江苏省南京东山外国语学校2026-2027学年九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年江苏省南京东山外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若一元二次方程x2+x-2k=0的一个根是1，则k的值为（）A.-1 B.2 C. D.12.如图，⊙O的弦AB=8，OM⊥AB于点M，且OM=3，则⊙O的半径为（）A.3

B.4

C.5

D.63.若x=是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（）A.3x2+2x-1=0 B.2x2+4x-1=0 C.-x2-2x+3=0 D.3x2-2x-1=04.如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图2，筒车⊙O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，PC是⊙O的直径，连接PA、PB，点M在AB的延长线上，若∠APC=20°，则∠PBM=（）

A.115° B.70° C.120° D.110°5.若点A（x1，-2），B（x2，4），C（x3，8）都在反比例函数y=的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A.x1＜x2＜x3 B.x2＜x1＜x3 C.x1＜x3＜x2 D.x2＜x3＜x16.如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点.若MN=2，AB=-1，则△PAB周长的最小值是（）A.

B.

C.2

D.3二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。7.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是

．8.已知y与x+2成反比例，且当x=2时，y=3，则y关于x的函数解析式为

.9.如图，A，B，C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA=5，则BC的长为

.

10.某水泥厂一月份总产量为1000吨，三月份总产量为1640吨，若平均每月的增长率为x,则可列方程为

.11.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD是高线，以点A为圆心作⊙A，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是

.

12.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，连接DE，FE.若∠B=60°，∠C=70°，则∠DEF=

°.

13.如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，若△ABC的面积为3，则k的值为

.14.已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD的距离是

．15.若关于x的一元二次方程mx2+n=0的一个根为1，则方程m（x+2）2+n=0的根是

.16.如图，△ABC中，AC=3，BC=4，∠ACB=45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE=CP，则AD的最小值为

．

三、计算题：本大题共2小题，共14分。17.某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件(1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：

(2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价18.某图书馆要对一套共2400页的古籍进行数字化扫描(1)完成扫描的时间th与扫描的平均速度n页/h有怎样的函数关系？(2)平均每小时应该扫描多少页，才能保证在72h内完成录入任务？四、解答题：本题共9小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)

用适当的方法解下列方程：

（1）x2+4x=12；

（2）（2x-1）2=6x-3.20.(本小题8分)

如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．

​​​​​​​

（1）求证：∠DAB=∠DCE；

（2）若∠DAB=60°，∠ACB=70°，求∠ABD的度数．21.(本小题8分)

如图，四边形ABCD和EFCG均为矩形，AD=9m,AB=6m,BG=DF=xm,休闲区的储水量为3L/m2.

（1）种菜区的面积为______m2，休闲区能接的雨水量为______L.（用含有x的代数式表示）

（2）若种菜区每平方米需要6L水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值.22.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程x2-（m+5）x+3m+6=0.

（1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根；

（2）若该方程的两根是一个矩形的两邻边的长，当这个矩形的对角线长为5时，求m的值.23.(本小题8分)

(1)如图1，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC、BD，且AC=BC．试说明：∠ABC=∠BDC(2)如图2，请用无刻度直尺和圆规在CD上找一点P，使得∠APB=∠DAB24.(本小题8分)

如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠ABC=40°．点D是⊙O上一点且与点C位于AB两侧，=，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E，连接CD(1)求∠DCB的度数(2)求证：DE是⊙O的切线25.(本小题8分)

对于关于x的代数式ax2+bx+c,若存在实数m,使得当x=m时，代数式的值等于-m,则称m为这个代数式的“镜像值”.例如：对于代数式x2，当x=0时，代数式的值等于0；当x=-1时，代数式的值等于1，我们就称0和-1都是这个代数式的“镜像值”.

（1）代数式x2-x-1的镜像值是______

；

（2）判断代数式x2-3x+3是否有镜像值.若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由；

（3）关于x的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数a的值.26.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（2，0），反比例函数.

（1）求直线AB的函数关系式；

（2）一条与AB平行的直线CD与反比例函数图象只有一个公共点，求公共点的坐标；

（3）将线段AB平移，使点A的对应点A在反比例函数图象上，则点B的对应点B′能否在反比例函数图象上？若能，请求出点B′的坐标；若不能，请说明理由.27.(本小题10分)

[学习心得]

（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决.

例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C、D两点必在⊙A上，则∠BDC=______°；

[初步运用]

（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，则∠BAC=______；

[方法迁移]

（3）如图3，已知线段AB和直线l,用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB=30°（不写作法，保留作图痕迹）；

[问题拓展]

（4）①如图4①，已知矩形ABCD，AB=6，BC=3m,M为边CD上的点，若满足∠AMB=45°的点M恰好有两个，则m的取值范围______；

②如图4②，在△ABC，∠BAC=45°，AD⊥BC，且BD=4，CD=2，求AD.

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】m＜1

8.【答案】

9.【答案】5

10.【答案】1000（1+x）2=1640

11.【答案】＜r＜4

12.【答案】65

13.【答案】-4

14.【答案】1或7cm

15.【答案】x1=-1，x2=-3

16.【答案】1

17.【答案】【小题1】（120-2x）【小题2】该商品的售价为20元

18.【答案】【小题1】∵扫描总量为2400页，

∴（n＞0）【小题2】∵图书馆要对一套共2400页的古籍进行数字化扫描，需要在72h内完成，则：

t≤72，，

∵n＞0，

∴2400≤72n,

∴，

∴平均每小时至少扫描页，才能保证在72h内完成扫描任务

19.【答案】x1=-6，x2=2；

20.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，

∴∠DAB+∠DCB=180°，

∵∠DCE+∠DCB=180°，

∴∠DAB=∠DCE；

（2）解：∵∠ACB=70°，

∴∠ADB=∠ACB=70°，

∴∠ABD=180°-60°-70°=50°．

21.【答案】（x2-15x+54）;（-3x2+45x）

x=3

22.【答案】（1）证明：∵Δ=[-（m+5）]2-4（3m+6）

=m2-2m+1

=（m-1）2≥0，

∴不论实数m取何值，方程总有实数根；

（2）设矩形的两邻边长为a、b,

根据根与系数的关系得a+b=m+5＞0，ab=3m+6＞0，

∵a2+b2=25，

∴（a+b）2-2ab=25，

即（m+5）2-2（3m+6）=25，

整理得m2+4m-12=0，

解得m1=-6（舍去），m2=2，

∴m的值为2．

23.【答案】【小题1】证明：∵AC=BC，

∴∠ABC=∠BAC，

又∵

∴∠BAC=∠BDC，

∴∠ABC=∠BDC【小题2】延长AD，以A为圆心，AB长为半径画弧，交AD延长线于点E；

作AE的垂直平分线：分别以A、E为圆心，大于长为半径在AE两侧画弧，两组弧各交于一点，连接两组弧的交点，

作AB的垂直平分线：分别以A、B为圆心，大于长为半径在AB两侧画弧，两组弧各交于一点，连接两组弧的交点，

两条垂直平分线交于O，

以O为圆心，OA为半径画圆，

圆和CD交于一点，这点就是P

24.【答案】【小题1】解：连接AD．

∵∠ABC=40°，

∴∠ADC=∠ABC=40°．

∵，

∴∠DAC=∠DCA=×（180°-40°）=70°．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠DCB=∠ACB-∠DCA=90°-70°=20°【小题2】证明：连接OD．

∵DE⊥CE，

∴∠E=90°，

∴∠CDE=90°-∠DCE=90°-20°=70°．

∴∠DAB=∠DCE=20°．

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD=20°，

∴∠ODC=∠ADC-∠ADO=40°-20°=20°，

∴∠ODE=∠ODC+∠CDE=20°+70°=90°．

又∵OD是⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线

25.【答案】解：（1）1和-1．

（2）根据定义，令x2-3x+3=-x,

整理得x2-2x+3=0．

判别式Δ=（-2）2-4×1×3

=4-12

=-8＜0，

因为判别式小于0，方程无实数解，

所以代数式x2-3x+3没有镜像值；

（3）根据定义，令，

整理得，

因为代数式有两个镜像值，所以此一元二次方程有两个不相等的实数根，

故a≠0，且判别式Δ＞0，

计算判别式：，

设方程的两个根为x1，x2，

根据韦达定理，，，

两个镜像值的差为|x1-x2|，利用公式，

代入得：，

因为差为整数，且a为正整数，所以为整数．设（k为整数），

则，

即，，

因为a为正整数，

所以k2-4是5的正因数，

k2-4是1或5，

当k2-4=1时，k2=5，无整数解；

当k2-4=5时，k2=9，k=3（k=-3舍去），

此时，

验证：当a=1时，方程为，判别式Δ=4+5=9＞0，

根为，

即，，

差为，

是整数，符合条件．所以正整数a的值为1．

26.【答案】解：（1）设直线AB的函数关系式为y=kx+b（k≠0），