2026线性代数期末考试题及答案

2026线性代数期末考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设A为3阶方阵，且|A|=A.−B.−C.16D.4答案：A解析：|−2.设A,B均为n阶方阵，且A.A=OB.|A|C.BD.|答案：B解析：若AB=O，则|AB|=|A|⋅|B3.设A为m×n矩阵，非齐次线性方程组A.RB.RC.R(AD.R答案：B解析：非齐次线性方程组有唯一解当且仅当R(4.设λ=2是矩阵A的特征值，则A.1B.−C.2D.−答案：B解析：若λ是A的特征值，则f(λ)是f(A5.二次型f(A.1B.1C.1D.1答案：A解析：二次型矩阵为对称矩阵，交叉项2x1x2对应二、填空题（每题3分，共15分）1.行列式12答案：24解析：上三角行列式等于主对角元素之积1×2.设A=1234答案：−解析：A−1=1|3.向量组α1=(1,答案：2解析：α3=α1+4.齐次线性方程组Ax=0，其中A是4答案：2解析：基础解系所含向量个数为n−5.设A的特征值为1,2,答案：6解析：行列式等于所有特征值的乘积1×三、计算题（每题12分，共60分）1.设矩阵A=100210答案：X解析：由AX=B得X=AA由AA−1A于是X2.求解下列非齐次线性方程组，并写出通解。$$\begin{cases}

x_1+x_2+x_3+x_4=1\\

2x_1+3x_2+x_3+4x_4=3\\

x_1+2x_2+3x_4=2

\end{cases}$$答案：通解为x其中c1解析：对增广矩阵进行初等行变换：$$\left(\begin{array}{cccc|c}

1&1&1&1&1\\

2&3&1&4&3\\

1&2&0&3&2

\end{array}\right)

\xrightarrow[r_3-r_1]{r_2-2r_1}

\left(\begin{array}{cccc|c}

1&1&1&1&1\\

0&1&-1&2&1\\

0&1&-1&2&1

\end{array}\right)

\xrightarrow{r_3-r_2}

\left(\begin{array}{cccc|c}

1&1&1&1&1\\

0&1&-1&2&1\\

0&0&0&0&0

\end{array}\right)$$$$\xrightarrow{r_1-r_2}

\left(\begin{array}{cccc|c}

1&0&2&-1&0\\

0&1&-1&2&1\\

0&0&0&0&0

\end{array}\right)$$由此得x1=−2x3.已知向量组α求该向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。答案：秩为3；极大线性无关组可取α1α解析：以α1$$A=\begin{pmatrix}

1&1&0&1\\

1&2&1&3\\

1&0&2&8

\end{pmatrix}

\xrightarrow[r_3-r_1]{r_2-r_1}

\begin{pmatrix}

1&1&0&1\\

0&1&1&2\\

0&-1&2&7

\end{pmatrix}

\xrightarrow{r_3+r_2}

\begin{pmatrix}

1&1&0&1\\

0&1&1&2\\

0&0&3&9

\end{pmatrix}$$$$\xrightarrow{\frac{1}{3}r_3}

\begin{pmatrix}

1&1&0&1\\

0&1&1&2\\

0&0&1&3

\end{pmatrix}

\xrightarrow[r_2-r_3]{r_1-r_2}

\begin{pmatrix}

1&0&0&2\\

0&1&0&-1\\

0&0&1&3

\end{pmatrix}$$由此知秩为3，前三列线性无关，故α1,α2,4.求矩阵A=21112111答案：特征值为λ1=4，λ2=λ3=1。对应特征向量可取：λ=4P则P−解析：特征多项式：|得特征值λ1=4对λ=4，解A得基础解系(1对λ=1，解A得x1+x2+三个线性无关的特征向量构成P，故A可对角化。5.用配方法化二次型f为标准形，并写出所用的非退化线性替换。答案：标准形为f=非退化线性替换为$$\begin{cases}

x_1=y_1-y_2-y_3\\

x_2=y_2-y_3\\

x_3=y_3

\end{cases}$$即x1解析：先集中含x1x则f=再对x2x故f令y1=x1+x2四、证明