初三数学(北京版)过三点的圆-1教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级初三学期上课题过三点的圆教科书书名：数学九年级上册出版社：北京出版社出版日期：2015年7月教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.通过问题解决过程，了解三角形的外接圆、外心的相关概念，明确作圆的关键，掌握三角形外接圆的画法.了解利用反证法来证明的基本思路和一般步骤.经过不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程，学会用尺规作不在同一直线上的三点的圆.培养转化、分类讨论的意识.3.在探究过不在同一直线上的三点确定一个圆的过程中，进一步提升能力和动手能力，增强数学应用意识、创新意识和永无止境的科学探索精神，提高学习数学的兴趣．教学重点：掌握过三点的圆，三角形外接圆和外心的定义.教学难点：如何确定一个圆的思维过程以及反证法.教学过程2min问题情境，揭示课题问题情境.1.考古学家在古墓挖掘时，发现一圆形瓷器残片，考古学家想画出这个残片所在的整圆，以便于进行深入研究，你能帮助考古学家画出这个残片所在的整圆吗？师启发：从圆形瓷器残片中可以得到圆的什么？生：可以得到圆的一段弧．师：要画出这个残片所在的整圆，还需要知道原来圆的什么条件？生：半径．师：那么由残片中得到原来圆盘的一段弧，能不能确定这个圆弧的半径的大小呢？生：不能，还需要知道圆弧的圆心．师：知道了圆的一段弧，只要找到弧的圆心，弧的半径也就确定了．因而这个问题的关键是怎样由已知弧去确定弧的圆心的问题，现请大家思考以下两个问题：（1）弧上的点具有什么特性？（2）由圆弧上的一个点能否把圆心确定下来呢？两个点呢？三个点呢？过几个点可以确定一个圆呢？今天这节课就来研究这个问题.18min2min1min探究过已知点作圆的问题圆的存在性及作法证明定理理解三角形外接圆、外心的应用定理解决问题课堂小结分层作业探究交流，得出新知.（一）、思考操作，回答问题.1.想一想：（1）圆是怎样定义的？圆有几个要素？要素的作用是什么？由圆的定义可知，圆有两个要素：一个是（圆心），另一个是圆的（半径）.圆心是用来决定圆的(位置），半径是用来决定圆的（大小）.2.画一画: （1）经过已知点A作圆，可以作多少个？怎么作？（让学生动手去完成.）过一点的圆:学生讨论并发现：过点A所作圆的圆心在哪里(圆心不定)？半径多大(半径不定)？可以作几个这样的圆(无数个)？经过已知点A作圆，这样的圆有无数多个.圆心的位置是平面内除去A点外的其它任意点.（2）经过已知点A、B作圆，可以作多少个？圆心的位置在哪里？（学生动手去完成.）过两点的圆：学生继续讨论并发现：它们的圆心到A、B两点的距离相等，能用式子表示为(OA=OB)，圆心在哪里(在线段AB的垂直平分线上)，过点A、B两点的圆有无数个.（3）经过同一平面内A、B、C三点，能不能作圆？如果能，在什么条件下能作？可以作多少个？圆心在什么位置？如果不能，请说明理由.（学生先独立思考然后小组合作去完成）.学生思考的问题：过三点的圆：①A、B、C三点有怎样的位置关系？②如果过三个点，圆心与这三个点有什么关系？③经过A、B两点的圆的圆心有什么特征？经过B、C两点的圆的圆心有什么特征？学生动手画画，发现过三点的圆分两种情况研究：求作一个圆，使它经过不在同一直线上三点A、B、C.已知：不在一条直线上三点A、B、C，求作一个圆，使它同时经过点A、B、C.①经过不在同一条直线上的三点A、B、C的圆是否存在？（存在）②是否还有其他符合条件的圆？（没有）③根据是什么？（线段AB、BC的垂直平分线有且只有一个交点.）学生讨论并发现：这样一共可作几个圆（一个）？圆心在哪里(线段AB、AC、BC的垂直平分线的交点)？到A、B、C三点的距离怎样？（OA=OB=OC）这说明所作的圆圆心是唯一的，从而半径也是唯一的，则所作的圆是唯一的.小结具体作法：1.连结AB、BC.2.作AB的中垂线.3.作BC的中垂线，两垂线相交于点O.4.以O为圆心OB长为半径作圆.则就是所求作的图形.过在一直线上的三点A、B、C可以作几个圆？（线段AB、AC、BC的垂直平分线无交点，不能作出圆）发现结论、得出定理：不在一直线上的三个点确定一个圆.强调：①“确定”一词应理解成“有且只有”.②不在一直线上的三个确定一个圆.过同一直线上三点不能作圆.上面是通过作图得出的结论，下面，用另外一种方法来说明这个问题.（二）反证法证明结论.1.求证：过同一直线上三点不能作圆.证明：如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆.设这个圆的圆心为点P，那么点P既在线段AB的垂直平分线a上，又在线段BC的垂直平分线b上，即点P为a与b的交点，而a⊥l，b⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆.2.小结：什么叫反证法？上面的证明“过同一条直线上的三点不能做圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一条直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．反证法是一种证明方法，当从已知条件直接进行推理很难得出结论时，就可以考虑用反证法.即证难则反.3.用反证法证明命题的一般步骤是什么？反设、归谬、结论.（1）反设（是基础）:为了正确作出反设，需要掌握一些常用的互为否定的表达形式：是/不是；等于/不等于；大/不大；存在/不存在；平行于/不平行于等.（2）归谬（推导出矛盾是关键）:推导出矛盾的过程没有固定模式，必须从反设出发；导出矛盾有以下几种方式：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾等.（3）得出结论.（三）理解三角形的外接圆、外心的概念.1.结合图形理解相关概念对前面研究的“求作一个圆，使它经过不在同一直线上三点A、B、C”问题，可以进行怎样的变式呢？预案：求作一个圆，使它经过△ABC的三个顶点.这里，我们就把它当成例题去研究.例题：用尺规作图求作一个圆，使它经过△ABC的三个顶点.预案1：学生解决这个问题的首选方法是在原来图形的基础上再连接AC，形成△ABC即可.同时迁移前面的作法：作法：1.作AB的中垂线.2.作BC的中垂线，两垂线相交于点O.3.以O为圆心OB长为半径作圆.则就是所求作的图形.预案2：学生画出的三角形不仅有锐角三角形，还可能会出现直角三角形或者钝角三角形.分析前面三个图形的特点，你有什么发现？预案1：经过三角形三个顶点可以作一个圆.预案2：点A，B，C都在⊙O上，△ABC是⊙O的__内接_______三角形；⊙O是△ABC的___外接______圆．经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.预案3：一个三角形只有一个外接圆，一个圆有无数个内接三角形.预案4：三角形的外心是三边中垂线的交点，它到三角形三个顶点的距离都相等，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部.三、应用定理、解决问题.1、以下说法错误的是（）.A、三角形任意两边垂直平分线的交点就是三角形的外心.B、三角形有且只有一个外接圆.C、过两点可以画无数个圆.D、过三点可以画一个圆.2.如何解决“圆形瓷器碎片重圆”的问题？预案：学生利用这节课所学内容在弧上任意找三个点A、B、C，作AB、BC的中垂线，相交于O点,以O点为圆心，以OA长为半径作圆.解决“圆形瓷器碎片重圆”的问题.三．课堂小结1.本节课研究的主要内容是什么？2.涉及到哪些主要数学思想方法？3.你有什么收获和体会？（同学互相讨论、补充，老师归纳.）预案：1.主要内容是：已知圆心，半径.经过不在同一条直线上三点.2.主要数学思想方法是：主要涉及到转化、分类讨论等思想方法：过已知点作圆的问题，主要是根据已知条件去找圆心和半径的问题．由于作的圆要经过已知点，如果确定了圆心，半径也就确定了．因此作圆的关键在于找到圆心的问题，能否作圆以及作多少个圆都取决于能否确定圆心的位置和圆心的个数.四．分层作业：（一）A层1.一张圆形玻璃桌面被打碎，残留下的一块玻璃如图所示，请你测量出图中圆形桌面的直径（精确到1cm），再按1:50的比例，求出圆形桌面的面积.2.如图，估计两条弧各自所在圆的半径的大小关系