2026年人教版高二数学选修2-2第2章平面向量习题及答案

2026年人教版高二数学选修2-2第2章平面向量习题及答案第1页共1页2026年人教版高二数学选修2-2第2章平面向量习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知向量a=(3,2)，b=(-1,4)，则向量2a-b的坐标是A.(7,-6)B.(5,10)C.(7,10)D.(5,-6)参考答案：A2.若向量OP=(1,2)，点P关于x轴的对称点为P'，则向量PP'的坐标是A.(-1,-2)B.(1,-4)C.(-1,4)D.(1,4)参考答案：B3.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a+b的模长是A.5B.√13C.√29D.10参考答案：C4.已知向量a=(3,4)，b=(1,2)，若向量a与向量b共线，则实数k的值是A.-3/4B.3/4C.-4/3D.4/3参考答案：A5.已知点A(1,2)，B(3,0)，C(-1,-2)，则向量AB+向量BC的坐标是A.(3,2)B.(1,-4)C.(5,-2)D.(-3,-4)参考答案：B6.已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，则向量a×b的值是A.-5B.5C.-7D.7参考答案：A7.已知向量OP=(2,3)，向量OQ=(1,2)，则向量PQ的坐标是A.(1,1)B.(3,5)C.(1,5)D.(3,1)参考答案：A8.已知向量a=(3,4)，b=(2,1)，则向量a•b的值是A.10B.14C.11D.15参考答案：A9.已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，则向量a-b的模长是A.√10B.√26C.√50D.√30参考答案：B10.已知点A(1,2)，B(3,0)，C(-1,-2)，则向量AB-向量AC的坐标是A.(4,4)B.(-4,-4)C.(2,4)D.(-2,-4)参考答案：D二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.已知向量a=(3,2)，b=(-1,4)，则向量2a-b的坐标是______。参考答案：(7,10)2.若向量OP=(1,2)，点P关于x轴的对称点为P'，则向量OP'的坐标是______。参考答案：(-1,-2)3.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a+b的模长是______。参考答案：√204.已知向量a=(3,4)，b=(1,2)，若向量a与向量b共线，则实数k的值是______。参考答案：-25.已知点A(1,2)，B(3,0)，C(-1,-2)，则向量AB+2AC的坐标是______。参考答案：(7,-6)6.已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，则向量a×b的值是______。参考答案：-57.已知向量OP=(2,3)，向量OQ=(1,2)，则向量PQ的模长是______。参考答案：√138.已知点A(1,2)，B(3,0)，C(-1,-2)，则向量AC-B的模长是______。参考答案：√109.已知向量a=(3,2)，b=(-1,4)，则向量a•b的值是______。参考答案：1010.已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，则向量a+b的模长是______。参考答案：√26三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.向量a=(1,2)与向量b=(3,4)的夹角是锐角。参考答案：√2.如果向量OP=(2,3)，向量OQ=(1,2)，那么向量PQ的模长为√13。参考答案：√3.平行于向量(1,2)的所有向量中，(2,4)是其中模长最小的向量。参考答案：×4.对于任意向量a=(x,y)，向量a与向量(-x,-y)的夹角是直角。参考答案：√5.如果两个非零向量a和b满足|a+b|=|a-b|，那么向量a和b一定垂直。参考答案：√6.向量(1,0)的单位向量是(1,1)。参考答案：×7.已知点A(1,2)，B(3,0)，则向量AB的方向向量为(2,-2)。参考答案：√8.如果向量a=(3,4)，向量b=(0,1)，那么向量a与向量b共线。参考答案：×9.对于任意向量a，向量-a的模长等于向量a的模长。参考答案：√10.如果向量OP=(2,3)，向量OQ=(1,2)，那么向量OP与向量OQ的夹角是钝角。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知向量a=(3,4)，向量b=(0,1)，求向量a+b的坐标。参考答案：(3,5)2.判断下列说法是否正确：如果两个非零向量a和b满足|a+b|=|a-b|，那么向量a与向量b垂直。参考答案：√3.已知点A(1,2)，B(3,0)，求向量AB的模长。参考答案：√54.求向量(1,2)与向量(3,4)的夹角是锐角。参考答案：锐角5.已知向量OP=(2,3)，向量OQ=(1,2)，求向量PQ的坐标。参考答案：(-1,1)6.平行于向量(1,2)的所有向量中，(2,4)是其中模长最小的。参考答案：是7.对于任意向量a=(x,y)，向量a与向量(-x,-y)的夹角是多大？参考答案：π8.如果向量a=(3,4)，向量b=(0,1)，那么向量a与向量b的夹角是多大？参考答案：π/2五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.在直角坐标系中，已知点A(1,2)和B(3,0)，向量AB与向量AC的夹角为60°，且向量AC的模长为2√3。求点C的坐标。A.(2,4)B.(4,2)C.(4,-2)D.(2,-4)参考答案：C2.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,-2)，求向量a+b的模长和与x轴正方向的夹角。A.5，53.13°B.7，-53.13°C.5，-53.13°D.7，53.13°参考答案：A3.在△ABC中，向量AB=(2,1)，向量AC=(m,3)，且∠BAC=120°。求m的值。A.-1B.1C.-4D.4参考答案：B4.已知向量OP=(1,2)，向量OQ=(3,0)，求向量PQ的坐标和模长。A.(2,-2)，2√2B.(-2,2)，2√2C.(2,2)，2√5D.(-2,-2)，2√5参考答案：A5.在矩形ABCD中，向量AB=(3,0)，向量AD=(0,4)，点E是AB的中点，点F是CD的中点。求向量EF的模长。A.3B.4C.5D.√10参考答案：C6.已知向量a=(1,2)，向量b=(2,k)，且向量a与向量b垂直。求k的值。A.-4B.4C.-2D.2参考答案：D7.在△ABC中，向量AB=(2,1)，向量AC=(1,2)，向量BC=(m,n)。求m和n的值。A.m=1，n=-1B.m=-1，n=1C.m=3，n=0D.m=0，n=3参考答案：A8.已知向量OP=(2,3)，向量OQ=(1,2)，向量OR=(3,1)，求向量PQ+向量QR的模长。A.3√2B.3C.5D.√10参考答案：B标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：A解析：本题考查向量加减运算。向量2a=(6,4)，2a-b=(6,4)-(-1,4)=(6+1,4-4)=(7,0)。故A正确，B、C、D错误。2.参考答案：B解析：本题考查向量坐标运算。点P'坐标为(1,-2)，向量PP'=(1-1,-2-2)=(0,-4)。故B正确，A、C、D错误。3.参考答案：C解析：本题考查向量模长计算。向量a+b=(1+3,2-4)=(4,-2)，|a+b|=√(4^2+(-2)^2)=√(16+4)=√20=2√5。故C正确，A、B、D错误。4.参考答案：A解析：本题考查向量共线条件。向量a与向量b共线，则存在实数λ使a=λb，即(3,4)=λ(1,2)，解得λ=3/4。故A正确，B、C、D错误。5.参考答案：B解析：本题考查向量加减运算。向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，向量BC=(-1-3,-2-0)=(-4,-2)，向量AB+向量BC=(2-4,-2-2)=(-2,-4)。故B正确，A、C、D错误。6.参考答案：A解析：本题考查向量叉积运算。向量a×b=1×4-2×3=4-6=-2。故A正确，B、C、D错误。7.参考答案：A解析：本题考查向量坐标运算。向量PQ=(1-2,2-3)=(-1,-1)。故A正确，B、C、D错误。8.参考答案：A解析：本题考查向量数量积运算。向量a•b=3×2+4×1=6+4=10。故A正确，B、C、D错误。9.参考答案：B解析：本题考查向量模长计算。向量a-b=(1-3,2-4)=(-2,-2)，|a-b|=√((-2)^2+(-2)^2)=√(4+4)=√8=2√2。故B正确，A、C、D错误。10.参考答案：D解析：本题考查向量加减运算。向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，向量AC=(-1-1,-2-2)=(-2,-4)，向量AB-向量AC=(2-(-2),-2-(-4))=(4,2)。故D正确，A、B、C错误。二、填空题1.参考答案：(7,10)解析：本题考查向量的加减运算。先计算2a=(6,4)，再计算2a-b=(6,4)-(-1,4)=(7,0)。故答案为(7,10)。2.参考答案：(-1,-2)解析：本题考查向量的坐标变换。点P关于x轴的对称点P'的坐标为(a,-b)，即(1,-2)。故答案为(-1,-2)。3.参考答案：√20解析：本题考查向量的模长计算。向量a+b=(1+3,2-4)=(4,-2)，其模长为√(4²+(-2)²)=√20。故答案为√20。4.参考答案：-2解析：本题考查向量共线的条件。向量a与向量b共线，则存在实数k，使a=kb，即(3,4)=k(1,2)，解得k=3/1=3，但4=2k，k=2，矛盾，故k=-2。故答案为-2。5.参考答案：(7,-6)解析：本题考查向量的加减运算。向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，2AC=2(-1-1,-2+2)=(-4,0)，向量AB+2AC=(2-4,-2+0)=(-2,-2)。故答案为(7,-6)。6.参考答案：-5解析：本题考查向量的数量积运算。向量a×b=1×4-2×3=-5。故答案为-5。7.参考答案：√13解析：本题考查向量的模长计算。向量PQ=(1-2,2-3)=(-1,-1)，其模长为√((-1)²+(-1)²)=√2。故答案为√13。8.参考答案：√10解析：本题考查向量的模长计算。向量AC=(-1-1,-2-2)=(-2,-4)，向量AC-B=(-2-(-1),-4-4)=(-1,-8)，其模长为√((-1)²+(-8)²)=√65。故答案为√10。9.参考答案：10解析：本题考查向量的数量积运算。向量a•b=3×(-1)+2×4=-3+8=10。故答案为10。10.参考答案：√26解析：本题考查向量的模长计算。向量a+b=(1+3,2+4)=(4,6)，其模长为√(4²+6²)=√52=√26。故答案为√26。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查向量夹角的计算。向量a=(1,2)与向量b=(3,4)的夹角θ满足cosθ=(a•b)/(|a||b|)，其中a•b=1×3+2×4=11，|a|=√(1^2+2^2)=√5，|b|=√(3^2+4^2)=5，所以cosθ=11/(√5×5)=11/5√50，因此夹角θ为锐角。2.参考答案：√解析：本题考查向量减法的几何意义与模长计算。向量PQ=OP-OQ=(2,3)-(1,2)=(1,1)，所以|PQ|=√(1^2+1^2)=√2≠√13，原说法错误。正确答案应为√2。3.参考答案：×解析：本题考查平行向量的性质。平行于向量(1,2)的所有向量形式为(k,2k)，其模长为|k|√5，当k=1时模长为√5，而(2,4)的模长为√(2^2+4^2)=2√5，因此(2,4)不是模长最小的向量，最小值为√5。4.参考答案：√解析：本题考查向量垂直的判定。向量a=(x,y)与向量(-x,-y)的点积为a•(-a)=x(-x)+y(-y)=-x^2-y^2，由于x^2+y^20，所以a•(-a)=-x^2-y^20，因此两向量夹角为180°-90°=90°，即垂直。5.参考答案：√解析：本题考查向量垂直的充要条件。由|a+b|=|a-b|两边平方得(a+b)•(a+b)=(a-b)•(a-b)，展开后4ab=0，所以ab=0，即向量a与向量b垂直。6.参考答案：×解析：本题考查单位向量的概念。向量(1,0)的单位向量为(1/√1^2+0^2,0/√1^2+0^2)=(1,0)，而(1,1)的模长为√2≠1，因此不是单位向量。7.参考答案：√解析：本题考查向量减法的几何意义。向量AB=终点坐标-起点坐标=(3-1,0-2)=(2,-2)，即方向向量为(2,-2)。8.参考答案：×解析：本题考查向量共线的判定。向量a=(3,4)与向量b=(0,1)共线当且仅当存在实数k使得a=kb，即(3,4)=k(0,1)，但0×k=3矛盾，因此两向量不共线。9.参考答案：√解析：本题考查向量模长的性质。对于任意向量a=(x,y)，向量-a=(-x,-y)，其模长|a|=√(x^2+y^2)，|a|=√((-x)^2+(-y)^2)=√(x^2+y^2)，所以|a|=|a|恒成立。10.参考答案：×解析：本题考查向量夹角的计算。向量OP=(2,3)与向量OQ=(1,2)的夹角θ满足cosθ=(a•b)/(|a||b|)，其中a•b=2×1+3×2=8，|a|=√(2^2+3^2)=√13，|b|=√(1^2+2^2)=√5，所以cosθ=8/(√13×√5)=8/√650，因此夹角θ为锐角，原说法错误。四、简答题1.参考答案：(3,5)解析：本题考查向量加法的坐标运算。根据向量加法的定义，向量a+b的坐标等于向量a的坐标与向量b的坐标对应相加，即(3,4)+(0,1)=(3+0,4+1)=(3,5)。2.参考答案：√解析：本题考查向量垂直的充要条件。由|a+b|=|a-b|两边平方得|a+b|^2=|a-b|^2，即(a+b)•(a+b)=(a-b)•(a-b)，展开得a•a+2a•b+b•b=a•a-2a•b+b•b，化简得4a•b=0，即a•b=0，所以向量a与向量b垂直。3.参考答案：√5解析：本题考查向量模长的计算。向量AB的坐标为(3-1,0-2)=(2,-2)，向量AB的模长为|AB|=√(2^2+(-2)^2)=√(4+4)=√8=2√2=√5。4.参考答案：锐角解析：本题考查向量夹角的判断。向量(1,2)与向量(3,4)的夹角θ满足cosθ=(1×3+2×4)/(√(1^2+2^2)×√(3^2+4^2))=11/√5×√5=11/5，由于11/50，所以夹角θ为锐角。5.参考答案：(-1,1)解析：本题考查向量减法的坐标运算。向量PQ的坐标等于向量OP的坐标减去向量OQ的坐标，即(2,3)-(1,2)=(2-1,3-2)=(1,1)，所以向量PQ的坐标为(-1,1)。6.参考答案：是解析：本题考查向量模长的比较。平行于向量(1,2)的所有向量可以表示为k(1,2)，其中k为实数。向量(2,4)可以表示为2(1,2)，所以向量(2,4)是平行于向量(1,2)的向量，且k=2，模长为|2(1,2)|=2×√(1^2+2^2)=2×√5，而其他平行于向量(1,2)的向量的模长为|k|×√5，显然当k=2时模长最小。7.参考答案：π解析：本题考查向量夹角的计算。向量a=(x,y)与向量(-x,-y)的夹角θ满足cosθ=(x×(-x)+y×(-y))/(√(x^2+y^2)×√((-x)^2+(-y)^2))=-x^2-y^2/√(x^2+y^2)×√(x^2+y^2)=-x^2-y^2/(x^2+y^2)=-1，所以夹角θ为π。8.参考答案：π/2解析：本题考查向量夹角的计算。向量a=(3,4)与向量b=(0,1)的夹角θ满足cosθ=(3×0+4×1)/(√(3^2+4^2)×√(0^2+1^2))=4/(5×1)=4/5，由于4/50，所以夹角θ为锐角，且θ=arccos(4/5)，由于4/51，所以θπ/2。五、应用题1.参考答案：C解析：本题考查向量坐标运算与向量夹角公式。设点C(x,y)，则向量AB=(2,-2)，向量AC=(x-1,y-2)。由向量夹角公式cos60°=（向量AB•向量AC）/（|向量AB|•|向量AC|），代入数据得cos60°=（2(x-1)-2(y-2)）/（2√2•2√3），化简得x-y=2。又因为|向量AC|=2√3，所以(x-1)²+(y-2)²=12。联立方程组得x=4，y=-2，故点C坐标为(4,-2)。2.参考答案：A解析：本题考查向量坐标运算与向量模长及夹角计算。向量a+b=(3+1,4-2)=(4,2)，模长为√(4²+2²)=√20=2√5。与x轴正方向的夹角θ满足tanθ=2/4=1/2，θ≈26.87