《电路分析基础》课件-第10章拉普拉斯变换

电路分析基础第10章

拉普拉斯变换目录CATALOG10.1拉普拉斯变换及其基本性质

10.2拉普拉斯反变换10.3运算电路10.4用拉普拉斯变换法分析线性电路10.5应用案例——浪涌抑制器拉普拉斯变换10.1拉普拉斯变换及其基本性质

对具有多个储能元件的复杂电路动态分析，以前只能用求解微分方程的方法，十分困难(各阶导数在t=0+时刻的值难以确定)。拉普拉斯变换是一种积分变换，可以将时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程来求解；可以将过渡过程的动态分析，变成象纯电阻电路一样的静态分析，使分析过程大大简化。所以拉普拉斯变换法是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。时域微分方程频域代数方程拉氏变换拉氏反变换求解时域解优点：不必确定积分常数以及求解微分方程式所需的初始条件，

适用于高阶复杂的动态电路。10.1拉普拉斯变换及其基本性质

s为复频率：将时域函数f(t)(原函数)变换为复频域函数F(s)(象函数)。正变换

反变换

f(t)和F(s)是一对拉普拉斯变换对。称分析线性电路的运算法为复频域分析法，而相应地称经典法为时域分析法。拉普拉斯变换的定义正变换反变换ℒℒ10.1拉普拉斯变换及其基本性质

拉普拉斯变换的定义积分下限从0+开始，称为0+拉氏变换。积分下限从0

开始，称为0

拉氏变换。

当f(t)含有冲激函数项时，此项00+

拉氏变换和0

拉氏变换的区别：为了把0-0+时冲激函数的作用考虑到变换中，通常拉氏变换定义式中积分下限从0-

开始。(2)象函数F(s)用大写字母表示，如I(s)、U(s)。(1)原函数f(t)用小写字母表示，如i(t)、u(t)。备注：10-1求以下函数的象函数。例：应用举例解：(1)单位阶跃函数(2)单位冲激函数=1(3)指数函数。

ℒ

ℒℒℒ10.1拉普拉斯变换及其基本性质

拉普拉斯变换的基本性质

1.

线性性质

10-2求以下函数的象函数。解：例：(1)ℒℒℒℒ(2)ℒ(3)ℒℒ2.

微分性质例：10-3：应用导数性质求下列函数的象函数。推广：

ℒ(1)ℒℒ(2)ℒℒℒℒ解：例：3.

积分性质10-4利用积分性质求单位斜坡函数f(t)=t的象函数。解：？则ℒℒℒℒℒ4.

延迟性质例：解：10-5求下图所示矩形脉冲的象函数。1t0f

(t)Tℒℒ

5.位移性质10-6应用位移性质求下列函数的象函数。例：解：ℒℒ(1)ℒ(2)ℒ(3)ℒ拉氏变换简表tδ(t)1ε(t)1/ste-atsin(

t)cos(

t)e-atcos(

t)e-atsin(

t)1.为什么拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用？

2.什么是拉普拉斯变换？为什么要进行拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换？

3.什么是原函数？什么是象函数？两者之间的关系如何？4.在求f(t)的象函数时，是否一定要知道f(0-)的值？为什么？思考回答10.2拉普拉斯反变换1.利用公式较麻烦2.对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数。

3.把F(s)分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。求拉普拉斯反变换的方法10.2拉普拉斯反变换部分分式展开法1.象函数的一般形式：N(s)D(s)F(s)=a0sm

+a1sm–1++am•••b0sn

+b1sn–1++bn•••=H0

实数常数。zi

F(s)的零点。

把F(s)分解成若干简单项之和，而这些简单项可以在拉氏变换表中找到，这种方法称为部分分式展开法，或称为分解定理。F(s)=H0

(s–zi)mi=1

(s–pj)j=1npjF(s)的极点。集总参数电路中响应变换式的特点变换式在一般情况下为s的实系数有理函数。2.

n

m

F(s)为假分式，用长除法，得：

如F(s)=s3+1s2+2s+2=s–2+s2+2s+22s+5解：F(s)=Q(s)+D(s)N'0(s)(2)n＜m：

F(s)=A+D(s)N0(s)(1)n=m：

其中，

–1(s–2)=

(t)2

(t)ℒ讨论3.n>m

F(s)为真分式令D(s)=b0sn+b1sn–1+…+bn=0可得根为p1，

p2，…，pn。(1)D(s)有n个实数单根。D(s)=0的根有三种情况：(1)实数单根；(2)复数根；(3)重根令s=p1，则同理可得：……因此

待定常数的确定：方法一：求极限法因此

方法二：应用举例解：的根为p1=1，p2=2，于是有这样：待定常数的确定：例：10-7求的原函数f

(t)

。待定常数的确定：1)2)例：解法1：∴的根分别为：∵同理：

10-8求的原函数。应用举例解法2：令D(s)=0，则p1=0，p2=－2，p3=－5同理：

应用举例假设只有两个根(2)D(s)有共轭复根k1，

k2也是一对共轭复数。可据前面介绍的两种方法求出k1，

k2。设

10-9例：解：应用举例极点为

(3)D(s)有重根

应用举例例：解：10-10求的原函数f

(t)。，有p1=

-2为二重根，p2=

-1，则F(s)的分解式为其中

因此查表11-1可得：1.求拉普拉斯反变换的方法有几种？

2.由F(s)求f(t)的步骤是什么？

检验学习结果3.如何利用分解定理进行拉普拉斯反变换？4.利用分解定理进行拉普拉斯反变换时，当D(s)=0具有共轭复根时如何处理？拉普拉斯变换的由来和发展历程

10.3运算电路时域形式：运算形式：基尔霍夫定律的运算形式R1.R：u=Ri+u

-i+U(s)

-

I(s)RR的运算电路

10.3运算电路电路元件的运算形式2.L：取拉氏变换,由微分性质得L的运算电路i(t)+

u(t)

-L+

-sLU(s)I(s)+-时域形式：sL+

U(s)I(s)

-3.C：C的运算电路i(t)+

u(t)

-C时域形式：取拉氏变换,由积分性质得+

-1/sCU(s)I(s)-+sCCu(0-)+

U(s)I(s)

-4.耦合电感的运算形式i1**L1L2+_u1+_u2i2M时域形式：耦合电感的运算电路+-+sL2+sM+

+sL1----

+-5.受控源的运算形式受控源的运算电路时域形式：取拉氏变换(s)+-U+1(s)-

RI1(s)U2U1(s)+-+u1-+u2-Ri1

u1+-运算阻抗u(t)+-i(t)RL(a)SCU(s)I(s)1/sC–+-RsL(b)S++–LiL(0-)若电路无初始储能：运算电路模型uC(0-)=25ViL(0-)=5A

换路后运算电路：10-13下图电路在开关S打开前处于稳态，试画出S打开后

的运算电路。时域电路t=0时打开开关5

2F20

10

10

0.5H50V+-uC+-iLS0.5sUC(s)-++1/2s25/s2.5VIL(s)+--5

20

解：应用举例例：思考回答1.能画出电阻、电感和电容的拉普拉斯变换电路吗？三者串联电路的运算阻抗是什么？3.一电感元件的电感L=10mH，初始值iL(0)=5A。试写出它的s复频域伏安关系式，并绘出它的两种运算电路图。4.一电容元件的电容C=100μF，初始值uC(0-)=10V。试写出它的s复频域伏安关系式，并绘出它的两种运算电路图。

2.欧姆定律的复频域形式是什么？10.4

应用拉普拉斯变换法分析线性电路1.相量法相量法把正弦量变换为相量(复数)，从而把求解线性电路的正弦稳态问题归结为以相量为变量的线性代数方程，正弦稳态电路归结成为纯电阻电路分析。2.运算法运算法把时间函数变换为对应的象函数，从而把求解微分方程归结为求解线性代数方程问题，动态电路的过渡过程归结为纯电阻电路分析。运算法和相量法的比较注意直流电路计算的规律均可应用于运算电路！

3.应用线性电阻电路分析方法求响应的象函数U(s)或I(s)

。1.由换路前电路计算uC(0-)和iL(0-)。2.画出运算电路图。

(1)电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。(2)各元件的参数：R参数不变

L参数为sL

C参数为1/sC(3)原电路中的电源进行拉氏变换。4.响应的象函数拉氏反变换求出时域解即原函数u(t)或i(t)

。运算法的解题步骤应用举例

10-14电路如图(a)所示，开关S原来闭合，求开关在t=0时刻打开后电路中的电流及电感元件上的电压。其中R1=2

，R2=3

，L1=0.3H，L2=0.1H，US=10V

。计算初值：5A，电感L1中原有电流为电感L2中原有电流为0A。例：解：S+-iUSR1L1R2L2(a)10/sI

(s)+-+-R1sL1R2sL2(b)L1i(0-)10/sV0.3s1.5V0.1sI(s)US(s)R1sL1sL2R23

2

++--10/sV0.3s1.5V0.1sI(s)US(s)R1sL1sL2R23

2

++--UL1(s)UL2(s)3.75ti520uL1-6.56t-0.375

(t)00.375

(t)uL2t-2.190磁链守恒：

10-15电路原处于稳态，uC(0-)=1V，

US=10V

，R1=R2=1

，C=1F，L

=1H，

t=0

时开关闭合，试用运算法求i(t)。例：解：应用举例i+-USR1R2CLS1/sCI(s)US+-R1R2SsL+Li(0-)I1(s)I2(s)--s思考与练习1.应用拉普拉斯变换法分析线性电路计算步骤是什么？2.试比较电路的复频域分析法与相量法的异同。

3.本章以前所介绍的各种分析方法可应用于复频域分析之中，这是否也包括对功率的分析？4.对零状态线性电路进行复频域分析时，能否用叠加定理？若为非零状态，即运算电路中存在附加电源时，能否用叠加定理？10.5应用实例——浪涌抑制器为简化电路的分析，设电压，并且在t=0，开关打开时不变。开关打开后，构建s域等效电路，如图(b)所示。注意：感性负载电压的相位角为零，所以电感负载的初始电流为零。因此，只有供电线路上的电感具有非零初始条件，其s域的等效电路为一个附加电压源LlI0。

当开关在t=0时刻打开时，因为在t=0时电感负载的电流为零，而且电感中的电流不会跃变，因此所有的电流都流过负载电阻。这