别在，上，以为折痕，将四边形翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作交于点，若，设△的面积为，的面积为，△的面积为，若，则的值为．

6．【证明体验】（1）如图1，在中，为边上一点，连结，若，求证：．（2）在中，，，，为边上一动点，连结，为中点，连结．【思考探究】①如图2，当时，求的长．【拓展延伸】②如图3，当时，求的长．

专项训练03相似三角形基本模型【知识点1相似三角形的判定】一、四大判定定理AA（两角分别相等）

两组对应角相等，两三角形相似；公共角、对顶角、平行线同位/内错角、同角余补角均可推导等角；直角三角形只需一组锐角相等即可判定，考试最常用。SAS（两边对应成比例且夹角相等）

两组对应边比值相等，且相等的角是两组边的夹角；两边成比例+对角相等不能判定相似，是高频易错点。SSS（三边对应成比例）

将两个三角形三边从小到大排序，三组对应边比值全部相等，则两三角形相似，仅题干给出边长时使用。直角三角形专属HL相似

斜边与一条直角边对应成比例，两个直角三角形相似。二、解题技巧判定优先级：AA＞SAS＞SSS，做题优先寻找等角；证明等积式思路：横/竖锁定目标三角形，先证相似，再转化为比例式，交叉相乘得等积；书写规范：相似三角形顶点一一对应，防止找错对应边、角；网格题型：利用格点计算边长，再用SSS判定相似。【知识点2相似三角形的性质】一、基础性质边角：对应角相等，对应边成比例，比值称为相似比；对应线段：对应高、对应中线、对应角平分线的比均等于相似比；周长：周长之比=相似比；面积：面积之比=相似比的平方。二、拓展推论相似比为1时，两三角形全等，全等是特殊的相似；同高/等高三角形面积比等于底边长之比，等底三角形面积比等于高之比；多层嵌套相似图形，逐层计算相似比再求线段、面积。三、解题技巧线段、周长、高线计算直接套用相似比；面积计算必须平方相似比；已知面积反求边长：对面积比开平方得到相似比；综合大题流程：先判定相似，再利用性质列分式方程求解线段长度。【知识点3相似三角形的基本模型】一、五大必考模型及结论A字型（平行型）

平行于三角形底边的直线截两边，小三角形∽原三角形；侧边、底边对应成比例；斜A字型依靠公共角+一组等角证相似。8字型（X型）

平行线形成内错角，搭配对顶角构成两组等角，上下两三角形相似，交叉线段对应成比例。子母型（共角型）

两三角形共用公共角，一组等角即可证AA相似；直角子母型（射影模型）：直角三角形斜边上的高分出两个小直角三角形，三者两两相似，可直接使用等积结论。一线三等角模型

同一直线上存在三个相等角，借助平角互余推导两组等角，直线两侧三角形相似，常结合矩形、等腰三角形、直角出题。旋转相似模型

共顶点，两组边对应成比例，通过加减公共角得到相等夹角，用SAS证明相似。二、解题技巧识图方法：剥离图形多余线条，快速拆分基础模型，省去重复找等角步骤；动态几何、压轴题优先识别模型，直接套用固定比例与等角关系；多个模型叠加时，分步拆分，依次证明每组相似三角形。【题型1相似模型之“A字型”】1．已知：如图，点在三角形的边上，交于点，，点在上，且．求证：（1）；（2）．【答案】（1）证明过程见解答；（2）证明过程见解答．【分析】（1）利用已知可得，然后利用平行线分线段成比例证明即可；（2）利用两边成比例且夹角相等来证明即可．【解答】证明：（1），，；（2），，由（1）得：，．，．2．如图，在等腰三角形中，，点是的中点，点，分别在线段，上，连结，交于点，．（1）求证：．（2）若，，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，，根据题意不难证明；（2）过点作，交于点，根据等腰三角形的性质可得，则，易证明，则，易证明，则，将，代入即可求解．【解答】（1）证明：为等腰三角形，，，点是的中点，，，，在和中，，；（2）过点作，交于点，为等腰三角形，，点是的中点，，，，即，，，，，，，，，，由上述知，，，．3．如图，在△中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点．（1）求证：；（2）求证：△△；（3）若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．【分析】（1）平分，故，因为，则，由，可得，又，，故，可得；（2）导角证明，，即可得结论；（3）证明△△，即可得．又由（1）可得，从而由△△，可得．【解答】（1）证明：平分，，，，，，，，，；（2）证明：，，，，△△；（3），，△△，，又由（1）可得，．由（2）知△△，故．4．如图，已知和，边，交于点，平分，平分，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）详见解答；（2）．【分析】（1）先由角平分线的定义说明，再由已知可得结论；（2）先由（1）三角形相似得，再由已知角平分线的定义、公共角可得，代入计算得结论．【解答】（1）证明：平分，平分，，．．又，．（2）解：由（1）知，．又，．，．又，．．．答：的长为．【题型2相似模型之“X字型”】1．如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？【答案】136步．【分析】先说明两个三角形相似，再利用相似三角形的性质得结论．【解答】解：，，．，．．（步．答：、之间相距136步．2．如图，在中，，，，，是的平分线，交于点．求的长．【答案】5．【分析】由角平分线定义得出，由平行线的性质得出，等量代换得出，根据等腰三角形的判定定理得，由，找出“8”字模型相似三角形，由相似三角形的性质列出比例式，得出，根据，计算得出的长度．【解答】解：是的平分线，，，，，，，，，，，，，，，．3．已知：如图，在中，点在边上，，与、分别相交于点、，．（1）求证：；（2）联结，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析．【分析】（1）通过证明，可得，由平行线的性质可得，且，可证；（2）由相似三角形的性质可得，且，可证，可得，由平行线分线段成比例可得，可得结论．【解答】证明：（1）．，，，，，，，，；（2），，，，，，，，，．4．如图，在四边形中，平分，，为的中点，连接，，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的值．【答案】（1）证明见解答过程；（2）．【分析】（1）因为平分，所以，因为，证得，所以，即；（2）已知，，，可得的长，因为为的中点，可得的长，因为，所以，因为，可证，所以，可得的值．【解答】（1）证明：平分，，，，，即；（2），，，，为的中点，，，，，，，．【题型3相似模型之母子型】1．如图，在中，是斜边上的高．（1）求证：；（2）、、、是成比例线段吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）、、、是成比例线段，理由见解析．【分析】（1）方法一：根据题意可证明，由相似三角形的性质即可得出结论；方法二：由，以此即可得出结论；（2）根据成比例线段的概念判断即可．【解答】（1）证明：方法一：，，，，；方法二：，；（2）解：、、、是成比例线段，理由如下：由（1）知，，，、、、是成比例线段．2．如图，在中，，点是斜边的中点，连接，线段线段交于点，交于点，垂足为点．（1）求证：；（2）连接，若，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析；【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质可得结论；（2）由直角三角形的性质得，再由相似三角形的判定与性质可得，结合（1）的结论可得答案．【解答】证明：（1），，，，，，，即；（2）在中，点是斜边的中点，，，，，，，，，由（1）知，，．3．如图，在中，，于点，，．（1）求证；（2）求的长．【答案】（1）见解答过程；（2）．【分析】（1）依据，，即可得到，，进而判定；（2）依据相似三角形的性质即可得到的长，再根据勾股定理进行计算，即可得出的长．【解答】解：（1）中，，，，，，又，；（2），，，，中，．4．如图，是斜边上的高，为的中点，的延长线交的延长线于点．求证：．【答案】证明过程见解答．【分析】先证明，得出，再证明，可得，即可解答．【解答】证明：，，为的中点，，，，，，，，，又，，，，，，，，即．【题型4相似模型之一线三等角】1．如图，，，为上一点，，连接．（1）若，求的长；（2）若平分，求证：．【答案】（1）；（2）证明过程见解答．【分析】（1）利用一线三等角模型证明，即可解答；（2）利用角平分线的性质可得，从而可得，然后证明，即可解答．【解答】（1）解：，，，，，，，，，，，，的长为；（2）证明：平分，，，，，，，．2．如图，等边△中，点、分别在边、上，（1）求证：△△；（2）若，，求等边△的边长．【分析】（1）由等边三角形的性质及“一线三等角”推出有两个角相等，从而证得结论；（2）设等边△的边长为，由△△，得比例式，求出值即可．【解答】解：（1）证明：△是等边三角形，，又，，，，△△；（2）设等边△的边长为，，，，，△△，，，解得：，等边△的边长为6．3．已知等边，，分别在边、上，将沿折叠，点落在边上的处．（1）求证：；（2）若时，求．【分析】（1）由等边三角形的性质可知，再由翻折及“一线三等角”可推得，则；（2）设，则，，，由相似三角形的性质可得与的关系式，解得它们的值，则答案可求．【解答】解：（1）证明：等边将沿折叠，点落在边上的处．又；（2）设，则，翻折，设，，，由得：①由得：②由①②解得：，．4．如图，在正方形中，为上一点，，交于，交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，，求的面积．【答案】（1）证明过程见解答；（2）9．【分析】（1）利用一线三等角模型证明即可；（2）利用（1）的结论可求出，的长，然后再利用8字模型相似证明，即可解答．【解答】（1）证明：四边形是正方形，，，，，，，，，；（2）解：，，，，由（1）得：，，，，，，，，，，，，的面积，答：的面积为9．【题型5相似模型之旋转模型（手拉手模型）】1．如图，已知，求证：．【分析】根据相似三角形对应角相等、对应边相等的性质可得，，即可求证．即可解题．【解答】证明：，，．，即，．．2．如图，点在△下方，，将△沿翻折，点的对应点落在上．【模型建立】（1）如图1，△是等边三角形，点在上，且，求证：．【模型应用】（2）如图2，△是等腰直角三角形，，．①用等式写出线段，，之间的数量关系（直接写出结论，不必证明）；②若，，求的长．【答案】（1）见证明过程．（2）①．见解答过程．②．【分析】（1）利用手拉手证明△△，再换算即可．（2）①构造等腰△，利用两边对应成比例，且夹角相等，得△△，再换算即可．②利用①中结论计算即可．【解答】（1）证明：△是等边三角形，，．，，由翻折得．，△为等边三角形，，，，由，，，得△△，，．（2）①．理由：过作．，，，由翻折得．，△为等腰△，，，，，，△△，，．，，，即．②，，，，，，，．3．（1）【问题呈现】如图1，△和△都是等边三角形，连接，．请判断与的数量关系：．（2）【类比探究】如图2，△和△都是等腰直角三角形，．连接，．请写出与的数量关系：．（3）【拓展提升】如图3，△和△都是直角三角形，，且．连接，．求的值；【答案】（1）；（2）或；（3）①；【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明△△，即可得解；（2）根据等腰直角三角形的性质，直角边与斜边的关系，证明△△，再根据相似三角形的性质，对应边的比等于相似比，即可求解；（3）根据，，可证△△，可得，在△中，求出，在△中，求出，再证△△，根据相似三角形的性质即可求解；【解答】解：（1）△和△都是等边三角形，，，在△，△中，，△△，，故答案为：．（2）结论：或，理由如下：△和△都是等腰直角三角形，，，，，△△，，或，故答案为：或；（3）①，，△△，，即，，设，，在△中，，同理，在△中，设，，则，，，即，△△，；4．如图1，在和中，，．（1）①求证：；②若，试判断的形状，并说明理由；（2）如图2，旋转，使点落在边上，若，．求证：．【答案】（1）①见解析；②是等腰三角形；（2）见解析．【分析】（1）①根据两个角相等可得，得，再根据，可证明结论；②由①知，当时，，则是等腰三角形；（2）同理证明，得，再利用直角三角形的两个锐角互余，即可证明结论．【解答】（1）①证明：，，，，即，又，，即，；②解：是等腰三角形，理由如下：由①知，，，，是等腰三角形；（2）证明：，，，，，又，，，，，，，，．1．如图，是△的中位线，若，则等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】【分析】根据是△的中位线，可得，可得△△，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出．【解答】解：是△的中位线，，，△△，，又，．故选：．2．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，与相交点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据矩形的性质得，，，则△△，有，再根据，可得，从而解决问题．【解答】解：四边形是矩形，，，，△△，，，，，，，，故选：．3．如图，在△中，，，，过的中点作，交于点，则的长为．【答案】．【分析】过点作，垂足为，先证明一线三等角模型△△，从而利用相似三角形的性质可设，则，然后再证明字模型△△，从而可得，进而根据列出关于的方程，进行计算可求出，的长，最后在△中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：过点作，垂足为，，，，，，，点是的中点，，，△△，，设，则，，，△△，，，，，，，，，，，故答案为：．4．如图，在矩形中，，分别为，边的中点，分别与，交于点，．若，，则的长为．【答案】．【分析】如图，延长、交于，首先利用已知条件证明，然后利用勾股定理求出，也就求出，最后利用平行线的性质得到比例线段即可求出．【解答】解：如图，延长、交于，为的中点，，四边形为矩形，，，，，，，而，，，，，分别为，边的中点，，，，，，，，，，，．故答案为：．5．如图，矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当最小时，的长为．【答案】．【分析】过点作于点，连接，则可得，进而可知为定值，因此时，最小，通过设元利用三角函数和相似比可表示出、，即可求出结果．【解答】解：如图，过点作于点，连接，，，，，，，，，，，，即在点的运动过程中，的大小不变且等于，当时，最小，设此时，，，，，，代入，解得，，，，故答案为：．6．如图，，，为上一点，，连接．（1）若，求的长；（2）若平分，求证：．【答案】（1）；（2）证明过程见解答．【分析】（1）利用一线三等角模型证明，即可解答；（2）利用角平分线的性质可得，从而可得，然后证明，即可解答．【解答】（1）解：，，，，，，，，，，，，的长为；（2）证明：平分，，，，，，，．7．如图，在四边形中，平分，，为的中点，连接，，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的值．【答案】（1）证明见解答过程；（2）．【分析】（1）因为平分，所以，因为，证得，所以，即；（2）已知，，，可得的长，因为为的中点，可得的长，因为，所以，因为，可证，所以，可得的值．【解答】（1）证明：平分，，，，，即；（2），，，，为的中点，，，，，，，．8．已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于，是边延长线上的一点，联结，与边交于，与对角线交于点．（1）求证：；（2）联结，如果，求证：平行四边形是菱形．【答案】（1）（2）详见解答．【分析】（1）由平行线的性质和相似三角形的平行判定法，可得到、，再利用相似三角形的性质得结论；（2）利用“两角对应相等”先说明，再利用等腰三角形的三线合一说明，最后利用菱形的判定方法得结论．【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，，．，．，．．．（2），．，．，．，即．，．．四边形是平行四边形，．，即．平行四边形是菱形．1．如图，在边长为的等边△中，点从点开始以每秒的速度沿射线方向运动，连结，点在线段上（不与端点重合），将射线绕点逆时针旋转得到的射线与射线交于点，设点的运动时间为秒．（1）如图①，当点在边上时，若平分，则30．（2）如图②，当点在边延长线上时，过点作交于点，若点为中点，①求证：△△；②当时，求的值．（3）若点是的三等分点，当△的面积等于，直接写出的值．【答案】（1）30．（2）①证明见解答；②的值为3．（3）的值为4或1．【分析】（1）运用等边三角形性质、角平分线定义、旋转变换性质及直角三角形性质即可求得答案；（2）①利用可证得△△，再利用即可证得△△；②根据题意建立方程求解即可得出答案；（3）分两种情况：当时，当时，分别求得的值即可．【解答】（1）解：△是等边三角形，，平分，，射线绕点逆时针旋转得到的射线与射线交于点，，，，故答案为：30．（2）①证明：，，，点为中点，，又，△△，，△是等边三角形，，，，，，，射线绕点逆时针旋转得到的射线与射线交于点，，即，又，，△△；②由①知△△，，由题意得，，解得，的值为3．（3）点是的三等分点，或，当时，如图，过点作于，过点作交的延长线于，则，△的面积等于，，，，，，，，，，，，，，，，，，，△△，，，，，，解得；当，即时，如图，过点作交的延长线于，则，又，，，，△△，，，，即，解得：；综上所述，的值为4或1．2．在中，，，为上的一点（不与端点重合），过点作交于点，得到．（1）【问题发现】如图1，当时，为的中点时，与的数量关系为；（2）【类比探究】如图2，当时，绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由；（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点顺时针旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长．【答案】（1）；（2），证明见解答；（3）线段的长为或．【分析】（1）当时，，可得，由，得出，可得，推出，即可得出答案；（2）通过证明，可得，即可求解；（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）当时，，，，为的中点，，，，，，，，，，，，，，故答案为：；（2）的数量关系不变，理由如下：当时，，则，，，由勾股定理可得：，，，，，，由旋转得：，即，，，，；（3），，，，由勾股定理可得：，，绕点顺时针旋转至，，三点共线，，，，，当旋转至直线上方时，如图，则；当旋转至直线下方时，如图，则；综上所述，线段的长为或．3．如图，等腰直角三角形中有，，点是线段中点，点是平面内任意一点，将线段绕点逆时针旋转得线段．（1）如图1，连接、，若点与点重合，，求长度；（2）如图2，若点在右侧，取中点，连接、、，，在线段上取一点满足．①证明：；②如图3，连接、，作点分别关于，的对称点，，连接，，，若，直接写出的值．【答案】（1）长度为；（2）①证明见解答；②的值为．【分析】（1）过点作交的延长线于点，先证得△△，得出：，，再运用勾股定理即可求得答案；（2）①连接，，过点作交的延长线于点，先证得、、、四点共圆，得出，结合已知推出，再利用三角形中位线定理和旋转的性质证得△△，得出，利用平行线判定推出，可得△△，进而得出，再证得△△，得出，利用等腰直角三角形性质即可证得结论；②过点作交于点，交的延长线于点，过点作于，连接，，利用轴对称性质可得：点和点到直线的距离等于点到直线的距离，再证得、、三点共线，根据，推出，设，，则，，运用射影定理可得与的关系，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】（1）解：如图1，过点作交的延长线于点，则，，，，线段绕点逆时针旋转得线段，，，点与点重合，，，，，在△和△中，，△△，，，，点是线段的中点，，，，，，，；（2）①证明：如图2，连接，，过点作交的延长线于点，在等腰△中，，，点是线段的中点，，，，，，，、、、四点共圆，，，，，点和点分别为，的中点，是△的中位线，，，，由旋转的性质可得，，，，△△，，，，，△△，，，，，△是等腰直角三角形，，，，在△和△中，，△△，，在△中，，，，；②解：如图3，过点作交于点，交的延长线于点，过点作于，连接，，由轴对称的性质可得：，，点和点到直线的距离等于点到直线的距离，，，，，、、三点共线，，，，，，设，，则，，，，，△△，，即，，，，，，在△中，，，，，，，又，△△，，，，在△中，，．4．基础学习（1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，交于点，求证：．尝试应用（2）如图2，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和于点、和，求的值．拓展提高（3）如图3，矩形中，为常数），点是