北师大版2025-2026高二级数学期末卷

北师大版2025-2026高二级数学期末卷姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

北师大版2025-2026高二级数学期末卷

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为

A.3

B.-3

C.2

D.-2

2.已知函数g(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上单调递减，则a的取值范围是

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,+∞)

D.(-∞,0)

3.若向量a=(1,k)和向量b=(2,-1)垂直，则k的值为

A.-2

B.2

C.-1/2

D.1/2

4.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=r^2，若圆C与直线y=x+1相切，则r的值为

A.√2

B.2

C.√5

D.3

5.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=10，则该数列的公差d为

A.2

B.3

C.4

D.5

6.已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则cosA的值为

A.3/5

B.4/5

C.1/2

D.√2/2

7.若复数z=1+i，则z^2的虚部为

A.1

B.-1

C.2

D.-2

8.已知函数f(x)=sin(x+π/6)，则f(π/3)的值为

A.1/2

B.√3/2

C.1

D.0

9.在直角坐标系中，点P(x,y)到直线x+y=1的距离为d，则d的最小值为

A.√2/2

B.1

C.√5/5

D.2

10.已知集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|x<1}，则A∩B等于

A.(-∞,1)

B.(1,2)

C.(2,+∞)

D.φ

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(x)的顶点坐标为

2.若向量a=(3,-1)和向量b=(k,2)平行，则k的值为

3.已知圆C的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=4，则圆心C的坐标为

4.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则该数列的公比q为

5.已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=7，cosC=1/2，则c的值为

6.若复数z=2-3i，则|z|的值为

7.已知函数f(x)=cos(2x-π/3)，则f(π/4)的值为

8.在直角坐标系中，点P(x,y)到原点的距离为2，则x^2+y^2的值为

9.已知集合A={x|x^2-x-6<0}，B={x|x>-2}，则A∪B等于

10.已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|，则f(x)的最小值为

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在(-∞,+∞)上单调递增的是

A.f(x)=x^3

B.f(x)=e^x

C.f(x)=-x^2

D.f(x)=log_2(x)

2.下列向量中，与向量a=(1,2)平行的有

A.(2,4)

B.(-1,-2)

C.(3,6)

D.(1/2,1)

3.下列方程表示的曲线中，是圆的有

A.x^2+y^2=1

B.x^2+y^2+2x-4y+1=0

C.x^2+y^2-2x+4y-4=0

D.x^2+y^2+2x+4y+5=0

4.下列数列中，是等差数列的有

A.{a_n}，其中a_n=n+1

B.{b_n}，其中b_n=2^n

C.{c_n}，其中c_n=3n-1

D.{d_n}，其中d_n=n^2

5.下列不等式中，成立的有

A.sin(π/6)<cos(π/6)

B.tan(π/4)>1

C.log_3(9)>log_3(8)

D.e^2<e^3

6.下列复数中，模长为1的有

A.z=1

B.z=i

C.z=1+i

D.z=1-i

7.下列函数中，周期为π的有

A.f(x)=sin(2x)

B.f(x)=cos(x/2)

C.f(x)=tan(x)

D.f(x)=sin(x)+cos(x)

8.下列集合中，是空集的有

A.{x|x^2+1=0}

B.{x|x>5且x<3}

C.{x|x是偶数且x是奇数}

D.{x|x是实数且x是虚数}

9.下列命题中，正确的有

A.若a>b，则a^2>b^2

B.若a>b，则√a>√b

C.若a>b，则1/a<1/b

D.若a>b，则-a<-b

10.下列函数中，在x=0处取得极值的有

A.f(x)=x^2

B.f(x)=x^3

C.f(x)=x^4

D.f(x)=x^5

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-3x在x=0处取得极值

2.若向量a=(1,2)和向量b=(3,6)共线，则a与b的方向相同

3.方程x^2+y^2-4x+6y-3=0表示一个圆

4.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_3=8，则公比q=2

5.已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则三角形ABC是直角三角形

6.复数z=1+i的模长为√2

7.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期为2π

8.集合A={x|x^2<4}与集合B={x|x<2}的交集为(-2,2)

9.函数f(x)=|x|在(-∞,+∞)上单调递增

10.若a>b，则a^2>b^2

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点

2.已知向量a=(2,3)，向量b=(1,k)，若a+b与a-b垂直，求k的值

3.求过点(1,2)且与直线y=x+1垂直的直线方程

4.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，d=2，求a_10的值

5.已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，边a=6，求边b的值

6.求复数z=3+4i的模长和辐角主值

7.求函数f(x)=sin(2x-π/4)在[0,π]上的最大值和最小值

8.求集合A={x|x^2-3x+2>0}与集合B={x|x<1}的交集

9.求函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图像

10.证明：若a>0，则a^2≥a

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：f'(x)=3x^2-a，令f'(1)=0，得3-a=0，故a=3。

2.A

解析：g'(x)=1/(x+1)*log_a(e)，要使g(x)在(0,+∞)上单调递减，需g'(x)<0，即log_a(e)<0，故0<a<1。

3.B

解析：a·b=1*2+k*(-1)=0，解得k=2。

4.A

解析：圆心(1,-2)到直线y=x+1的距离d=|1-(-2)+1|/√(1^2+1^2)=√2，故r=√2。

5.C

解析：a_5=a_1+4d，10=2+4d，解得d=2。

6.B

解析：cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4^2+5^2-3^2)/(2*4*5)=4/5。

7.C

解析：z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=2i，虚部为2。

8.B

解析：f(π/3)=sin(π/3+π/6)=sin(π/2)=√3/2。

9.A

解析：d=|x+y-1|/√(1^2+1^2)，当x=y时，d取最小值√2/2。

10.B

解析：A={x|x<1或x>2}，A∩B={x|x<1}。

二、填空题答案及解析

1.(2,-1)

解析：顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即(-(-4)/(2*1),(4*1*3-(-4)^2)/(4*1))=(2,-1)。

2.-6

解析：a与b平行，故a×b=0，即3*2+(-1)*k=0，解得k=6，但需注意方向，此处应取负值，k=-6。

3.(2,3)

解析：圆心坐标为方程中x和y项系数的相反数，即(2,3)。

4.2

解析：b_4=b_1*q^3，16=1*q^3，解得q=2。

5.5√2

解析：cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(3^2+4^2-c^2)/(2*3*4)=1/2，解得c^2=25，故c=5√2。

6.5

解析：|z|=√(2^2+(-3)^2)=√13。

7.√2/2

解析：f(π/4)=cos(2*π/4-π/3)=cos(π/6)=√3/2。

8.4

解析：x^2+y^2表示点P到原点的距离的平方，故为2^2=4。

9.(-∞,3)∪(3,+∞)

解析：A={x|-2<x<3}，B={x|x>-2}，A∪B=(-∞,3)∪(3,+∞)。

10.2

解析：f(x)表示x轴上两点(1,0)和(-1,0)到x轴上任意点x的距离之和，最小值为这两点间的距离2。

三、多选题答案及解析

1.A,B,D

解析：f(x)=x^3的导数f'(x)=3x^2≥0，单调递增；f(x)=e^x的导数f'(x)=e^x>0，单调递增；f(x)=log_2(x)的导数f'(x)=1/(xln2)>0，单调递增；f(x)=-x^2的导数f'(x)=-2x，在(-∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减。

2.A,B,C,D

解析：向量平行的条件是存在非零实数λ，使得a=λb。A:(2,4)=2*(1,2)，平行；B:(-1,-2)=-1*(1,2)，平行；C:(3,6)=3*(1,2)，平行；D:(1/2,1)=(1/2)*(1,2)，平行。

3.A,B

解析：A:x^2+y^2=1，是圆的标准方程，圆心(0,0)，半径1；B:x^2+y^2+2x-4y+1=0可化为(x+1)^2+(y-2)^2=4，是圆的标准方程，圆心(-1,2)，半径2。C:x^2+y^2-2x+4y-4=0可化为(x-1)^2+(y+2)^2=9，是圆的标准方程。D:x^2+y^2+2x+4y+5=0可化为(x+1)^2+(y+2)^2=0，表示一个点(-1,-2)，不是圆。

4.A,C

解析：A:a_n-a_(n-1)=(n+1)-(n)=1，是等差数列；B:b_n-b_(n-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)，不是常数，不是等比数列；C:c_n-c_(n-1)=(3n-1)-(3(n-1)-1)=3，是等差数列；D:d_n-d_(n-1)=n^2-(n-1)^2=2n-1，不是常数，不是等差数列。

5.B,C,D

解析：A:sin(π/6)=1/2，cos(π/6)=√3/2，1/2<√3/2，不等式成立；B:tan(π/4)=1，1>1，不等式不成立；C:log_3(9)=2，log_3(8)略小于2(因为2^3=8)，故log_3(9)>log_3(8)，不等式成立；D:e^2≈7.389，e^3≈20.085，e^2<e^3，不等式成立。

6.A,D

解析：|1|=1，|1-i|=√(1^2+(-1)^2)=√2，|1+i|=√(1^2+1^2)=√2，|i|=1，|1-i|=√2，|1+i|=√2。模长为1的复数有z=1和z=1-i。

7.A,C,D

解析：A:sin(2x)的周期为π；B:cos(x/2)的周期为2π/(x/2)=4π；C:tan(x)的周期为π；D:sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，周期为2π。故周期为π的有A,C,D。

8.B,C

解析：A:{x|x^2+1=0}无解，是空集；B:{x|x>5且x<3}矛盾，是空集；C:{x|x是偶数且x是奇数}无元素，是空集；D:{x|x是实数且x是虚数}无元素，是空集。

9.C,D

解析：A:若a=-1,b=0，则a>b但a^2=1<0=b^2，不等式不成立；B:若a=-1,b=0，则a>b但√a无意义，不等式不成立；C:若a>b>0，则1/a<1/b，不等式成立；D:若a>b，则-a<-b，不等式成立。

10.A,B

解析：A:f'(x)=2x，f'(0)=0，且在x=0两侧f'(x)符号相反（左负右正），故x=0是极小值点；B:f'(x)=3x^2，f'(0)=0，且在x=0两侧f'(x)符号相反（左正右负），故x=0是极大值点；C:f'(x)=4x^3，f'(0)=0，但在x=0两侧f'(x)符号相同（均为0），不是极值点；D:f'(x)=5x^4，f'(0)=0，且在x=0两侧f'(x)符号相同（均为0），不是极值点。

四、判断题答案及解析

1.正确

解析：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，得3x^2-6x+2=0，判别式Δ=(-6)^2-4*3*2=12>0，方程有两个不等实根，设为x1,x2。由f'(x)=3(x-x1)(x-x2)，可知在x1和x2处导数符号改变，故x1,x2是极值点。x1=1-√3/3，x2=1+√3/3。f''(x)=6x-6，f''(1)=6-6=0，不能判断。需分别计算f''(x1)和f''(x2)。f''(x1)=6(1-√3/3)-6=-2√3<0，x1处取极大值。f''(x2)=6(1+√3/3)-6=2√3>0，x2处取极小值。所以x=0处取得极值。

2.错误

解析：a=(1,2)，b=(3,6)。存在λ=3，使得a=λb=3*(1,2)=(3,6)=b。但λ=-3时，a=-3*(1,2)=(-3,-6)≠b。所以a与b共线，但方向不一定相同。

3.错误

解析：方程x^2+y^2-4x+6y-3=0可化为(x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)=3+4+9，即(x-2)^2+(y+3)^2=16。此方程表示以(2,-3)为圆心，半径为4的圆。

4.正确

解析：b_1=1，b_3=1*q^2=8，解得q^2=8，故q=±√8=±2√2。若q=2√2，则b_2=b_1*q=1*2√2=2√2，b_3=b_2*q=2√2*2√2=8，符合。若q=-2√2，则b_2=1*(-2√2)=-2√2，b_3=b_2*q=-2√2*(-2√2)=8，也符合。但题目中通常默认公比为正数，或题目有歧义。若题目要求公比q为正，则q=2√2。若题目允许q为负，则q=-2√2。按一般理解，q=2。

5.正确

解析：cosC=1/2，且a^2+b^2=3^2+4^2=9+16=25，c^2=5^2=25，所以a^2+b^2=c^2。根据勾股定理的逆定理，三角形ABC是直角三角形，直角在C处。

6.正确

解析：|z|=√(2^2+(-3)^2)=√(4+9)=√13。

7.正确

解析：f'(x)=2cos(2x)，f'(π/4)=2cos(2*π/4)=2cos(π/2)=0。f''(x)=-4sin(2x)，f''(π/4)=-4sin(2*π/4)=-4sin(π/2)=-4。f''(π/4)<0，故f(x)在x=π/4处取得极大值。极值点不是极值。

8.错误

解析：A={x|x^2<4}={x|-2<x<2}，B={x|x<2}。A∩B={x|-2<x<2}∩{x|x<2}={x|-2<x<2}。

9.正确

解析：f(x)=|x|在x=0处不可导，但在(-∞,0)上f'(x)=-x，在(0,+∞)上f'(x)=x，均为正数，故在(-∞,+∞)上单调递增。

10.错误

解析：反例：取a=2,b=1，则a>b，但a^2=4，b^2=1，4>1，不等式成立。但若取a=-1,b=-2，则a>b，但a^2=1，b^2=4，1<4，不等式不成立。所以不等式不总是成立。

五、问答题答案及解析

1.极值点为x=0和x=2/3

解析：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，得3x^2-6x+2=0，解得x=(6±√(36-24))/6=(6±√12)/6=(6±2√3)/6=1±√3/3。f''(x)=6x-6。f''(1-√3/3)=6(1-√3/3)-6=-2√3<0，故x=1-√3/3处取极大值。f''(1+√3/3)=6(1+√3/3)-6=2√3>0，故x=1+√3/3处取极小值。极值点为x=1-√3/3和x=1+√3/3。

2.k=-5

解析：a+b=(2+1,3+k)=(3,3+k)，a-b=(2-1,3-k)=(1,3-k)。若a+b与a-b垂直，则(a+b)·(a-b)=0，即3*1+(3+k)*(3-k)=0，3+(9-k^2)=0，12-k^2=0，k^2=12，k=±2√3。若k=2√3，(3+k)=3+2√3，(3-k)=3-2√3，不垂直。若k=-2√3，(3+k)=3-2√3，(3-k)=3+2√3，垂直。故k=-2√3。

3.y=-x+3

解析：直线y=x+1的斜率为1，故所求直线的斜率为-1/1=-1。直线过点(1,2)，故方程为y-2=-1(x-1)，即y-2=-x+1，整理得y=-x+3。

4.a_10=5+9*2=23

解析：a_n=a_1+(n-1)d。a_10=5+(10-1)*2=5+9*2=23。

5.b=6√2/√3

解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB，得b=a*sinB/sinA=6*sin45°/sin60°=6*(√2/2)/(√3/2)=6√2/√3。

6.|z|=5，辐角主值θ=arctan(4/3)

解析：|z|=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。设z=r(cosθ+isinθ)，则3=rcosθ，4=rsinθ。r=5。tanθ=sinθ/cosθ=4/3。θ在第一象限，故θ=arctan(4/3)。

7.最大值√2，最小值-√2

解析：f(x)=sin(2x-π/4)。设φ=2x-π/4，则f(x)=sinφ。φ的取值范围是[2*0-π/4,2*π-π/4]=[-π/4,15π/4]。sinφ在[-π/4,π/2]上单调递增，在[π/2,3π/2]上单调递减，在[3π/2,2π]上单调递增。最大值为sin(π/2)=1。最小值为sin(-π/4)=-√2/2。考虑区间[π,2π]，sinφ在[π,3π/2]上单调递减，在[3π/2,2π]上单调递增。最小值为sin(3π/2