2026-2027学年初中数学八年级下册人教版（新教材）20.2 数据的波动程度课时练

2026-2027学年初中数学八年级下册人教版（新教材）20.2数据的波动程度课时练考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题（每空3分，共24分）1.一组数据为5,3,7,9,2,其平均数为6，则这组数据的方差是__________，标准差是__________。2.若一组数据的平均数为10，标准差为2，则另一组数据中每个数据都减去5后，新数据的平均数为__________，标准差为__________。3.为了比较两组数据的波动大小，通常选用__________来衡量。4.如果两个数据集A和B，数据集A的方差s_A²=5，数据集B的方差s_B²=10，那么数据集__________的数据更集中（波动更小）。5.计算5个数据4,6,8,10,12的方差时，选用公式s²=[Σxᵢ²-(Σxᵢ)²/n]/(n-1)计算较为简便，计算结果为__________。6.甲、乙两名射手每次射击命中环数如下：甲：8,9,10,8,9；乙：9,9,9,10,8。则射手__________的射击成绩波动更大。二、选择题（每题4分，共28分）1.下列各组数据中，方差最小的是（）A.4,4,4,4,4B.3,5,7,9,11C.0,1,2,3,4D.5,6,7,8,92.如果一组数据中的每个数据都乘以2，那么新数据组的（）A.平均数不变，方差不变B.平均数不变，方差变为原来的4倍C.平均数变为原来的2倍，方差不变D.平均数变为原来的2倍，方差变为原来的4倍3.已知样本数据为x₁,x₂,...,xn，其平均数为μ，则样本方差s²的公式是（）A.[(x₁-μ)²+(x₂-μ)²+...+(xn-μ)²]/nB.[(x₁-μ)²+(x₂-μ)²+...+(xn-μ)²]/(n-1)C.[x₁²+x₂²+...+xn²]/nD.[x₁²+x₂²+...+xn²]/(n-1)4.甲、乙两组数据的平均数分别为M_甲和M_乙，且M_甲>M_乙，那么（）A.甲组数据的波动一定比乙组大B.甲组数据的波动一定比乙组小C.甲组数据的波动可能比乙组大，也可能比乙组小D.甲组数据的波动与乙组数据的波动大小无法比较5.标准差的主要作用是（）A.衡量数据的平均水平B.衡量数据的离散程度C.衡量数据的大小D.确定数据的最大值或最小值6.计算样本容量为50的一组数据的方差时，通常使用公式s²=[Σxᵢ²-(Σxᵢ)²/n]/(n-1)，原因是（）A.这个体积较大B.分母使用n-1比使用n更接近真实总体方差C.使用n-1计算更简便D.教材规定必须使用7.下列说法正确的是（）A.方差越小，数据越分散B.标准差越小，数据越集中C.方差和标准差都没有单位D.数据的波动程度与平均数有关三、计算题（每题6分，共18分）1.某班级10名学生的身高（单位：cm）数据如下：165,168,170,172,165,169,171,173,166,168。计算这组数据的样本方差和样本标准差。2.比较以下两组数据的波动大小：第一组：8,7,9,8,7第二组：10,6,12,8,43.已知一组数据x₁=2,x₂=4,x₃=6,x₄=8的样本方差为s²=8。若从这组数据中每个数据都减去3，得到新数据y₁,y₂,y₃,y₄。求新数据y₁,y₂,y₃,y₄的样本方差。四、简答题（每题8分，共16分）1.简述什么是数据的波动程度？为什么要研究数据的波动程度？2.甲、乙两名同学在一次数学测试中的成绩及方差如下：甲：成绩平均数85，方差4乙：成绩平均数85，方差9请根据以上信息，简要评价甲、乙两位同学的数学学习情况。试卷答案一、填空题（每空3分，共24分）1.10,√10解析：先计算平均数μ=(5+3+7+9+2)/5=6。方差s²=[(5-6)²+(3-6)²+(7-6)²+(9-6)²+(2-6)²]/(5-1)=[1+9+1+9+16]/4=36/4=9。标准差s=√s²=√9=3。注意计算过程中偏差平方和为1+9+1+9+16=36。2.5,2解析：设原数据为x₁,x₂,...,xn，平均数为μ，标准差为s。新数据为yᵢ=xᵢ-5(i=1,2,...,n)。新数据的平均数为μ'=(Σ(xᵢ-5))/n=(Σxᵢ-5n)/n=Σxᵢ/n-5=μ-5=10-5=5。新数据的方差s'²=[Σ(yᵢ-μ')²]/(n-1)=[Σ((xᵢ-5)-(μ-5))²]/(n-1)=[Σ(xᵢ-μ)²]/(n-1)=s²=2²=4。标准差s'=√s'²=√4=2。减去一个常数，平均数减去该常数，方差不变，标准差不变。3.方差（或标准差）解析：衡量数据波动大小（离散程度）的统计量主要是方差或标准差。4.A解析：方差越小，数据越集中，波动越小。因为s_A²=5<s_B²=10。5.32解析：数据4,6,8,10,12的平均数μ=(4+6+8+10+12)/5=40/5=8。使用简化公式计算方差：s²=[Σxᵢ²-(Σxᵢ)²/n]/(n-1)=[4²+6²+8²+10²+12²-(4+6+8+10+12)²/5]/(5-1)=[16+36+64+100+144-40²/5]/4=[300-1600/5]/4=[300-320]/4=-20/4=-5。这里发现计算错误，重新计算：(Σxᵢ)²/5=(40)²/5=1600/5=320。Σxᵢ²=4²+6²+8²+10²+12²=16+36+64+100+144=360。s²=[360-320]/4=40/4=10。修正：s²=[360-320]/4=40/4=10。再次检查：(4-8)²+(6-8)²+(8-8)²+(10-8)²+(12-8)²=16+4+0+4+16=40。方差为10。重新使用简化公式：s²=[40-320/5]/4=[40-64]/4=-24/4=-6。再次发现错误。最稳妥的方法是直接用原始定义公式计算：(5-8)²+(6-8)²+(8-8)²+(10-8)²+(12-8)²/4=(-3)²+(2)²+(0)²+(2)²+(-3)²/4=9+4+0+4+9/4=26/4=6.5。简化公式计算错误源于平均数计算或平方计算。重新核对平均数(8)正确。使用原始定义公式：(Σ(xᵢ-μ)²)/n=[(4-8)²+(6-8)²+(8-8)²+(10-8)²+(12-8)²]/5=[(-4)²+(-2)²+(0)²+(2)²+(-4)²]/5=[16+4+0+4+16]/5=40/5=8。所以方差为8。再次核对原始定义：(5-8)²+(6-8)²+(8-8)²+(10-8)²+(12-8)²=9+4+0+4+9=26。样本容量n=5，所以方差s²=26/5=5.2。看来无论如何计算，简化公式的应用都存在问题。放弃简化公式，直接用定义计算最可靠。方差s²=[Σ(xᵢ-μ)²]/n。μ=8。偏差平方和=(4-8)²+(6-8)²+(8-8)²+(10-8)²+(12-8)²=(-4)²+(-2)²+(0)²+(2)²+(-4)²=16+4+0+4+16=40。样本容量n=5。s²=40/5=8。标准差s=√8=2√2。所以方差是8。题目要求填写方差，8。重新审视题目和计算过程，确认方差为8。6.乙解析：计算两组数据的平均数和方差。甲：平均数M_甲=(8+9+10+8+9)/5=44/5=8.8。方差s_A²=[(8-8.8)²+(9-8.8)²+(10-8.8)²+(8-8.8)²+(9-8.8)²]/5=[(-0.8)²+0.2²+1.2²+(-0.8)²+0.2²]/5=[0.64+0.04+1.44+0.64+0.04]/5=2.8/5=0.56。乙：平均数M_乙=(9+9+9+10+8)/5=45/5=9。方差s_B²=[(9-9)²+(9-9)²+(9-9)²+(10-9)²+(8-9)²]/5=[0²+0²+0²+1²+(-1)²]/5=[0+0+0+1+1]/5=2/5=0.4。比较方差：s_B²=0.4<s_A²=0.56。因此乙组数据的波动更小（更集中）。二、选择题（每题4分，共28分）1.D解析：计算各组数据的方差。A:数据都相同，方差为0。B:数据依次增加2，平均数8。方差s²=[(3-8)²+(5-8)²+(7-8)²+(9-8)²+(11-8)²]/5=[25+9+1+1+9]/5=45/5=9。C:数据依次增加1，平均数2.5。方差s²=[(0-2.5)²+(1-2.5)²+(2-2.5)²+(3-2.5)²+(4-2.5)²]/5=[6.25+2.25+0.25+0.25+2.25]/5=11.25/5=2.25。D:数据依次增加1，平均数8。方差s²=[(5-8)²+(6-8)²+(7-8)²+(8-8)²+(9-8)²]/5=[9+4+1+0+1]/5=15/5=3。比较方差大小：0<2.25<3<9。方差最小的是A组。2.D解析：设原数据为x₁,x₂,...,xn，平均数μ，方差s²。每个数据乘以2，得到新数据yᵢ=2xᵢ。新数据的平均数μ'=(Σ2xᵢ)/n=2(Σxᵢ)/n=2μ。新数据的方差s'²=[Σ(yᵢ-μ')²]/(n-1)=[Σ(2xᵢ-2μ)²]/(n-1)=[4Σ(xᵢ-μ)²]/(n-1)=4s²。新数据的平均数变为原来的2倍，方差变为原来的4倍。3.B解析：样本方差计算公式为s²=[Σ(xᵢ-μ)²]/(n-1)，其中n是样本容量。选项B是正确的公式。4.C解析：平均数反映数据的集中趋势，方差（或标准差）反映数据的波动大小（离散程度）。只知道平均数的大小，无法直接判断波动性的大小，因为数据的分布形状可能不同。5.B解析：标准差是衡量数据偏离其平均值的平均距离，数值越大，数据分布越分散；数值越小，数据分布越集中。因此其主要作用是衡量数据的离散程度或波动大小。6.B解析：当样本容量n较大时（如n>30），样本方差s²与总体方差σ²的估计更精确，使用n-1与使用n的差异很小，通常使用n计算更为简便。但当n较小时（如n=2,3,...,30），使用n-1可以得到对总体方差更无偏的估计。教材通常推荐使用n-1，特别是对于初中阶段的教学，强调其统计理论意义。7.B解析：方差是各数据与平均数差值的平方的平均数，其值总是非负的。方差越小，说明数据与平均数的差值越小，即数据越集中。选项B正确。方差越小，数据越集中，不是越分散（A错）。标准差是方差的平方根，单位与原数据单位相同（C错）。平均数和方差衡量不同方面，不能直接用平均数判断波动性（D错）。三、计算题（每题6分，共18分）1.平均数μ=(165+168+170+172+165+169+171+173+166+168)/10=1690/10=169。方差s²=[Σ(xᵢ-μ)²]/(n-1)=[(165-169)²+(168-169)²+(170-169)²+(172-169)²+(165-169)²+(169-169)²+(171-169)²+(173-169)²+(166-169)²+(168-169)²]/9=[(-4)²+(-1)²+(1)²+(3)²+(-4)²+0²+(2)²+(4)²+(-3)²+(-1)²]/9=[16+1+1+9+16+0+4+16+9+1]/9=73/9。标准差s=√s²=√(73/9)=√73/3。结果：方差为73/9，标准差为√73/3。2.第一组：平均数M_甲=(8+7+9+8+7)/5=39/5=7.8。方差s_甲²=[(8-7.8)²+(7-7.8)²+(9-7.8)²+(8-7.8)²+(7-7.8)²]/5=[0.04+0.64+1.44+0.04+0.64]/5=2.8/5=0.56。第二组：平均数M_乙=(10+6+12+8+4)/5=40/5=8。方差s_乙²=[(10-8)²+(6-8)²+(12-8)²+(8-8)²+(4-8)²]/5=[4+4+16+0+16]/5=40/5=8。比较方差：s_乙²=8>s_甲²=0.56。因此，第二组数据的波动性更大。3.原数据方差s²=8。根据方差的性质，若每个数据减去常数c，新数据方差不变。新数据y₁=2-3=-1,y₂=4-3=1,y₃=6-3=3,y₄=8-3=5。新数据的平均数μ'=(2+4+6+8)/4-3=20/4-3=5-3=2。新数据的方差s'²=[Σ(yᵢ-μ')²]/(n-1)=[(-1-2)²+(1-2)²+(3-2)²+(5-2)²]