2026-2027学年初中数学九年级上册（新教材）青岛版（新教材）1.4 一元二次方程根与系数的关系课时同步练

2026-2027学年初中数学九年级上册（新教材）青岛版（新教材）1.4一元二次方程根与系数的关系课时同步练考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若一元二次方程x²-5x+m=0的两个根的积为6，则m的值是（）A.-5B.6C.-6D.52.已知关于x的一元二次方程(k-1)x²+2x-3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k>1B.k<1C.k≠1D.k>1或k<-13.若x₁,x₂是方程2x²+4x-1=0的两个根，则x₁+x₂的值等于（）A.-2B.2C.-1/2D.1/24.若方程x²-mx-1=0的一个根是2，则另一个根以及m的值分别为（）A.-1/2,-3/2B.-1/2,3/2C.1/2,-3/2D.1/2,3/25.已知方程x²+px+q=0的两个根的平方和为5，且一次项系数p=2，则q的值等于（）A.3B.-3C.4D.-46.若α,β是方程x²-3x+1=0的两个根，则代数式(α-1)(β-1)的值等于（）A.3B.2C.1D.07.已知关于x的一元二次方程(a+1)x²+ax+1=0有两个相等的实数根，则a的值等于（）A.-2B.0C.1D.-2或08.若方程x²+bx+c=0的两个根互为相反数，则b的值等于（）A.0B.1C.-1D.任何实数9.已知x₁,x₂是方程x²-2x+3=0的两个根，则(x₁+1)²+(x₂+1)²的值等于（）A.4B.8C.12D.2010.若方程x²-mx+2=0的两个根的平方和大于3，则m的取值范围是（）A.m<-2或m>2B.-2<m<2C.m<-2或m>2且m≠±√2D.-2<m<2且m≠0二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.若方程x²+kx+6=0的一个根是2，则另一个根是_______，k的值是_______。12.已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根的倒数和为0，则a,b,c满足的关系式是_______。13.若x₁,x₂是方程3x²-5x-2=0的两个根，则|x₁|+|x₂|的值等于_______。14.若方程x²-px+q=0的两个根的平方和为3，且两根之差的绝对值为2，则p+q的值等于_______。15.已知实数m使得关于x的一元二次方程x²-2mx+m²-1=0有两个不相等的正数根，则m的取值范围是_______。三、解答题（本大题共5小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分8分）已知关于x的一元二次方程x²+mx-4=0。（1）若该方程的一个根是1，求另一个根及m的值；（2）若该方程的两个根的平方和为5，求m的值。17.（本小题满分10分）设α,β是方程2x²-4x-3=0的两个根。（1）求α²-β²的值；（2）求(α+1)(β+1)-αβ的值；（3）求α²+β²+αβ的值。18.（本小题满分10分）若关于x的一元二次方程x²+(k-2)x+k=0的两个根均为正数。（1）求实数k的取值范围；（2）若在此范围内选取一个合适的整数k值，写出相应方程的两个正数根。19.（本小题满分12分）已知方程x²-mx+n=0的两个根的平方和比两根的积大1。（1）求证：m²-n-1=0；（2）若方程x²-mx+n=0的一个根是2，求另一个根及m,n的值。20.（本小题满分10分）设x₁,x₂是方程x²-2tx+t²-1=0的两个实数根。（1）若x₁,x₂是方程2x²-4x+1=0的两个根，求t的值；（2）若方程x²-2tx+t²-1=0的两个根的平方和为3，求t的值。试卷答案一、选择题1.B解析：由韦达定理，x₁x₂=c/a=m。已知x₁x₂=6，故m=6。2.C解析：方程有两个不相等的实数根，需满足两个条件：①k-1≠0，即k≠1；②判别式Δ=b²-4ac=2²-4(k-1)(-3)=4+12(k-1)=12k-8>0。解不等式12k-8>0得k>2/3。结合①，k的取值范围是k>2/3且k≠1，即k≠1。3.A解析：由韦达定理，x₁+x₂=-b/a=-4/(2)=-2。4.B解析：由韦达定理，x₁+x₂=-b/a=-4/2=-2，x₁x₂=c/a=-1。已知一个根是2，设另一个根为x₂。则2+x₂=-2，解得x₂=-4。又2*(-4)=-1，此条件满足。由2+(-4)=-2，得m=-2。另一个根为-1/2。5.D解析：由韦达定理，x₁+x₂=-p=-2，x₁x₂=q。已知x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(-2)²-2q=4-2q。由题意，4-2q=5，解得q=-1/2。但是题目中给出p=2，这与x₁+x₂=-p=-2一致。这里可能题目条件有误，若严格按照x₁²+x₂²=5和p=2来计算，q=-1/2。若题目意图是求q使得x₁²+x₂²=5成立，则q=-1/2。若题目条件无误，p=2,x1+x2=-2，则x1²+x2²=4不等于5，故题目条件有误。按标准解法计算q=-1/2。6.B解析：由韦达定理，α+β=-(-3)/1=3，αβ=1。原式=αβ-α-β+1=αβ-(α+β)+1=1-3+1=-1。7.A解析：方程有两个相等的实数根，需满足判别式Δ=b²-4ac=0。Δ=a²-4(a+1)(1)=a²-4a-4。令Δ=0，得a²-4a-4=0。解此方程得a=2±2√2。又因为a+1≠0，即a≠-1。所以a=2+2√2或a=2-2√2。选项中只有-2符合a≠-1的隐含条件。（注：此处根据选项设置，标准答案应为两个值，但仅给一个选项，可能题目设置有误。若必须选一个，需确认题目或选项是否有特殊要求。若按标准计算，答案为2±2√2）8.A解析：设方程两根为x₁,x₂。由韦达定理，x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。若x₁,x₂互为相反数，则x₁=-x₂。代入x₁+x₂=-b/a得0=-b/a，即b=0。9.C解析：由韦达定理，x₁+x₂=-(-2)/1=2，x₁x₂=3。原式=(x₁²+2x₁+1)+(x₂²+2x₂+1)=(x₁²+x₂²)+2(x₁+x₂)+2。又x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=2²-2*3=4-6=-2。所以原式=-2+2*2+2=-2+4+2=4。10.A解析：由韦达定理，x₁+x₂=-(-m)/1=m，x₁x₂=2。原式x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2*2=m²-4。由题意，m²-4>3，解得m²>7，即m>√7或m<-√7。又因为方程有实数根，需满足判别式Δ=(-m)²-4*1*2=m²-8≥0，解得m²≥8，即m≥2√2或m≤-2√2。结合m²>7和m²≥8，取交集得m>2√2或m<-2√2。故m的取值范围是m>1或m<-1。二、填空题11.-3,-8解析：由韦达定理，x₁+x₂=-k，x₁x₂=6。已知一个根是2，则2+x₂=-k，2*x₂=6。由2*x₂=6得x₂=3。将x₂=3代入2+x₂=-k得2+3=-k，即-5=-k，故k=5。另一个根是3，k的值是5。（注：根据选项设置，此处与选项B,C,D矛盾，若必须填，则填3,5。若按标准解法，k=5,另一个根为3。题目可能设置有误或选项有误。）12.b/a=0解析：由韦达定理，x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。x₁的倒数是1/x₁，x₂的倒数是1/x₂。x₁+x₂的倒数和为0，即(1/x₁)+(1/x₂)=0。根据倒数和为零的性质，x₁和x₂互为相反数，即x₂=-x₁。代入韦达定理x₁+x₂=-b/a得-x₁+x₁=-b/a，即0=-b/a。故a,b,c满足的关系式是b/a=0。13.7/2解析：由韦达定理，x₁+x₂=-(-5)/3=5/3，x₁x₂=-2。原式|x₁|+|x₂|。因为x₁x₂=-2<0，所以x₁,x₂一正一负。设x₁>0,x₂<0，则|x₁|=x₁,|x₂|=-x₂。原式=x₁-x₂=√((x₁+x₂)²-4x₁x₂)=√((5/3)²-4*(-2))=√(25/9+8)=√(25/9+72/9)=√(97/9)=√97/3。另一种解法，原式=|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=√((x₁+x₂)²-4x₁x₂)=√((5/3)²-4*(-2))=√(25/9+8)=√(97/9)=√97/3。但选项中没有这个值，可能是题目或选项设置有误。若按标准计算，答案为√97/3。14.4解析：由韦达定理，x₁+x₂=-(-p)=p，x₁x₂=q。已知x₁²+x₂²=3，则(x₁+x₂)²-2x₁x₂=3，即p²-2q=3。又已知两根之差的绝对值为2，即|x₁-x₂|=2。根据根与系数关系，|x₁-x₂|=√((x₁+x₂)²-4x₁x₂)=√(p²-4q)。所以√(p²-4q)=2。两边平方得p²-4q=4。联立方程组：{p²-2q=3{p²-4q=4用第一式减去第二式得2q=-1，即q=-1/2。将q=-1/2代入第一式得p²-2*(-1/2)=3，即p²+1=3，解得p²=2。p+q=p+(-1/2)=p-1/2。因为p=±√2，所以p-1/2=±√2-1/2。选项中没有这个值，可能是题目或选项设置有误。若按标准计算，答案为p-1/2。15.(3+√5)/2<m<3解析：方程有两个不相等的正数根，需满足三个条件：①t²-4(t²-1)>0(判别式Δ>0)；②-2t>0(两根和为负)；③t²-1>0(两根积为正)。条件①：t²-4t²+4>0，即-3t²+4>0，即3t²<4，得t²<4/3，即-√(4/3)<t<√(4/3)，即-2/√3<t<2/√3。条件②：-2t>0，即t<0。条件③：t²-1>0，即(t-1)(t+1)>0，解得t<-1或t>1。综合三个条件：t<0且(t<-1或t>1)。因为t<0，所以只能t<-1。取三个条件的交集得t<-1。故m的取值范围是(-∞,-1)。三、解答题16.解：（1）将x=1代入方程x²+mx-4=0得1+m-4=0，即m-3=0，解得m=3。此时方程为x²+3x-4=0。因式分解得(x-1)(x+4)=0，所以方程的两根为x₁=1，x₂=-4。另一个根为-4，m的值为3。（2）由韦达定理，x₁+x₂=-m，x₁x₂=-4。已知x₁²+x₂²=5。根据韦达定理，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂。所以5=(-m)²-2*(-4)，即5=m²+8。解得m²=-3。因为m²不能为负数，所以不存在实数m使得方程的两个根的平方和为5。（注：题目条件“两个根的平方和为5”与根为1和-4矛盾，1²+(-4)²=17≠5。题目可能设置有误。若按标准韦达定理计算，结论为m²=-3，无解。）17.解：（1）由韦达定理，x₁+x₂=-(-4)/2=2，x₁x₂=-3。原式x₁²-x₂²=(x₁+x₂)(x₁-x₂)=2(x₁-x₂)。需要求x₁-x₂的值。根据韦达定理，x₁-x₂=√((x₁+x₂)²-4x₁x₂)=√(2²-4*(-3))=√(4+12)=√16=4。所以原式=2*4=8。（2）原式=x₁β+αβ+x₁+α=αβ(x₁+1)+(x₁+α)。由韦达定理，α+β=2，αβ=-3。所以原式=-3(x₁+1)+(x₁+2)=-3x₁-3+x₁+2=-2x₁-1。需要求-2x₁-1的值。由韦达定理，x₁+x₂=2，所以x₁=2-x₂。代入-2x₁-1得-2(2-x₂)-1=-4+2x₂-1=2x₂-5。需要求2x₂-5的值。由韦达定理，x₁x₂=-3，所以x₂=-3/x₁。代入2x₂-5得2*(-3/x₁)-5=-6/x₁-5。需要求-6/x₁-5的值。由韦达定理，x₁+x₂=2，x₁x₂=-3。所以x₁+(-3/x₁)=2。两边乘以x₁(x₁≠0)得x₁²-3=2x₁。即x₁²-2x₁-3=0。因式分解得(x₁-3)(x₁+1)=0。所以x₁=3或x₁=-1。若x₁=3，则-6/x₁-5=-6/3-5=-2-5=-7。若x₁=-1，则-6/x₁-5=-6/(-1)-5=6-5=1。所以原式的值可能为-7或1。（注：题目条件未指明根的顺序，根据韦达定理，x₁,x₂可以为3,-1或-1,3。两种情况下原式值不同，题目可能设置有误。若必须给出一个答案，可假设一种情况，例如x₁=3，则答案为-7。）18.解：（1）设方程的两个根为x₁,x₂。由韦达定理，x₁+x₂=-(k-2)，x₁x₂=k。因为两个根均为正数，所以需要满足：{x₁+x₂>0{x₁x₂>0由{x₁+x₂=-(k-2)>0得-k+2>0，即k<2。由{x₁x₂=k>0得k>0。综合两个不等式得0<k<2。所以实数k的取值范围是(0,2)。（2）在此范围内选取一个合适的整数k值，例如k=1。当k=1时，方程为x²-(1-2)x+1=0，即x²+x+1=0。计算判别式Δ=1²-4*1*1=1-4=-3。因为Δ<0，方程没有实数根。所以k=1不符合要求。再取k=1/2。当k=1/2时，方程为x²-(1/2-2)x+1/2=0，即x²-(-3/2)x+1/2=0，即x²+3/2x+1/2=0。计算判别式Δ=(3/2)²-4*1*(1/2)=9/4-2=9/4-8/4=1/4。因为Δ>0，且a=1>0，方程有两个不相等的实数根。由韦达定理，x₁+x₂=-(-3/2)/1=3/2，x₁x₂=1/2。解方程x²+3/2x+1/2=0，得x=[-3/2±√(1/4)]/2=[-3/2±1/2]/2。所以x₁=(-3/2+1/2)/2=-2/4/2=-1/4，x₂=(-3/2-1/2)/2=-4/4/2=-1/2。两个正数根为-1/4和-1/2。这两个根都是负数，不符合题目要求。再尝试k=3/2。当k=3/2时，方程为x²-(3/2-2)x+3/2=0，即x²-(-1/2)x+3/2=0，即x²+1/2x+3/2=0。计算判别式Δ=(1/2)²-4*1*(3/2)=1/4-6=1/4-24/4=-23/4。因为Δ<0，方程没有实数根。尝试k=1/4。当k=1/4时，方程为x²-(1/4-2)x+1/4=0，即x²-(-7/4)x+1/4=0，即x²+7/4x+1/4=0。计算判别式Δ=(7/4)²-4*1*(1/4)=49/16-1=49/16-16/16=33/16。因为Δ>0，且a=1>0，方程有两个不相等的实数根。由韦达定理，x₁+x₂=-(-7/4)/1=7/4，x₁x₂=1/4。解方程x²+7/4x+1/4=0，得x=[-7/4±√(33/16)]/2=[-7/4±√33/4]/2=(-7±√33)/8。因为(-7+√33)/8>0且(-7-√33)/8<0，所以两个根为(-7+√33)/8和(-7-√33)/8。这两个根都是正数，符合题目要求。相应方程的两个正数根为(-7+√33)/8和(-7-√33)/8。19.解：（1）设方程x²-mx+n=0的两个根为x₁,x₂。由韦达定理，x₁+x₂=m，x₁x₂